微分形式に対する Stokes の定理

接ベクトル 多様体Mの各点における微分作用素v=vⁱ∂_i.

図83の曲線cに沿った方向微分 df(q(t))

dt = ˙qⁱ∂_i (∂_i ≡∂/∂qⁱ)

→ ^{方向微分作用素}v= ˙qⁱ∂i

図83 ^合成写像t∈R7→c(t)∈M7→f◦c(t)≡f(c(t))∈R

c(t)に応じて(つまり動点の運動に応じて){∂i}を基底とする様々な速度{q˙ⁱ}^{を持つ作用素}vが得られ る．その全体が接空間を張る．

次に多様体の接空間に限らず，抽象的ベクトル空間V を考える．その基底を{ei}^，元をu_(i)=u_(i)^jejと 書く．

pベクトル p個のベクトルu(1),· · · , u(p)を実数に対応させる写像のうち，引数となるベクトルについて

p重線形: ω^p[u₍₁₎,· · · , au_(i)+bv_(i),· · · , u_(p)] =aω^p[u₍₁₎,· · · , u_(i),· · ·, u_(p)] +bω^p[u₍₁₎,· · ·, v_(i),· · ·, u_(p)] 歪対称: ω^p[u₍₁₎,· · · , u_(i),· · ·, u_(j),· · ·, u_(p)] =−ω^p[u₍₁₎,· · ·, u_(j),· · · , u_(i),· · ·, u_(p)]

となるω^pのこと．

• ^例えば1ベクトルωは

ω:V →R:u∈V 7→ω[u]∈R という線形写像．

• ^特に1ベクトルE^iを，

Eⁱ[u^jej] =uⁱ

で定義しておく．これはベクトルu=u^je_jの第i成分uⁱを取り出す写像である．

1ベクトルω₍₁₎,· · ·, ω_(p)からpベクトルを構成することを考える．

テンソル積 ω₍₁₎⊗ · · · ⊗ω_(p) テンソル積ω₍₁₎⊗ · · · ⊗ω_(p)を

(ω₍₁₎⊗ · · · ⊗ω_(p))[u₍₁₎,· · · , u_(p)] =ω₍₁₎[u₍₁₎]· · ·ω_(p)[u_(p)] で定義する．

外積 ω₍₁₎∧ · · · ∧ω_(p)

テンソル積ω₍₁₎⊗ · · · ⊗ω_(p)を用いて外積ω₍₁₎∧ · · · ∧ω_(p)を (ω(1)∧ · · · ∧ω(p))[u(1),· · ·, u(p)] =∑

π

sgn(π)(ω(1)⊗ · · · ⊗ω(p))[u(π1),· · ·, u(πp)] で定義する．ここに

置換π=

(1 2 · · · p π1 π2 · · · πp

)

, その符号sgn(π) = {

+1 (偶置換)

−1 (奇置換) である．

これは行列式

ω₍₁₎[u₍₁₎] · · · ω₍₁₎[u_(p)] . . . . ω_(p)[u₍₁₎] · · · ω_(p)[u_(p)] であり，u₍₁₎,· · ·, u_(p)について歪対称だからpベクトルである．

また，外積はω₍₁₎,· · ·, ω_(p)についても歪対称であることが分かる．

さらにこれは転置行列の行列式にも一致するから

∑

π

sgn(π)(ω(π1)⊗ · · · ⊗ω(πp))[u(1),· · ·, u(p)]

とも書け，

ω₍₁₎∧ · · · ∧ω_(p)=∑

π

sgn(π)(ω_(π1)⊗ · · · ⊗ω_(πp)).

pベクトルω^pが

ω^p=∑′

ai₁···i_pEⁱ¹∧ · · · ∧ E^ip (16) と展開されることを示す(ただし∑_′

は1≤i1 <· · ·< ip ≤dimV の和)．ai₁···i_p≡ω^p[ei₁,· · ·, ei_p]とおく とこれは添字に関して反対称である．

ω^p[u₍₁₎,· · · , u_(p)] =ω^p[ei₁,· · · , ei_p]u₍₁₎ⁱ¹· · ·u_(p)^ip (ω^pの線形性)

=ai₁···i_pEⁱ¹[u₍₁₎]· · · E^ip[u_(p)]

=ai₁···i_pEⁱ¹⊗ · · · ⊗ E^ip[u₍₁₎,· · ·, u_(p)] なので，

ω^p=ai₁···i_pEⁱ¹⊗ · · · ⊗ E^ip と書ける．よって

ω^p=∑′∑

π

aπi₁···πi_pE^πi1⊗ · · · ⊗ E^πip (ここで∑_′

で1≤i₁<· · ·< i_p≤dimV と大小関係を指定する代わりに，

置換π=

(i1 i2 · · · ip

πi1 πi2 · · · πip

)

で順序を混ぜている)

=∑_′∑

π

sgn(π)a_i1···ipE^πi1⊗ · · · ⊗ E^πip (a_i1···ipの反対称性)

=∑′

ai₁···i_pEⁱ¹∧ · · · ∧ E^ip.

V として多様体の接空間をとりpベクトルω^p=∑_′

ai1···ipEⁱ¹∧ · · · ∧ E^{ipを考える．}

微分df 接ベクトルv=vⁱ∂_iに作用して方向微分vⁱ∂_if を与える1ベクトル(従って写像)

df[v] =vⁱ∂if = (∂if)E[v], ∴df = (∂if)Eⁱ (17) を導入する．

q^j(q) =q^j

で定義される座標関数q^jをf にとると，微分df の式(17)に現れる∂_if におけるf(q) =q^j(q) =q^j は座標関数ではなく座標成分となることに注意して

∂if =δ_i^j, ∴dq^j =E^j を得る．

よってpベクトルは

ω^p=∑′

ai₁···i_pdqⁱ¹∧ · · · ∧dq^ip

と表される．ω^pは多様体のある点Qの接ベクトルに作用する(点Qの接ベクトルを引数とする)写像である ことを明記するため，これを(ω^p)Qと書く．

p(次微分)形式ω^p 多様体の各点でpベクトル(ω^p)Qを与える 場 ω^p=∑′

ai1···ipdqⁱ¹∧ · · · ∧dq^ip. 全微分df 微分(df)_Qの 場 である1形式df = (∂_if)dqⁱ．

座標関数の全微分はd¯qⁱ= _∂q^∂¯qi_jdq^jより反変ベクトル成分の変換則に従うため，p形式∑_′

a_i1···ipdqⁱ¹∧

· · · ∧dq^ipが座標系に依らない意味を持つにはa_i1···ipはp階共変テンソルの変換則に従わなければなら ない．

外微分 p形式

ω=∑_′

f_i1···ipdqⁱ¹∧ · · · ∧dq^ip

を外微分すると，dfi₁···i_pをfi₁···i_pの全微分(従って1形式)としてp+ 1形式 dω=∑_′

df_i1···ip∧dqⁱ¹∧ · · · ∧dq^ip を得る．

■微分形式の積分 以下ではω^p[u₍₁₎,· · ·, u_(p)]≡ ⟨ω^p|u₍₁₎,· · ·, u_(p)⟩という記法を用いる．多様体上の積分 領域Aを(ξ¹,· · · , ξ^p)でパラメトライズし，領域Aに対応する(ξ¹,· · ·, ξ^p)の範囲をA¯とする．このときp 形式ω^pの積分は ∫

A

ω^p≡

∫

A¯

⟨ ω^p

∂

∂ξ¹,· · ·, ∂

∂ξ^p

⟩

dξ¹· · ·dξ^p で定義される．ここで

∂

∂ξ^j = ∂q^k

∂ξ^j

∂

∂q^k, ∴dqⁱ [ ∂

∂ξ^j ]

=Eⁱ [∂q^k

∂ξ^j

∂

∂q^k ]

= ∂qⁱ

∂ξ^j なので

⟨ ω^p

∂

∂ξ¹,· · ·, ∂

∂ξ^p

⟩

=∑_′ f_i1···ip

⟨

dqⁱ¹∧ · · · ∧dq^ip ∂

∂ξ¹,· · · , ∂

∂ξ^p

⟩

=∑_′ f_i1···ip

dqⁱ¹[∂/∂ξ¹] · · · dqⁱ¹[∂/∂ξ^p] . . . . dq^ip[∂/∂ξ¹] · · · dq^ip[∂/∂ξ^p]

=∑′

fi₁···i_p

∂(qⁱ¹,· · · , q^ip)

∂(ξ¹,· · · , ξ^p) ,

∴

∫

A

ω^p=

∫

A¯

∑_′

f_i1···ip∂(qⁱ¹,· · · , q^ip)

∂(ξ¹,· · · , ξ^p) dξ¹· · ·dξ^p (18) と書き換えられる．なお

∂(qⁱ¹,· · ·, q^ip)

∂(ξ¹,· · ·, ξ^p) dξ¹· · ·dξ^p≡ ∂(q)

∂(ξ)d^pξ=∂(q)

∂(ξ)

∂(ξ)

∂( ¯ξ)d^pξ¯=∂(q)

∂( ¯ξ)d^pξ¯ より，この積分はパラメータ(ξ¹,· · ·, ξ^p)の取り方に依らない．

■Stokesの定理 n次元の領域Dと境界∂Dに向きのつけられるとき，任意のp≡(n−1)形式ωに対して

∫

D

dω=

∫

∂D

ω (19)

が成り立つ．

■面積要素を構成する 領域Dの境界∂Dを(ξ¹,· · ·, ξ^p)でパラメトライズする．1つのパラメータξ^jが動 いてできる座標曲線上の2点q(ξ^j), q(ξ^j+ dξ^j)を結ぶ∂Dの接ベクトルをd^(j)qとすると，その第i成分は d^(j)qⁱ= ^∂q_∂ξⁱjdξ^j(jについて和をとらない)なので，∂Dにわたるω^pの積分から

∂(qⁱ¹,· · ·, q^ip)

∂(ξ¹,· · ·, ξ^p) dξ¹· · ·dξ^p=

∂qⁱ¹

∂ξ¹dξ¹ · · · ^∂q_∂ξⁱp¹dξ^p . . . .

∂q^ip

∂ξ¹ dξ¹ · · · ^∂q_∂ξ^ippdξ^p

=

d⁽¹⁾qⁱ¹ · · · d^(p)qⁱ¹ . . . . d⁽¹⁾q^ip · · · d^(p)q^ip が現れる．これは無限小ベクトルd⁽¹⁾q,· · · ,d^(p)qの張る面積要素を与える．

ドキュメント内 【PDF】今井功『流体力学』 (ページ 127-131)