問題 3.3 n を自然数とするとき f(z) = z−n は開集合 D = {z ∈ C | z ̸= 0} で正則で，
f′(z) =−nz−n−1 が成り立つことを示せ．
問題 3.4 次の各々の複素関数f(z)はどのような集合で正則になるか？また，導関数f′(z) を求めよ．
(1) f(z) = z
z2+ 4 (2) f(z) = (
z+ 1 z
)6
(3) f(z) = 1 (z2+ 1)2
証明: (1) f(z) が z0 で複素微分可能であると仮定する．補題3.1より，
f(z) =f(z0) +α(z−z0) + (z−z0)φ(z), lim
z→z0
φ(z) = 0 (2)
をみたす複素関数 φ(z) と複素数 α が存在する．α = a + bi (a, b ∈ R), φ1(x, y) = Reφ(x+iy), φ2(x, y) = Imφ(x+iy) とおいて(2)の実部と虚部をとると
u(x, y) =u(x0, y0) +a(x−x0)−b(y−y0) + (x−x0)φ1(x, y)−(y−y0)φ2(x, y), v(x, y) =v(x0, y0) +b(x−x0) +a(y−y0) + (x−x0)φ2(x, y) + (y−y0)φ1(x, y) が成立する．ここで (x, y)→(x0, y0) のとき，
|u(x, y)−√u(x0, y0)−a(x−x0) +b(y−y0)| (x−x0)2+ (y−y0)2
= |(x−x√0)φ1(x, y)−(y−y0)φ2(x, y)|
(x−x0)2+ (y−y0)2 ≤ |φ1(x, y)|+|φ2(x, y)| →0,
|v(x, y)−v(x0, y0)−b(x−x0)−a(y−y0)|
√(x−x0)2+ (y−y0)2
= |(x−x√0)φ2(x, y) + (y−y0)φ1(x, y)|
(x−x0)2+ (y−y0)2 ≤ |φ2(x, y)|+|φ1(x, y)| →0 となるから，u(x, y) と v(x, y) は (x0, y0) で全微分可能であり
ux(x0, y0) =a, uy(x0, y0) =−b, vx(x0, y0) =b, vy(x0, y0) =a よって Cauchy-Riemannの関係式が成立する．
(2) u(x, y) と v(x, y) は (x0, y0) において全微分可能でCauchy-Riemannの関係式を満 たすと仮定する．a:= ux(x0, y0) =vy(x0, y0), b:= vx(x0, y0) =−uy(x0, y0) とおくと，全 微分可能性の定義により，
u(x, y) =u(x0, y0) +a(x−x0)−b(y−y0) +ψ1(x, y), v(x, y) =v(x0, y0) +b(x−x0) +a(y−y0) +ψ2(x, y),
(x,y)→(xlim0,y0)
ψ1(x, y)
√(x−x0)2+ (y−y0)2 = 0, lim
(x,y)→(x0,y0)
ψ2(x, y)
√(x−x0)2+ (y−y0)2 = 0 が成立するような2変数の実数値関数 ψ1(x, y) と ψ2(x, y) が存在する．このとき
f(z) =u(x, y) +iv(x, y)
=u(x0, y0) +iv(x0, y0) + (a+bi){(x−x0) +i(y−y0)}+ψ1(x, y) +iψ2(x, y)
=f(z0) + (a+bi)(z−z0) +ψ1(x, y) +iψ2(x, y) ここで z= x+iy ̸= z0 のとき
φ(z) = ψ1(x, y) +iψ2(x, y) z−z0
とおくと f(z) =f(z0) + (a+bi)(z−z0) + (z−z0)φ(z) であり，z →z0 のとき
|φ(z)| = |ψ1(x, y) +iψ2(x, y)|
|z−z0| ≤ |ψ1(x, y)|
√(x−x0)2+ (y−y0)2 + |ψ2(x, y)|
√(x−x0)2+ (y−y0)2 →0 となるから，補題3.1により f(z) はz0 において複素微分可能であり，f′(z0) = a+bi = ux(x0, y0) +ivx(x0, y0) が成立する．□
系 3.1 f(z) を C=R2 の開集合 D で定義された複素関数として，
u(x, y) = Ref(x+iy), v(x, y) = Imf(x+iy)
とおく．u(x, y) と v(x, y) は D で C1級，すなわち偏導関数ux(x, y), uy(x, y), vx(x, y), vy(x, y) が存在して D で連続であるとする．このとき次の(1)と(2)は同値である．
(1) f(z) は D で正則である．
(2) 任意の (x, y) ∈D について
ux(x, y) =vy(x, y), uy(x, y) =−vx(x, y)
が成立する．（これを Cauchy-Riemannの（偏微分）方程式，略して CR方程式と いう．）
また，このとき
f′(x+iy) =ux(x, y) +ivx(x, y) が成立する．
証明: 解析学概論Iで示したように，D で C1級の関数は D の各点で全微分可能である から定理3.3から結論が従う．□
例 3.5 f(z) = z2 は C で正則で f′(z) = 2z となることは既に示した（命題3.4）が，
Cauchy-Riemannの方程式を用いて確認してみよう．(x+iy)2 = x2−y2+ 2ixy より u(x, y) = Ref(x+iy) =x2−y2, v(x, y) = Imf(x+iy) = 2xy,
ux(x, y) = 2x, uy(x, y) =−2y, vx(x, y) = 2y, vy(x, y) = 2x
であり，Cauchy-Riemannの方程式が任意の (x, y) ∈ R2 すなわち任意のz = x+iy ∈ C について成立する．よって f(z) =z2 は Cで正則であり．導関数は
f′(z) =ux(x, y) +ivx(x, y) = 2x+ 2iy = 2z となる．
例 3.6 Cで定義された複素関数 f(z) =z2 を考える．(x−iy)2= x2−y2−2ixy より u(x, y) = Ref(x+iy) =x2−y2, v(x, y) = Imf(x+iy) =−2xy,
ux(x, y) = 2x, uy(x, y) =−2y, vx(x, y) =−2y, vy(x, y) =−2x
となる．Cauchy-Riemannの方程式は 2x =−2x,−2y = 2y となり，これは(x, y) = (0,0) のときのみ成立する．従って f(z) は 0 でのみ複素微分可能であり，f′(0) = ux(0,0) +
ivx(0,0) = 0 である．（ある開集合の各点で微分可能な関数が正則関数なので，このように
１点のみで微分可能な関数は正則関数とは呼ばない．）
例 3.7 a, b, c, d を実数の定数として u(x, y) = ax+ by, v(x, y) = cx +dy, f(x +iy) = u(x, y) +iv(x, y) とおく．Cauchy-Riemannの方程式はa = d, b = −c であるから，f(z) が C で正則であるための必要十分条件はa =d かつ b = −c である．これは (x, y) によ らないから，a̸= d または b̸= −c ならば f(z) はどの点でも複素微分不能である．a= d かつ b=−c ならば
f(x+iy) =ax+by+i(−bx+ay) = (a−ib)x+ (b+ia)y = (a−ib)x+i(a−ib)y
= (a−ib)(x+iy) = (a−ib)z
であり，f(z) は1次関数である．逆に f(z) が1次関数ならば，f(z) は C で正則であり Cauchy-Riemannの方程式が成立するから a= d かつ b= −c でなければならない．
命題 3.5 指数関数 ez は複素数平面C で正則であり，その導関数は ez である．
証明: z= x+iy とすると
ez =ex(cosy+isiny) =excosy+iexsiny であるから，u(x, y) :=excosy, v(x, y) :=exsiny はC1級であり，
ux(x, y) =excosy = vy(x, y), uy(x, y) =−exsiny = −vx(x, y) が成立するから ez は Cで正則である．導関数は
(ez)′ =ux(x, y) +ivx(x, y) =excosy+iexsiny= ez となる．□
この命題と定理3.2により，f(z) がCの開集合D で正則ならばef(z) = exp(f(z)) も D で正則であり，(ef(z))′= f′(z)ef(z) が成立することがわかる．特に，cosz= 1
2(eiz+e−iz) とsinz= −i
2(eiz −e−iz) は C で正則であり，
(cosz)′ = 1
2(ieiz−ie−iz) =−sinz, (sinz)′ =−i
2(ieiz+ie−iz) = cosz が成立する．
命題 3.6 D+ = C\ {x ∈R| x ≤0} における対数関数の主値Logz は D+ で正則であり，
その導関数は 1
z である．D− =C\ {x ∈R|x ≥0} における主値についても同様である．
証明: z0 ∈D+ を固定して w0 = Logz0 とおく．z0 と D+の境界 {x ∈R| x≤0} との距 離をr とすると，r > 0 であり, ∆z ∈ C が|∆z| < r を満たせば z0+ ∆z ∈ D+ である．
このとき
∆w := Log (z0+ ∆z)−Logz0 = Log (z0+ ∆z)−w0
とおけば，z0+ ∆z= ew0+∆w と z0 =ew0 より
∆w
∆z = ∆w
ew0+∆w−z0
= ∆w
ew0+∆w−ew0
ここで Logz が連続であることから ∆z → 0 のとき ∆w → 0 であり，ew の w = w0 に おける複素微分係数が ew0 であることから，
∆zlim→0
∆w
∆z = lim
∆w→0
∆w
ew0+∆w−ew0 = 1 ew0 = 1
z0
が成立する．以上により Logz は z0 で複素微分可能で複素微分係数が 1/z0 であること が示された．□
問題 3.5 次の各々の複素関数 f(z) はどのような点で複素微分可能か？
(1) f(z) =z2+iz2 (2) f(z) = (1 +z)(1−z) (3) f(z) =zez (4) f(x+iy) = 1
2(ex+e−x) cosy+ i
2(ex−e−x) siny
問題 3.6 a, b, c を実数の定数，x, y を実数の変数としてf(x+iy) =ax2+by2+ 2icxy と おく．
(1) f(z) は 0 で複素微分可能であることを示し f′(0) を求めよ．
(2) f(z) が C で正則となるための a, b, c に対する必要十分条件を求めよ．
(3) f(z) が C で正則であるとき f(z) と f′(z) を z で表せ．
問題 3.7 (発展) Logz を D+ =C\ {x ∈R| x ≤0} における対数の主値（−π <argz <
π）とする．α を複素数の定数として f(z) = exp(αLogz) とおくとき次を示せ．
(1) n が整数のとき，任意の z∈D+ についてexp(nLogz) =zn が成立する．
(2) f(z) は D+ で正則であり f′(z) =αexp((α−1)Logz) が成立する．
(3) z ∈ D+ の極形式を z = r(cosθ+isinθ) (r > 0, −π < θ < π) とする．a を実数と するときexp(aLogz) を極形式で表せ．
問題 3.8 (発展) D+ = C\ {x ∈ R | x ≤ 0} における logz の主値を Logz として，
g(z) = 1 +z
1−z, f(z) = Logg(z) = Log1 +z
1−z とおく．また，Cの単位開円板を U ={z∈C| |z| <1} とする．
(1) g(U) ⊂D+ を示せ．
(2) f(z) は U で正則であることを示し，f′(z) を求めよ．
4 線積分とコーシーの積分定理
複素関数の曲線に沿っての積分（線積分）を定義し，正則関数の閉曲線に沿っての積分 が 0 になるというコーシーの積分定理を証明する．
4.1 実変数複素数値関数の微積分
区間 I := [a, b] に属する実数 t に対して複素数 f(t) = u(t) +iv(t) (u(t), v(t) は実数）
が定まるとき，f(t) を区間 I で定義された実変数の複素数値関数という．ここでは以後 の準備として実変数の複素数値関数について考察する．
定義 4.1 区間I = [a, b]で定義された複素数値関数 f(t) =u(t) +iv(t) が I で連続（また は微分可能，または C1級）であるとは，u(t) と v(t) が Iで連続（または微分可能，ま たはC1級）であることである．（t= a, b では f′(t) は片側微分係数とする．）複素数値関 数 f(t) がそれぞれ微分可能，連続であるとき，f(t) の導関数と定積分を
f′(t) =u′(t) +iv′(t),
∫ b a
f(t)dt=
∫ b a
u(t)dt+i
∫ b a
v(t)dt で定義する．
f(t), g(t) を微分可能な複素数値関数とすると，任意の α∈Cに対して {f(t) +g(t)}′ =f′(t) +g′(t), {αf(t)}′ =αf′(t)
が成立する．（実部と虚部に分けて確かめればよい．あるいは導関数の定義を用いてもよ い．）また，I = [a, b] で C1級の複素数値関数 F(t) が F′(t) =f(t) をみたせば
∫ b a
f(t)dt= F(b)−F(a)
が成立する．（実部と虚部に微分積分の基本公式を適用すればよい．） 以上より f(t), g(t) が [a, b] で連続ならば
∫ b a
{f(t) +g(t)}dt=
∫ b a
f(t)dt+
∫ b a
g(t)dt,
∫ b a
αf(t)dt =α
∫ b a
f(t)dt (α∈C) が成立することがわかる．(f(t) の原始関数を F(t), g(t) の原始関数を G(t) として上記 の公式を適用すればよい．）
例 4.1 α=a+ib (a, b∈R) とすると，
eαt =eat+ibt = eat(cosbt+isinbt) であるから，
(eαt)′ =aeat(cosbt+isinbt) +eat(−bsinbt+ibcosbt)
= (a+ib)eat(cosbt+isinbt) =αeαt
を得る．これより α̸= 0 ならば任意の c, d∈R に対して
∫ d c
eαtdt = [1
αeαt ]d
c
= 1
α(eαd−eαc) が成立する．
命題 4.1 f(z) を C の開集合 D で定義された複素関数として，u(x, y) = Ref(x+iy), v(x, y) = Imf(x+iy) とおく．u(x, y) と v(x, y) は D で C1 級であるとする．y を固定 して f(x+iy) を実変数 x の複素数値関数とみなすと，
∂
∂xf(x+iy) = ∂
∂xu(x, y) +i ∂
∂xv(x, y) =ux(x, y) +ivx(x, y), x を固定して f(x+iy) を実変数 y の複素数値関数とみなすと，
∂
∂yf(x+iy) = ∂
∂yu(x, y) +i ∂
∂yv(x, y) =uy(x, y) +ivy(x, y) となる．このとき Cauchy-Riemannの方程式は
∂
∂xf(x+iy) +i ∂
∂yf(x+iy) = 0 と同値である．
証明: fx と fy を u と v の偏導関数を用いて表すと
∂
∂xf(x+iy) +i ∂
∂yf(x+iy) =ux(x, y) +ivx(x, y) +i{uy(x, y) +ivy(x, y)}
=ux(x, y)−vy(x, y) +i{uy(x, y) +vx(x, y)}
となり，この式の実部と虚部が共に 0となることが Cauchy-Riemannの方程式である．□ 例 4.2 αと β を複素数の定数として f(z) =αz+βz が C で正則になるための条件を考 察しよう．
∂
∂xf(x+iy) =α ∂
∂x(x+iy) +β ∂
∂x(x−iy) =α+β,
∂
∂yf(x+iy) =α ∂
∂y(x+iy) +β ∂
∂y(x−iy) =iα−iβ より
∂
∂xf(x+iy) +i ∂
∂yf(x+iy) = (α+β) + (−α+β) = 2β よって f(z) が正則となるための条件は β = 0 である．
補題 4.1 f(t) を区間 [a, b] で定義された連続な複素数値関数，h(s) を区間 [c, d] で定義 された実数値の単調増加な C1級関数でh(c) =a，h(d) =b を満たすものとすると，
∫ b a
f(t)dt=
∫ d c
f(h(s))h′(s)ds
が成立する．また，h(s) が単調減少で h(c) =b, h(d) =a を満たせば
∫ b a
f(t)dt= −
∫ d c
f(h(s))h′(s)ds が成立する．
証明: f(t) =u(t) +iv(t) (u(t), v(t) は実数値）として u(t), v(t) について置換積分の公式 を適用すればよい．□
補題 4.2 f(t) を区間 [a, b] で定義された複素数値関数とすると ∫ b
a
f(t)dt ≤
∫ b a
|f(t)|dt が成立する．
証明: α=
∫ b a
f(t)dt とおく．α= 0 ならば補題の不等式は成立するから α̸= 0 としてよ い．このとき θ= argα とおくと，α =|α|eiθ より e−iθα= |α| は実数であるから，
∫ b a
f(t)dt
=|α| = e−iθα=
∫ b a
e−iθf(t)dt= Re (∫ b
a
e−iθf(t)dt )
=
∫ b a
Re (
e−iθf(t)) dt ≤
∫ b a
e−iθf(t) dt=
∫ b a
|f(t)| dt
□
命題 4.2 f(z) を C の開集合 D で定義された正則関数，φ(t) を区間 [a, b] で定義された 微分可能関数（t = a, b では片側微分可能とする）で任意の t ∈[a, b] に対して φ(t) ∈ D をみたすものとする．このとき d
dtf(φ(t)) = f′(φ(t))φ′(t) が任意の t∈[a, b] について成 立する．
証明: u(x, y) = Ref(x+iy), v(x, y) = Imf(x+iy), φ1(t) = Reφ(t), φ2(t) = Imφ(t) と おくと合成関数の微分の公式とCauchy-Riemannの方程式より
d
dtf(φ(t)) = d
dtu(φ1(t), φ2(t)) +i d
dtv(φ1(t), φ2(t))
=ux(φ1(t), φ2(t))φ′1(t) +uy(φ1(t), φ2(t))φ′2(t) +ivx(φ1(t), φ2(t))φ′1(t) +ivy(φ1(t), φ2(t))φ′2(t)
=ux(φ1(t), φ2(t))φ′1(t)−vx(φ1(t), φ2(t))φ′2(t) +ivx(φ1(t), φ2(t))φ′1(t) +iux(φ1(t), φ2(t))φ′2(t)
={ux(φ1(t), φ2(t)) +ivx(φ1(t), φ2(t))} {φ′1(t) +iφ′2(t)}
=f′(φ(t))φ′(t)
□
例 4.3 nを自然数として f(z) =zn とおく．g(z) =zn は Cで正則で，f(z) =g(z) とな る．φ(x, y) =x−iy を実変数 x （または y）の関数とみなして命題4.2を適用すると，
∂
∂xf(x+iy) = ∂
∂xg(φ(x, y)) =g′(φ(x, y)) ∂
∂xφ(x, y) =g′(x−iy) ∂
∂x(x−iy) =g′(x−iy),
∂
∂yf(x+iy) = ∂
∂yg(φ(x, y)) =g′(φ(x, y)) ∂
∂yφ(x, y) =g′(x−iy) ∂
∂y(x−iy) =−ig′(x−iy) よって f に対する Cauchy-Riemannの方程式は
0 = ∂
∂xf(x+iy) +i ∂
∂yf(x+iy) = 2g′(x−iy) = 2n(x−iy)n−1= 2nzn−1
となる．これは n = 1 ならば成立しない．n ≥2 ならば z = 0 のときのみ成立する．以 上により f(z) =zn は n= 1 ならばどの点でも複素微分不能であり，n≥2 ならば z = 0 でのみ複素微分可能であることがわかった．
問題 4.1 α, β を複素数の定数，z = x+iy (x, y ∈R)とするとき，
f(z) =ex(αcosy+βsiny)
が C で正則となるためのα, β に対する必要十分条件を求めよ．また，そのとき f(z) と f′(z) を z で表せ．
問題 4.2 α,β, γ を複素数の定数とするとき，f(z) =αz2+βzz+γz2 が Cで正則となる ための α, β, γ に対する必要十分条件を求めよ．また，そのときf(z) と f′(z) を求めよ．
問題 4.3 t を実数の変数として F(t) = exp(eit) とおく．
(1) F′(t) を求めよ．
(2)
∫ π 0
exp(eit)eitdt の値を求めよ．