4.2 平面領域のエネルギー、結び目とランダムな円との絡み数の二乗平均
4.2.1 平面領域の繰り込まれた r − 4 -ポテンシャルエネルギー、領域対の相互エネルギー
w∈Ω◦ に対して,wにおけるΩの繰り込まれた r−4-ポテンシャルを下で定める：
VΩ(−2)(w) := lim
ε→0
(∫
Ω\Bε(w)|w−z|−4dz− π ε2
) .
するとVΩ(−2)(w) =−
∫
Ωc|w−z|−4dz<0で,Ω∋◦ w→∂ΩならVΩ(−2)(w)→ −∞となる. 正確には、
Letδ=d(·, K) denote the distance function toKdefined on Ω. Letε >0 be such that, wheneverδ(w)< ε, there is a uniquep∈K withd(w, K) =|w−p|. For every suchw,
V(w,Ω) =− ( π
4δ(w)2 +κ(p)π 4δ(w)
)
+O(1), (38)
whereκ(p) is the curvature of Kat p, andO(1) stands for a bounded function on Ω.
VΩ(−2)をΩ上で積分しようとすると, 境界付近の寄与のため
∫
Ω
VΩ(−2)(w)dw=−
∫
Ω×Ωc
dwdz
|w−z|4 =−∞と発 散してしまう. そこで∂Ωで繰り込みをする。Ωδ := Ω\Nδ(K)とおいて、Ωの繰り込まれた r−4-エネルギーを 下で定める：
E(Ω) := lim
δ→0
(∫
Ωδ
VΩ(−2)(w)dw+ π 4δL(K)
) . ここで、
∫
Ωδ
VΩ(−2)(w)dw=−
∫
Ωδ×Ωc
dwdz
|z−w|4 で、Ωδ∩Ωc=∅となることから、まずR2⊃Ω1,Ω2(Ω1∩Ω2=∅) に対し、領域対の相互エネルギーを
E(Ω1,Ω2) :=
∫
Ω1×Ω2
dwdz
|z−w|4 で定める。この被積分関数は、複素球面の無限小非調和比
ω
cr:= dw∧dz(w−z)2 を用いて、
dwdz
|z−w|4 =1
2ℜe
ω
cr∧ ℜeω
cr =12ℑm
ω
cr∧ ℑmω
crと表わされる。このことからもR2×R2\ △上の4-formdwdz/|z−w|4はメビウス変換の対角作用で不変にな ることが分かる。命題3.14より、無限小非調和比の実部は
ℜe
ω
cr =−12
(Tｓ∗R2の標準的symplectic形式
ω
T∗R2
) をみたすので、
E(Ω1,Ω2) = 1 2
∫
Ω1×Ω2
ω
T∗R22 ∧
ω
T∗R22
となる。余接束のシンプレクティック形式は完全なので、Stokesの定理を２回使うと, (21)より、Ki=∂Ωiとして, E(Ω1,Ω2) =−1
2
∫
K1×K2
cosθ1cosθ2
dp1dp2
|p2−p1|2
=−1 2
∫
K1×K2
sinθ1sinθ2 dp1dp2
|p2−p1|2
=−1 4
∫
K1×K2
−→dp1·−→dp2
|p2−p1|2.
被積分関数のメビウス不変性より、E(Ω1,Ω2)はメビウス変換で不変であることが分かる。
E(Ω) = lim
δ→0
(
−
∫
Ωδ×Ωc
dwdz
|z−w|4 + π 4δL(K)
)
= lim
δ→0
(
−E(Ωδ,Ωc) + π 4δL(K))
だったので、E(Ωδ,Ωc)の境界積分表示でδ→0つまり∂Ωδ →∂Ωc=K として繰り込みを行い、積分幾何学で のBanchoff-Pohlの結果のM¨obius幾何版（Subsubsection 3.1.2）、積分幾何学の結果などを用いると、
µ
K
1
2
p Ω K µ
1
2
Ω1 p
2 1
2
µ K Ω p q µ
p
q
図40:
定理 4.15 θp (θq)をp(q)においてq−pと K がなす角, ∆ε:={(w, z)∈R2×R2| |z−w|< ε}とすると、
E(Ω)−π2
4 χ(Ω) = lim
ε→0
(
−
∫
Ω×Ωc\∆ε
dwdz
|w−z|4 +2L(K) ε
)
= lim
ε→0
(∫
Ω×Ω\∆ε
d2wd2z
|z−w|4 −πArea(Ω)
ε2 +2L(K) ε
)
= lim
ε→0
(
−1 2
∫
K×K\∆ε
cosθpcosθq dpdq
|q−p|2 +L(K) ε
)
=−1 2
∫
K×K
sinθpsinθq
dpdq
|q−p|2 (39)
= lim
ε→0
(
−1 4
∫
K×K\∆ε
−
→dp·−→dq
|q−p|2+L(K) 2ε
) . 境界K上の二重積分で表せるので、これをE(K)とおく。
Ωが凸ならば
E(Ω)−π2 4 =
∫
{ℓ:lines inR2|ℓ∩Ω̸=∅}
dℓ L(ℓ∩Ω),
ここで、L(ℓ∩Ω)は直線ℓがΩで切り取られたコードの長さ、dℓは平面内の直線全体の集合に入る、合同変換で 不変な測度である。
上の公式の３番目(39)より、E(Ω)は平面曲線Kの symmetric normal projection energy (18)と等しい。
R2をH3のPoincar´e上半空間モデルの理想境界とすると,SをH3の滑らかな曲面で,理想境界R2と理想境界 Kで直角に交わるようなものとする. すると,次のGauss-Bonnet公式が成立する：
∫
S
κ dS= 2πχ(S) + 2 π
∫
R2×R2
(♯(ℓwz∩S)−lk2(w,z;K)) dwdz
|z−w|4− 4
πE(Ω) +πχ(Ω),
ここで,κはSの外的曲率,ℓwz は理想端点w,zを結ぶH3の測地線,lk(w,z;K)はKと線分zw の代数的交点 数とする. これより
系 4.16 E(Ω)≥π2. 等号⇐⇒Ωが円板 系 4.17 E(Ω)はメビウス変換で不変
繰り込みの過程はメビウス変換と両立しないので、E(Ω)のメビウス不変性は自明ではない。繰り込みを使う公式 から直接メビウス不変性を示すこともできる。
未解決問題 4.18 αの値を変えると、今までの話はどこまで成立するか。（メビウス不変性は成立しなくなる）
未解決問題 4.19 次元を上げるとどうなるか？Ωが2次元のときには、繰り込みで必要な項は一つだけで、係数は 境界の長さになる。Ωが3次元のときには、繰り込みで必要な項は二つ以上出てきて、二番目の係数はWillmore 汎関数になると思われる。
4.2.2 ２成分絡み目への拡張
L=K1∪K2をR3内の絡み目とする。ΩiをKiのザイフェルト面（つまりΩiは∂Ωi=Kiとなる向き付可能 な曲面）として上のE(Ω1,Ω2)をこのケースに適用したいのだが、一般にはΩ1とΩ2は交わってしまう可能性が ある。そこで、次元を余計にとって交わりを解消して、ザイフェルト面をRn (n≥3) でΩ1∩Ω2=∅となるよう にとる。
相互エネルギーを
E(K1, K2) := 1 2
∫
Ω1×Ω2
ω
T∗Rn2 ∧
ω
T∗Rn2
で定める。ここで
ω
T∗Rnは,T∗Rnの標準的シンプレクティック形式をRn×Rn\∆∼=T∗Rnなる同一視で引き戻 したもの（K1, K2⊂R2の場合の拡張になっていることに注意）. 右辺は一見Ω1,Ω2の取り方に依るように見え るが、Stokesの定理２回適用し、Banchoff-Pohlの積分幾何(double fibration)を用いると、E(K1, K2) =−1 2
∫
K1×K2
cosθ1cosθ2
dp1dp2
|p2−p1|2
=−1 4
∫
K1×K2
−→dp1·−→dp2
|p2−p1|2
=− 3 16π
∫
{γ:ori. circles}
lk(γ, K1)lk(γ, K2)dγ
となり、Ω1,Ω2の取り方に依らずにK1, K2のみで定まることが分かる。定義と
ω
T∗Rn のメビウス不変性から、E(K1, K2)はメビウス変換で共変である。
注 4.20 上の２番目の式で、分母の指数を変えて
∫
K1×K2
−→dp1·−→dp2
|p2−p1|
とすると、二つの導線K1, K2の間の相互インダクタンスを与えるvon Neumannの公式になる。
4.2.3 ２成分絡み目から結び目へ
ここで K1=K2として繰り込みを行うことにより,Kのエネルギーを下で定める：
定義 4.21 Sεを半径≥εなる向きづけられた円全体のなす集合、dγをR3内の円全体の集合上に入るM¨obius不 変な測度とする。
E(K) := lim
ε→0
(
− 3 16π
∫
Sε
lk2(γ, K)dγ+3πL(K) 8ε
) と定める。絡み目LのE(L)も同じ式で定める。
繰り込みの過程は距離を用いるためメビウス変換と両立しないが,
定理 4.22 (1) γを境界とする円盤を[γ]とすると、次が成立：
E(K) = 3 16π
∫
S(1,3)
(#(K∩[γ])−λ(γ, K)2) dγ.
(2) E(K)はC2-位相に関して連続である。
(3) 次のGauss-Bonnet 公式が成り立つ：
1 π
∫
N1S
κ de dS= 2πχ(S) + 3 4π2
∫
L+2
(♯(ℓ∩S)−lk2(ℓ, K))dℓ−2 πE(K), ここで,κは単位法束N1S のLipschitz-Killing曲率, deは Nx1S の体積要素をあらわす.
(4) E(K)はメビウス変換で不変である. （上の公式から、あるいは、繰り込みを用いた式から直接示すことも できる）
(5) E(K)は下に有界でないし、C2-self-repulsiveでもない。実際結び目が自己交叉しようとすると、その交点 の角度φに応じて, 0≤φ < π/2なら−∞に発散し、π/2< φ≤πなら+∞に発散し、φ=π/2なら発散 しない。
(6) p, q を通り,K とpで接する平面とq で接する平面のなす角をθpqとすると, E(K) =−1
2
∫
K×K
cosθpqsinθpsinθq
dpdq
|q−p|2.
(7) Let Kε be an ε-parallel curve given by Kε ={x+ε n(x)|x∈K}, where nis the unit principal normal vector to K.
E(K) = lim
ε→0
(
−1 2
∫
K×K\∆ε
cosθpcosθq
dpdq
|q−p|2 +L(K) ε
)
= lim
ε→0
(
−1 4
∫
K×K\∆ε
−
→dp·−→dq
|q−p|2 +L(K) 2ε
)
= lim
ε→0
(E(K, Kε) + π 4εL(K))
−π 8
∫
K
κ(p)dp.
(8) E◦(2)と同様Additive link property (25)が成立する。すなわち、
E(K1∪K2) =E(K1) +E(K2) + 2E(K1, K2).
図41: 図のτはθpqのこと
注 4.23 (1) 上の式でcosθpqをsinθpqに変えると,Kのwritheになる. これも（被積分関数自体はメビウス不 変ではないが）結び目のメビウス不変な量である.
(2) 分母の指数を1 に変えると,Kの長さになる.
(3) 分母の指数を0に変えると, Banchoff-Pohlによる,Kに囲まれた面積になる.
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