余次元が２以上の球面のなすグラスマン多様体のプリュッカー座標

余次元n−q≥2とする。

一般にΠをRⁿ⁺²1 のk次元部分空間、v1, . . . , vkをその基底とする。N =(_n+2

k

)としたとき、v1∧ · · · ∧vk ∈∧^k Rⁿ⁺²1 ∼=R^N となる。Π に[v1∧ · · · ∧vk]∈RP^N−1を対応させることにより、Rⁿ⁺²₁ のk次元部分空間のなすグラ スマン多様体とpurek-vectorsを射影空間RP^N−1で考えたもの全体のなす空間との間の全単射が得られる。こ

こでpurek-vectorとは、k個のベクトルの外積として表すことの出来るようなベクトルのことである。

ここでは、(q+2)次元線形部分空間に向きを込めて考えるので、射影空間ではなくて^q+2∧

R⁵1で考えることにする。

v1∧ · · · ∧vq+2のプリュッカー座標（グラスマン座標）とは、v1からvq+2まで並べてできる(n+ 2)×(q+ 2)行列の (q+ 2)-次小行列式を並べたものである。例えばn= 3, q= 1の場合、Π=Span⟨v1,v2,v3⟩,vm= (vm0,· · ·, vm4)

(m= 1,2,3)としたとき、そのプリュッカー座標は

pijk =

v1i v12i v3i

v1j v2j v3j

v1k v2k v3k

として

v1∧v2∧v3= (p012, . . . , p234)∈R¹⁰ で与えられる。N =( ₅

3−q

)として

R^N ∼=

q+2∧

R⁵1∋p= (p_0···q+1, . . . , p_{4−q−1···4})がpureq+ 2-vector⇐⇒pi1···iq+2がプリュッカー関係式を満たす が成立する。 ここで、プリュッカー関係式は2次式= 0の形をしている。

グラスマン代数∧^k

Rⁿ⁺²1 の擬リーマン構造を

⟨u1∧ · · · ∧uk,v1∧ · · · ∧vk⟩= det (⟨ui,vj⟩) (27) で定める(p. 280 of [HJ])。すると, (q+ 2)次元線形部分空間Π= Span⟨v1, . . . , vq+2⟩に対応するp=v1∧ · · · ∧vk

は、

• Π が時間的（光錐と横断的に交わる）⇒⟨p,p⟩<0

• Π が空間的⇒⟨p,p⟩>0

• Π がイソトロピック⇒⟨p,p⟩= 0 以上より

Ge_q+2,n+2⁻ ∼= {_q+2

∧ Rⁿ⁺²1 のノルム1の時間的pure (q+ 2)-vectors }

, Ge_n⁺_−q,n+2∼=

{_n−q

∧ Rⁿ⁺²1 のノルム1の空間的pure (n−q)-vectors }

が分かる。Ge_q+2,n+2⁻ とGe_n⁺_−q,n+2 の間の同型は Hodge ⋆-operator （の−1倍）で与えられる。ここで Hodge

⋆-operatorは

a∧⋆b=⟨a,b⟩e0∧e1∧ · · · ∧en+1

(a,b∈

q+2∧ Rⁿ⁺²1

) で与えられる^q+2∧

Rⁿ⁺²1 からⁿ∧^−q

Rⁿ⁺²1 への全単射である。Hodge⋆-operatorをプリュッカー座標であらわすと、

座標の順番を逆にすることになる。Hodge ⋆-operatorは ⟨⋆a, ⋆b⟩=−⟨a,b⟩を満たす反同型である。

以下、S(q, n)∼=Ge_n−q,n+2⁺ なる同一視を行う。ⁿ∧^−q

Rⁿ⁺²1 のノルム1の空間的 pure (n−q)-vectors全体のなす 空間をΘ(q, n)とおく。q= 0の場合は、空間としては S(0, n)はSⁿ×Sⁿ\∆と同相である。

定理 3.20 S(q, n)∼=Ge_n−q,n+2⁺ ∼= Θ(q, n)は、指数がn−qの(q+ 2)(n−q)次元擬リーマン多様体となる。すな わち、各接空間には指数n−q の不定値内積⟨·,·⟩が入る。擬リーマン構造はSⁿのメビウス変換で不変である。

Θ(q, n)の2点で張られるR^N の平面とΘ(q, n)の交わりPは、Θ(q, n)の測地線となる。このP、または対応 するq次元部分球の1パラメータ族をペンシルと呼ぶ。Pは、R^NN1 （ただしN1=( _n+1

n−q−1

)=(_n+1

q+2

)）の空間的な 円、光的（またはnull）直線、時間的双曲線のいずれかになる(n= 2, q= 1の場合の対応する1パラメータ族は 図30, 31)。ペンシルを用いて、S(q, n)∼= Θ(q, n)の各接空間の擬正規直交基底を得ることができ(図33)、いろい ろな証明に有効である。

図33: S(0,2)の擬正規直交基底（S⁰が対蹠点の場合）

3.4.6 ３次元球面の中の円周の空間

In particular, putting n = 3 and k = 1, we see that the setS(1,3) of oriented circles in the 3-sphere can be identified with both Ge_3,5⁻ and Ge_2,5⁺. The wedge product u∧v of two vectors u = (u0, u1, . . . , u4) and v= (v0, v1, . . . , v4) in R⁵1 can be expressed by thePl¨ucker coordinatespij as:

u∧v= (pij)_0≤i<j≤4∈

∧2

R⁵1∼=R¹⁰, pij =

ui uj

vi vj

. (28)

A vector −→p = (pij)0≤i<j≤4 in

∧2

R⁵1∼=R¹⁰ is apure 2-vector(i.e. it can be expressed as the wedge product of two vectors in R⁵1) if and only if thepij satisfy thePl¨ucker relations:

p01p23−p02p13+p03p12= 0, (29) p01p24−p02p14+p04p12= 0, (30) p01p34−p03p14+p04p13= 0, (31) p02p34−p03p24+p04p23= 0, (32) p12p34−p13p24+p14p23= 0. (33) (These are not linearly independent: for example, the relations (32) and (33) can be derived from the rest if p01̸= 0.)

This allows us to identify Ge_2,5⁺ with the set of unit, space-like, pure 2-vectors in

∧2

R⁵1=R¹⁰4 : Ge_2,5⁺ ∼=

{−→p = (pij)_0≤i<j≤4

⟨−→p ,−→p⟩=−

∑4 k=1

p0k2+ ∑

1≤i<j≤4

pij2= 1, pij satisfy (29)-(33) }

.

Now the identification betweenS(1,3) andGe_2,5⁺ can be explicitly given by:

S(1,3)∋S³∩(Span(u, v))^⊥7→ u∧v

∥u∧v∥ ∈Ge_2,5⁺ . (34) We will illustrate the pseudo-Riemannian structure of S(1,3) by constructing a set of six curves in S(1,3) through a given pointγ0 corresponding to a circle Γ0, so that the tangent vectors form a pseudo-orthonormal basis ofTγ0S(1,3).

We may assume without loss of generality that Γ0 is the “horizontal” unit circle ofR³ given by Γ0={(x, y,0) :x²+y²= 1};

i.e. the intersection of the unit sphere Σ0⊂R³ with the horizontal planePxy={z= 0}. Using two mutually

orthogonal planesPyz ={x= 0}andPzx={y= 0} which are orthogonal to both Σ0andPxy, let:

A= Σ0∩Pxy∩Pzx= Γ0∩Pzx, B= Σ0∩Pxy∩Pyz = Γ0∩Pyz, Ω = Σ0∩Pyz∩Pzx,

Ξ = (Pxy∩Pyz∩Pzx)∪ {∞},

as illustrated in Figure 34. This construction defines four pencils of circles with base points and two pencils of circles with limit points:

- two pencils of circles in Σ0 with base pointsAand B, resp.

- two pencils of circles in P0 with base pointsAandB, resp.

- the pencil of circles in Σ0 with limit points Ω.

- the pencil of circles inP0with limit points Ξ.

These pencils are geodesics inS(1,3) throughγ0, and unit tangent vectors to these six curves (four are space-like and two time-like) form a pseudo-orthonormal basis ofTS(1,3) at Γ0.

PSfrag replacements Σ0

P0

a1

a2

b1

b2

ω1

ω2

図34: Six pencils as curves inS(1,3). A={a1, a2}, B={b1, b2}, and Ω ={ω1, ω2}.