正則関数の原始関数

問題 4.6 a, b を実数とする．

(1) a を始点，b を終点とする実軸上の線分を C1 とするとき，C1 を含む C の開集合 D で連続な任意の関数 f(z) に対して

∫

C1

f(z)dz =

∫ b a

f(x)dx が成立することを 示せ． （右辺の積分は実変数複素数値関数の積分である．）

(2) ia を始点，ib を終点とする虚軸上の線分を C₂ とするとき，C₂ を含む Cの開集合 D で連続な任意の関数 f(z) に対して

∫

C2

f(z)dz = i

∫ b a

f(iy)dy が成立すること を示せ． （右辺の積分は実変数複素数値関数の積分である．）

問題 4.7 複素数平面において 0 を始点，α ∈ C を終点とする線分を Cα とする．また a0, a1, . . . , an ∈Cとして

f(z) =anzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+· · ·+a1z+a0, F(α) =

∫

Cα

f(z)dz とおく．

(1) 線積分の定義に従って F(α) を求めよ．

(2) F(z) は C で正則で F^′(z) =f(z) が成立することを示せ．

定理 4.1 Cの開集合 D において F(z) が f(z) の原始関数ならば，D 内の任意の区分的 になめらかな曲線 C に対して，

∫

C

f(z)dz = F(β)−F(α)

が成立する．ここで α は C の始点，β は C の終点を表す．特に C が閉曲線ならばこの 積分の値は 0 である．

α

β

D

証明: z= φ(t) (a≤t≤b)を C のパラメータ表示とすると命題4.2より d

dtF(φ(t)) =F^′(φ(t))φ^′(t) =f(φ(t))φ^′(t)

であるから（実変数複素数値関数に対する）微分積分の基本定理により

∫

C

f(z)dz =

∫ b a

f(φ(t))φ^′(t)dt= [F(φ(t))]^b_a =F(φ(b))−F(φ(a)) =F(β)−F(α) を得る．□

例 4.14 C を複素数平面の区分的になめらかな任意の閉曲線，f(z)を多項式関数，α∈C を任意の複素数とすると ∫

C

f(z)dz = 0

例 4.15 C を複素数平面の区分的になめらかな任意の曲線，α を C の始点，β を C の 終点，γ を 0 と異なる任意の複素数とすると，

∫

C

e^γzdz = 1

γ(e^βγ −e^αγ) 証明）F(z) = 1

γe^γz が C におけるe^γz の原始関数であるから．

例 4.16 D := C\ {0} において f(z) = 1

z は原始関数を持たない． 証明）C を単位円周

（正の向き）とする．もしD におけるf(z)の原始関数 F(z)が存在すれば定理4.1により

∫

C

f(z)dz = 0

でなければならない，一方，例4.9よりこの積分の値は 2πi であるから矛盾である．

定義 4.4 C の開集合 D が（弧状）連結(arcwise connected)であるとは，D の任意の2 点に対して，その2点を始点と終点とする D内の折れ線が存在することである．

α

β D

命題 4.6 複素関数 f(z) が連結開集合 D において正則で f^′(z) = 0 が任意の z ∈ D に ついて成立すれば f(z) は定数関数である．すなわち，ある複素数c が存在してすべての z ∈D についてf(z) =c が成立する．

証明: α =a₁+a₂i と β =b₁+b₂i を D の任意の2点とする．まず α と β を結ぶ線分 C が D に含まれると仮定する．

h(t) :=f(α+t(β −α)) とおくと命題4.2と f^′(z) = 0 より

h^′(t) = (β−α)f^′(α+t(β −α)) = 0 となるから h(t) は [a, b] において定数である．従って

f(β) =h(1) = h(0) =f(α)

を得る．一般の場合は，α と β を結ぶ D 内の折れ線が存在する．この折れ線は α=z0, z1, . . . , zn = β をつないだものとすると，前半の議論より

f(α) =f(z0) =f(z1) =· · ·= f(zn) =f(β)

を得る．以上によりf(z)の任意の α, β∈D における値が等しいことが示されたから f(z) は定数関数である．□

D が連結でないと上の命題は一般には成立しない．たとえば D = {z ∈C| Rez ̸= 0} としてf(z) を Rez > 0 のときは f(z) = 1, Rez < 0 のときは f(z) = 0 と定義すると，

f(z) は D で正則で f^′(z) = 0 であるが，f(z) は 0 と 1 の２つの値をとるから定数関数 ではない．

命題 4.7 f(z) は連結開集合 D において正則と仮定する．u(x, y) = Ref(x+iy) が任意 の (x, y) ∈D についてux(x, y) =uy(x, y) = 0 を満たせば（特に u(x, y) が定数関数なら ば）f(z) は定数関数である．

証明: v(x, y) = Imf(x+iy) とおけば定理3.3と仮定より

f^′(x+iy) =ux(x+iy) +ivx(x, y) =ux(x, y)−iuy(x, y) = 0 となるから，前の命題より f(z) は定数関数である．□

問題 4.8 α, β ∈C とする．C をαを始点，β を終点とする区分的になめらかな任意の曲 線とするとき，次の線積分の値を α と β を用いて表せ．

(1)

∫

C

z²dz (2)

∫

C

e^izdz (3)

∫

C

cosz dz (4)

∫

C

ze^z2dz 問題 4.9 n を 2以上の自然数として，f(z) =z⁻ⁿ とおく．

(1) D = C\ {0} における f(z) の原始関数を求めよ．

(2) C∫ を D 内の（すなわち 0 を通らない）区分的になめらかな閉曲線とすると，

C

z⁻ⁿdz = 0 が成立することを示せ．

問題 4.10 D+ := C\ {x∈R|x ≤0} とおく．

(1) C を D+内の区分的になめらかな閉曲線とするとき

∫

C

1

zdz = 0 が成立することを 示せ．

(2) C を −i を始点，i を終点とする D+ 内の任意の区分的になめらかな曲線とすると き，

∫

C

1

z dz の値を求めよ．