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(3.21)
ここで，
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=め
/1ーピ) (3.22)の関係を用いる.この結果，式 (3.21)は次式となる.
円 υ ) =か叫ん
z‑j~)
[U(x+ α ) ‑ 内 ‑ α ) ]
叶引 d z z l z
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1( ν ‑ ~'， z " ) 1
仰[引九 ' { d 刈
(3.23 )ここで U(x)は単位ステップ関数である.
本解析のモデルでは，往路と復路の乱流媒質は同じものであり，観測点 z= 2hである か ら ， 再 生 像 九 は 次 式 と な る .
﹁1111111﹂
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(3.24 )
さらにストリップの中心強度 [01に oで規格化を行うと
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となる.
上式より，長時間露光による方法では，乱流以質は物体の解像度を単調に減少させる形 で作用することが示された.すなわち伝搬路が自由杢問中の場合に得られる再生像を [Frce
と置くとき，乱流媒質中を伝搬する場合の再生像は， 一般的に次式によって表されること になる.
山
3 . 4 . 2 短時間露光による再生像
(3.26)
次に短時間露光を用いた場合の再生像の定式化を行う.短時間露光による再生像を表す 式(3.10)は，次式のように変形される.
ん= (IL‑1vl)2 = L‑1(S)L本 一
l ( t ) (
υ(s，
z)♂( t ，
z)) (3.27)ここで， *は複素共役を表す.
この式より短時間露光による方法では回折波の 2次モーメントを逆変換することによっ て再生像が得られることになる.長時間露光による問題と同様に各領域は独立であるとす ると，回折波 υの2次モーメントは次式で与えられる.
(υ(
川 ♂ ( t
，z ) )
=4 k
2J d s ' J d t ' ( G ( s ー 。 ‑ h)G*(t‑ わ ‑ h ) )
( f ( s ' ) f
淑( t ' ) ) ( u
s( s
にh ) u ; ( t ' ， h ) ) ( 3 . 2 8 )
この回折波の2次モーメントを求めるために，右辺の各々の2次モーメントを次に導出する.
入射波の 2次モーメン卜
入射波をガウスビーム波(付a録 A参照)とする.このとき，入射波の相関関数 f1ilillは， 式(A.2)を式(2.36)に代入し，T + =
( s + t ) j 2
， T一 二s‑t
と変数変換を行うと次式となる.﹃I
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T + T 一 一
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4 (3.29)
この式に対し，T +に関するフーリエ変換を行い，式(2.35.)に代入することでガウスビーム 波の2次モーメントの近似式が得られる.
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p'= ‑ 2(z‑z') kω3
D(7fj‑4zff)
これらの式を導出する際，乱流は T方向には等方的であると仮定した.すなわち次式の成 立を仮定した.
D(r
， Z + ， Z ̲ )
= D(1、グ， + Z ̲ )
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さらに以下の関係も仮定した.
4
( Z ‑ Z ' )
2ωoPf/z// / H
二庁一τすく什 Z 一~ ) ~ f(z')
ω J τ 予 ¥
~ 2 ) (3.32)(3.33)
実際，ほとんどの場合において，式(3.32)の仮定は成立し，さらに平面波及び球面波の場 合，式(3.33)に関係なく式(3.30)は有効となる.その結果，式(3.30)は，式(3.32)，(3.33) のいずれかの仮定が満足されれば有効となる.
さらに，ガウスピーム波を平面波，球面波として取扱うための極限移行を式(3.30)のガ ウスビーム波の
2
次モーメントに施した場合，それぞれ次式となる.平面波:
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(3.34 )
球面波:
(us( s
，
h)く( t ，
h)) = iVlin ( T + ， Tー，z)叶引 l d z f j f h f f D ( ? f j T 上
(3.35)この極限移行の結果は，平面波及び球面波の式を 2次モーメントの式である式(2.36)に 直接代入して導出した場合と同じ結果となる.よって，式 (3.30)は平面波と球面波に対し
ても正確な表現となる.さらに，式 (3.30)は一般のピーム波に対しでも，十分精度のよい 近似表現となる.このガウスピーム波の2次モーメントの詳しい導出過程については，文 献[7]を参照されたい.
グリーン関数の2次モーメント
次にグリーン関数の
2
次モーメント( G ( s‑s ' ， z ‑h)G
添付 ‑t ' ， z ‑h ) )
を求める.自由空間中のグリーン関数を式 (2.11)とする.このとき，自由空間中のグリーン関数の 相関関数は次式で与えられる.
l¥1in =
G o ( s ‑ s ' ， z ‑h ) G ; ( t ‑t ' ， z ‑h )
= 4 (
4π7r(( z
Zl̲ 一h h ) ) r ) 叶 ‑ ‑ ' i ¥ J
j六 z̲h"T (T+-T~)'(ト
'+J， Tにし一…，二一寸一一一 . ̲ _-T 一→イTてつLリ))
'̲J)ρ
但し
‑jt
i 午
f ? ‑ tである.式(3.36)をT+に関してフーリエ変換を行うと次式となる.
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，，， =( 2 (
2( z
Z‑ ~ h h ) ) ) )
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j(κ‑L(T‑‑T ¥ . ‑ z ‑h ， . ̲ . リ ̲
Jl
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lJ ¥p (
J‑
Z ‑j i h T . L
+ ¥(T一一7'~)
. ̲ ， ̲) ) ) (3.37)この式を式(2.:35)に代入し，整理すると次式となる.
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( 4
4π(z‑7r(Zl̲ lh))
l)j k ‑ /・2exi〉 (jL(に -T~)' ( T+ ーペ ))
‑32 ‑
(3.3:8)
ここで，式 (3.36)を 用 い る と 式(3.3'8)は 次 式 と な り ， グ リ ー ン 関 数 の 一 般 的 な2次モーメ ントが得られる.
(G(s ‑s'
，
z ‑h)G*(t ‑t'，
z ‑h)) = Go(s ‑s'，
z ‑h)G~(t ‑t'，
z ‑h)叶一日刊
(3.39)短 時 間 露 光 に よ る 再 生 像
先 に 示 し た 入 射 波 及 び グ リ ー ン 関 数 の 2次 モ ー メ ン ト を 用 い て ， 回 折 波 の 2次 モ ー メ ン ト 及 び そ の 再 生 像 を 求 め る . な お ， 反 射 係 数
f ( r )
の2次 モ ー メ ン ト は 次 式 で 与 え ら れ る とする.シ
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(3.40)
して取扱う.この回折波の 2次 モ ー メ ン ト は 次 式 と な る .
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(3.41)ここで，
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で あ る . 式(ρ3.4引1)に式(ρ3.18幻)を代入し
ι
，上記の変数変;換失を千行子うと次式を得る.(
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巾(い仇1μ 1工，，川
引川Z zけかが判川川)V*) 川
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川$可(叶 一 子 子 f ρ υ
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これより，短時間露光を用いた場合の平均再生像は，式(:3.20)で与えられた波面再生のた めの作用素を用いると次式となる.
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(3.43)
次にこの積分に対し，変数変換を行う.まず，
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図 3.5:積分領域の変換 とし，積分領域を図 3.5のように変換する.
同様に '+1にに関する変数変換が成立する.この結果，式 (3.43)は次式となる.
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(3.45)
この式の に関する積分について式(3.22)の関係を用いることにより，次式が得られる.
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に関する積分領域に注意し，次の関係を用いる.¥I
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この結果，次式となる.