「数学的な言語力」 の枠組み .…

本節 では

,前

節 までの分析 を も とに

,数

学教育 において育成すべ き 「数学的 な言語 力」

の枠組み を構築す る。「数 学的 な言語力」 は

,[表

2.2]に 示す

(I)〜 (V)の

要 素 か ら 構成 され る。

[表 2.2]

(I)コ

ミュ ニ ケ ー シ ヨン の摘 切 な態 度 が 形 成 され て い る

̲(熊

度)

表現 を的確 に して相 手 を納得 させ た り

,根

拠 や合理性 等 を問い なが ら相手の意 見や 考 えを聞 く力 を発 展 させ るためには

,コ

ミュニケー シ ョンをす るこ とに価値 がある とい

う意識 を もつ。

(Ⅱ

)算

^{数 ,数}学 の多様 な表 現 ・表 記 が使 える。(表現 ・表 記)

自分 の考 えを数 学 の言語 。記号 。表現 に結 びつ け

,多

様 な数学 的 な表現 を用いて表 す ことがで きる。

(Ⅲ

)数

学的表 現 の よ さが理解 で きる。(数学的表 現 の よ さ)

多様 な方法 の違 いに気 づ き

,数

学的表現 の よ さを理解 して

,そ

の よさを状況に合 わせ て活用す ることがで きる。

(Ⅳ

)考

えや 情 報 の 伝 津 と解 釈 な ど

.他

者 との 交 流 が で き る

.(交

流)

説 明 を聞 いた り読 んだ りす る こ とで

,そ

の意味 を読み とることができる。 また, ^自分 の考 え

,意

^見

,方

^法

,情

^{報等 を}

,数

学用語 。記号 。表現 を用 いなが ら筋道 立 てて, 日頭 や文章 で説 明す る こ とがで きる。

(V)他

者 の説 明 を評 価 し、 自己 の説 明 に反 映 させ る こ とが で き る。(評価)

他者 の説 明を評価 し, 自己の説 明 をよ り良い ものに して い くこ と。

これ らの構 成 要 素 の 間 に は

,[図

^2.6]に示 す 階層 性 が考 え られ る。 す な わ ち

,下

^{に あ る}

構成要素 がその上 の基礎 となつてお り

,階

層が上が るにつれ て

,よ

リレベル の高い言語力 が要求 され る。

ζ馘 /¨ 嘉＼

/数 学的 表 現のよさ＼

/   ^{表現・ 表記 ＼}

/    ^{態度 ＼}

[Eコ 2.6]

「数学的な言語力」の五つの構成要素について

,以

下に説 明 をす る。

「

(I)コ

ミュニケー シ ョンの適切 な態度 が形成 され ている。(態度^)」

コ ミュニケー シ ョンの適切 な態度 を大 き く捉 える と

,伝

え る側 の態度 と受 け取 る側 の態 度 に分 け ることがで きる。伝 える側 の態度 としては,相 手が理解 しやす い説 明 を行 つた り^, 相手 の反応 を見 なが ら説 明 を行 うな ど

,相

手の ことを考 えて伝 える態度 が大切 であ る。 も

しも,説 明を してい る時 に相手が理解 していない様 に感 じた ら,も う一度説 明 をや り直す^, 説 明の方法 を変 えて伝 える とい つた姿勢 を持つ こ とも大切 で あ る。 受 け取 る側 の態度 とし

ては

,相

手 の説 明 を最後 まで真剣 に聞 くこ とや

,相

手 が何 を伝 えよ うとして い るのか を解 釈 しなが ら聞 くな ど

,相

手 の こ とを意識 して メ ッセ ー ジを受 け取 る態度 が必 要 にな る。相 手の説 明 を解釈 しなが ら聞いていて

,分

か らない こ とがあ る場合 は

,相

手 の説 明を最後ま で聞いた後 で

,解

釈 で きなか つた こ とを伝 え

,も

う一度説 明 を行 って も ら うな どして

,相

手の伝 えたい こ とを解釈 してい こ うとす る姿勢 を持 つ ことも大切 で あ る。

こ うした

,伝

える側 の態度 と受 け取 る側 の態度 は

,コ

ミュニケー シ ョンを行 う上 で基礎 とな るものであ り

,こ

れ らの態度 が身 につ いてい る状態が

,コ

ミュニ ケー シ ョンの適切 な 態度 が形成 され てい る状態 であ る。

34¨

「(Ⅱ

)算

数・ 数学 の 多様 な表 現 ・ 表 記 が使 え る。(表現 口表 記)l

算数・数学の多様な表現・表記が使 えるとは

,様

々な事象における数量やそれ らの関係 を式

,図 ,表 ,グ

ラフな どの数学的な表現・表記を用いて表す ことができることである。

★ 一

課 題

(澤田利 夫

,坂

^{井裕 ほか},2012,p.88)

(解答例)

1+3× x=1+3x

(答

)1+3x本

正方形 をx個つ くるときに必要 なス トローの本数が,上の図でス トロー を「左端 の1本」 と 「コの字型」 に分 けることで

,xを

用 いた式 で表現 され てい る。す なわ ち

,(左

端 の ¹ 本

)+(コ

の字型 に使 われ ているス トローの本数3本)× (正方形 の数

x)=1+3x(本

)。

「(Ⅲ

)数

学 的表現の よさが理解 で きる。(数学 的表現の よ さ)￨

中学校2年生 の教科書 の中に

,文

字式 を用 い る よさを実感 で き る題材 が取 り上 げ られ て い る。

2人は,世界一周道路 について話 しています。

例え￨よ 地表からlm離れていたら 赤道の長さよりもどのくらい

2人は、赤道のまわ りに、地表か らlm離してっ くった世界一周道路 と 赤道 の長 さの差 を考 える ことに しま した。

(岡本 和 三夫 ほ か, 2012, p.11)

けいたさんは,地球の半径が6378000mであることを使って,

次 のように求 めま した。

一月道路の長さは.2πX(6378000+1)(m)

2π X(63ワ8000+1)‑2π^×6378000

=i2756002π ‑12756000π

これを見ていたかりんさんは,日 年生のときに学んだ文字を 使って。次のように求めました。

赤道の長さは,2π r(m) 一周道路の長さは,2π(′+1)(m)

その差は,

2π(′+1)‑2π_「

文字の部分が 消えたよ^!

=2π「+2π ‑2π′

(岡本和夫 ほか,2012,p.12)

地球のおよその半径6378000mを用いた,けいた さんの方法は,複雑な数値計算「6378000

×2」 が必要であ る。 しか し

,地

球の半径 を

rで

表 している

,か

^{りん さんの方法では}

,そ

うした複雑な計算が回避 されている。 また

,文

字式の計算では

,rが

キャンセル され る数 量の構造が表現 されているので

,半

径 がい くらであろ うとも

,地

上

lm離

_{した道路 は常}

に 2π であることが理解 できる。

「(Ⅳ

)考

えや情報の伝達 と解釈など

,他

者 との交流ができる。(交流)」

金児 (2012)は,中学校 1年生 を対象 に「さおばか りづ くり」の実験授業を実施 している。

封筒の枚数 と支点か らのおも りの位置 との関係 を

,[表

^2.3]のよ うにま とめている。

‐36‐

[ラ長2.3]

封筒 の枚数(枚) 20 30 40 50 60

支点からのおもりの位置(clll) 5.9 13.1 20.1 26.7 32.1

上の表をグラフで表す際に

,表

^の5つの点が直線上に うま くの らないこ とが判明 した。

その時2名の生徒が

,封

筒の枚数が10枚ずつ増加す るときの (xの増加量),日盛 りの 増加量 (yの増加量

)を

平均 した値 を用いてグラフの傾きを求めた。

≪ S27 はい。私 た ちは

yの

増加 量 を平均 してみたんです。 その理 由は

,yの

増加 量 を

7に

して しま うと

,5.4が

あ るか ら少 し大 きい値 になって しま うので はないか と考 えたか らです。 ち らば ってい るか ら

,だ

か ら私 たちは平均 し てみ るこ とに しま した。

       

^｀

そ うか。yの増加 量 を平均 してみ るの

,か

しこい。

で もそれ でy切片 も計算 し直す のはなぜ ?

傾 きがかわれ ば

,封

^筒

^20枚

の ときに支点か ら目盛 りまでの距離 5.9cmの ところか ら減 ってい く数 も変わる じゃない。

そ っか

,だ

か らも う一度全部計算 し直 したんだ

:≫

^(金児,2012,p.25)

(Si生

徒 の発言 を表 す。⁾ S28

S29 S30

S31

S27は

,グ

ラフの傾 きを求 め る方法 とその理 由を説 明 して い る。それ を受 けて

,S29は

^,

なぜy切片 も計算 しなおす必要 が あるのか を疑間 に感 じ

,そ

^{の こ とについて}

,S30は ,傾

きが変 わ ったので も う一度 計算 しなおす必要性 を説 明 してい る。

S27の

よ うに,「

yの

増加 量 を平均す るJと い う自分た ちの考 えを

,理

^{由 を述べて相手}

に伝達す ることや

,S29や

^{S30の よ うに}

,他

者 との問答 を行 うこ とで意見 の交流がで きる こ とが_,「 (Ⅳ

)考

えや情報 の伝達 と解釈 な ど

,他

者 との交流 が で き る。(交流)」 に あた る。

「

(V)他

者 の説 明 存評 価 し

.自

己の説 明 に反映 させ る ことが で き る。(評価)」

清水 ら(2013)の紹介 している中学校 1年生を対象にした 「文字 と式」の指導事例をもと に説明する。

課題 縦

,横

^,

あ ります。

斜 めの数 の和 を同 じにす る魔方 陣 とい う遊びが 適 当な数 を入れ て

,次

の魔方陣 を完成 させな さい

b 3

4

授業 の流れ

(T:教

師 の発言

,S:生

徒 の発 言)

S2:左

下の空欄 に どの よ うな数 が あ つて も

,縦

と斜 めの合 計 は同 じです。 だか ら

,中

央 は

6で

す。 次 に

,斜

め と縦 の合計 も同 じだか ら

,2段

^{日の右 の空欄}

は

8で

す。 後 は

,数

の和 の合計が 18と わか るので

,上

の空欄 に

10,3段

目

T

S3 S4 S3

T

に

9,2,7が

入 ります。

これでいいですか ?

どうして縦

,横

の和が同 じになるの ? 左下を△ とす ると

,わ

か りやすいよ。(右図)

な るほ ど

,そ

^うか。

i説 明す る ときには

,言

葉 だ けで説 明す るので はな く

,図

の 中 に△な どの記 号 を使 うと

,聞

い て い る人 に伝 わ りやす くな るね。

S3,わ

か つた こ とを説 明 して くれ ます か ?

S3:真

ん中の数 を□ とす る と

,魔

方陣の約束か ら,5+4+△=3+□ +△ とな るので,

△がわか らな くて も 5+4=3+□ となるか ら

,□

^は6にな ります。

︱

し

Γ

Ｉ

２

︲ ト ー

(清水 ら,2013,p.60)

*1は

_,直前 のS2の説 明が解釈 で きず

,S3が

「どうして縦

,横

の和 が同 じになるの?」

と尋ねてい る。次のS4の 「左下を△ とす ると

,わ

か りやす い よ。」 とい う言葉 を うけてS3 は

,S2の

説 明の内容 を理解 で きている。そ して

, *2で

^は

^S4の

ア ドバイ ス を受 けて ^S3 が

,S2の

説 明 を分 か りやす い ものに してい る。

‑38¨

第 3章 「数 学 的 な言語 力」 の育 成 を 目指 した実 験

ドキュメント内 中学校数学における「数学的な言語力」の育成に関する研究 (ページ 37-43)