シンプレクティック形式としての無限小非調和比の実部と虚部

Therefore,

dω1= 2ℜeωcr, dω23= 2ℑmωcr.

3.1.3 無限小非調和比の低次元版

CをS²の曲線、{P, Q}をC上にない2点とする。

定義 3.4 Lのx∈Cにおける無限小非調和比Ω = ΩL(x)を、P, Q, x, x+dxの非調和比 ΩL(x) = P−Q

P−(x+dx) : x−Q

x−(x+dx) ∼ (P−Q)dx (P−x)(Q−x)

で定める。ただし、P, Q, x, x+dxはS²からC∪ {∞}への立体射影により複素数とみなす。

定理 3.5 Tを、S²からC∪ {∞}への立体射影で、Qを ∞にうつすものとする。P ,e x,˜ Ce を P, x,C のT によ る像とすると、無限小非調和比ΩL は、複素解析でおなじみの微分形式である、 dz

z−Pe

(z∈Ce)

の引き戻しに等 しい：

(T^∗)⁻¹ΩL= d˜x

˜ x−Pe.

系 3.6 Cを単純閉曲線とする。ΩLの実部ℜeΩLのC上の積分は0になる。ΩLの虚部ℑmΩLのC上の積分は、

Ceの点Peに関する回転数n(C,e P)（これはe “link”L={P, Q} ∪Cの絡み数と考えられる）の2πi倍と等しい：

∫

C

ΩL=

∫

CℑmΩL=

∫

Ce

d˜x

˜

x−Pe = 2πi·n(C,e Pe).

Define a 1-formθ of T^∗M byθ(x,v)= (dπ)^∗v, namely,

θ(x,v)(w) =v(dπ(w))∈R w∈T(x,v)T^∗M, (x, v)∈T_x^∗M.

This 1-form θ is called the tautological 1-form of T^∗M. It is also called the Liouville 1-form or the symplectic potential.

局所座標を使うと、局所的にθ=∑

pidqiと表される。ωM =−dθが成り立つので、T^∗M の標準的なsymplectic formは完全形式である。

(2) 複素多様体のケーラー形式

M を2n次元多様体とする。J がM 上の概複素構造とは、J : T M → T M でJ(TpM) = TpM (∀p ∈ M), J◦J =−1を満たすもののことである。M =CⁿのときにはTpCⁿ=CⁿでJCⁿ(v) =√

−1vとする。概複素構造 Jが複素構造であるとは、M の各点pに対し、pの近傍U,Cⁿの開集合V,微分同相写像φ:U →V が存在して、

dφ◦J =JCⁿ◦dφが成立することをいう。Mのリーマン計量gがg(JV, JW) =g(V, W) (∀V, W ∈TpM,∀p∈M) を満たすときエルミート計量という。このときωM(V, W) =g(JV, W)で定まるωMをエルミート計量に付随する 2次形式という。dωM = 0となるとき、(M, J, g)をケーラー多様体といい、ωM をそのケーラー形式という。

3.2.2 実部〜Sⁿ×Sⁿ\ △のシンプレクティック構造〜双曲空間を経由して

AsS³can be considered as the boundary of 4-dimensional hyperbolic spaceH⁴,S³×S³\∆ can be considered as the space of oriented geodesics in H⁴, which is denoted by G. The tangent space TγG along a geodesic γ is the space of Jacobi fields alongγ. Let∇denote the Levi-Civita connection. Then, if we put

ωg(ξ, η) = (ξ(t),∇_γ

.

η(t))−(η(t),∇_γ

.

ξ(t)) (∀t∈R)

for ξ, η ∈ TγG, where (, ) denotes the standard inner product on Tγ(t)H⁴, then ωg is an isometry-invariant symplectic form on G ([Be] 2C, [Kl] 3.1). Since an isometry of H⁴ induces a M¨obius transformation of the boundary sphereS³,ωgderives a symplectic form onS³×S³\∆ which is invariant under the diagonal action of the M¨obius group.

3.2.3 実部〜Sⁿ×Sⁿ\ △のシンプレクティック構造〜余接束を経由して

Sⁿ ⊂ Rⁿ⁺¹ とし、Sⁿ ∋ x に対し Π^x を原点 O を通り、ベクトル −→Ox と直交する Rⁿ⁺¹ の n-平面とし、

px:Sⁿ\ {x} →Πx を立体射影とする。Πxを平行移動により、TxSⁿ と同一視すると、Sⁿ\ {x}は φ^x:Sⁿ\ {x} ∋y7→(T^xSⁿ∋v7→p^x(y)·v∈R)∈Tx^∗Sⁿ,

で同一視する(図18)。ここで· はRⁿ⁺¹ の内積。これにより、次の同一視を得る：

図 18: Sⁿ×Sⁿ\ △ ∼=T^∗Sⁿ

φ:Sⁿ×Sⁿ\ △ ∋(x,y) 7→ (x, φ^x(y))∈T^∗Sⁿ. T^∗Sⁿ の標準的なシンプレクティック形式

ω

_Sn はSⁿ×Sⁿ\ △上次式で与えられる。

ω

_Sn=d (

−

∑n+1 i=1 yidxi

1−x·y )

=

∑n+1

i=1 dxi∧dyi

1−x·y +(∑n+1

i=1 yidxi)∧(∑n+1 i=1 xidyi)

(1−x·y)² . (19)

命題 3.8 (1)

ω

_Sn は M¨obius変換の Sⁿ×Sⁿ への対角作用で不変。

(2) (folklore)n= 2 とする。立体射影によりS²∼=C∪ {∞}と同一視すると ℜeωcr=ℜe dw∧dz

(w−z)² =−1 2

ω

S²., (20)

注 3.9 (1)

ω

_Sn =−d(∑n+1

i=1 yidxi/(1−x·y))

だが、∑n+1

i=1 yidxi/(1−x·y)はM¨obius変換の対角作用で不 変ではない。実は、メビウス変換の対角作用で不変な Sⁿ×Sⁿ\ △ 上の1-formは存在しない。

(2) メビウス変換はSⁿの対蹠点を保たないので、同一視φ:Sⁿ×Sⁿ\ △ →T^∗Sⁿ はメビウス変換と両立しな いので、命題3.14の(1)は自明ではない。

(3) Sⁿ×Sⁿ\ △上の2-formでメビウス変換の対角作用で不変なものは、定数倍を除いて

ω

_Snに限る([1]§3.2, [O10])。

(4) 無限小非調和比 _(w−z)^dw∧dz2 の実部は（T^∗Sⁿ の標準的なシンプレクティック形式として）高次元（Sⁿの0次元 球面全体のなすグラスマン多様体∼=Sⁿ×Sⁿ\ △(n≥3)）に拡張するが、虚部はSⁿ×Sⁿ\ △(n≥3)で はなく、別の空間（Sⁿの余次元2の球面全体のなすグラスマン多様体）に拡張する。

pN :Sⁿ\N →Rⁿを立体射影とすると、P :=pN−1

×pN−1:Rⁿ×Rⁿ\ △ →Sⁿ×Sⁿ\ △として P^∗

ω

_Sn=−2d

( ∑n

i=1(zi−wi)dwi

|z−w|² )

=−2d ( ∑n

i=1(zi−wi)dzi

|z−w|² )

(21)

= 2 ( ∑n

i=1dwi∧dzi

|z−w|² −2(∑n

i=1(zi−wi)dwi)∧(∑n

j=1(zj−wj)dzj)

|z−w|⁴

) .

これは、T^∗Rⁿの標準的シンプレクティック形式

ω

_T∗Rnを、Rⁿ×RⁿとT^∗Rⁿの間の全単射ψで引き戻したも のと等しい。

3.2.4 虚部〜グラスマン多様体のケーラー形式として

By taking the hyperboloid model ofH³, the ideal boundary is identified to the set of lines in the light cone of the Minkowski spaceR⁴1. Thus the spaceC×C\∆ can be identified with a dense open set of a Grassmannian manifoldSO(3,1)/SO(2)×SO(1,1) which is the space of the oriented timelike 2-planes in R⁴1.

Let S(n−2, n) be the set of oriented codimension 2 subspheres inSⁿ. We can realize Sⁿ in the Minkowski space Rⁿ⁺²1 as the intersection of the light cone and a spacelike affine hyperplane. Therefore S(n−2, n) can be identified with the set of oriented timelike codimension 2 subspaces ofRⁿ⁺²1 . Let us denote it byG. It is a non-compact Grassmannian manifoldSO(n+1,1)/SO(2)×SO(n−1,1) with an indefinite pseudo inner product

⟨, ⟩. Just like in compact case,G has a K¨ahler form

ω

_{K defined by}

ω

_{K(u, v) =⟨Ju, v⟩(u, v ∈TΠG,Π∈G),}

where J is the complex structure given by a 90^◦ degrees rotation which can be considered as an element of SO(2). This K¨ahler form

ω

_K is invariant under orientation preserving M¨obius transformations on Sⁿ, which are given by the action by elements ofSO(n+ 1,1) on the light cone inRⁿ⁺²1 .

命題 3.10 Whenn= 2,

ℑm

ω

_cr=−¹

2

ω

_{K =−}¹

2(SO(3,1)/SO(2)×SO(1,1)のK¨ahler形式).

To be precise, the right hand side should be understood to be −¹2(f×f)^∗

ω

_{K, where f :R→ S}²_{\ {pt.} is the}

inverse of an orientation preserving stereographic projection.

証明: As bothωcr and

ω

_K are invariant under M¨obius transformations, we may fix a point Π inG. Suppose e0, e1, e2, e3 form a pseudo-orthonormal basis ofR⁴1 withe0·e0=−1 andei·ej =δij((i, j)̸= (0,0)). Assume Π = Span⟨e0, e1⟩. ThenTΠG∼= Hom(Π,Π^⊥) is spanned byvij (i= 0,1, j = 2,3), where vij ∈Hom(Π,Π^⊥) is given byvij(ei) =ej and vij(e1−i) = 0. They form a pseudo-orthonormal basis of TΠGwith ⟨v0j, v0j⟩=−1 and⟨v1j, v1j⟩= 1 (j= 2,3).

Since the complex structure J is obtained by 90^◦ degrees rotation in the e2e3-plane, namely, J(vi2) = vi3

(i = 0,1), we have

ω

_{K(v02, v03) = −1,}

ω

_{K(v12, v13) = 1, and}

ω

_{K(vij, vkl) = 0 if {vij, vkl}} is not equal to {v02, v03}or {v12, v13}.

On the other hand, by a suitable identification, Π correspnds to ((u, v),(x, y)) = ((1,0),(−1,0)) inR²×R²\∆ andvij correspond to

v02= ∂

∂v + ∂

∂y, v03=−∂

∂u + ∂

∂x, v12= ∂

∂v − ∂

∂y, v13=−∂

∂u − ∂

∂x.

Take care not to use a stereographic projection form the north pole here as it is orientation reversing. Now the

direct computation shows that

ω

_K=−2ℑmωcr. ✷

ドキュメント内 プレゼンファイル・集中講義ノート Jun O'Hara (ページ 41-44)