前項にて,U上の各ベクトルvを数値化する方法を述べた. ここで注意すべきは,数値化された情報は 線形同型F の取り方に依存すること,言い換えればUの基底の取り方に依存することである. 基底を取 りかえるたびに以前の基底による情報が役に立たなくなるようでは甚だ不便であるから, 基底の取り変 えによりvの数値化がどのように変化するかを調べておこう.
いま,Uはn次元であるとし,Uにおいて二組の基底u1,· · · ,unおよびu′1,· · · ,u′nが与えられている とする. このとき,各u′1,· · ·,u′n∈U は基底u1,· · ·,unの線形結合で書ける. これを式で書けば:
[u′1,u′2,· · · ,u′n] =[∑n
i=1ai1ui, ∑n
i=1ai2ui, . . . , ∑n
i=1ainui ]
= [u1,u2,· · · ,un]
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ... ... an1 an2 . . . ann
.
定義 25.5.1. 上式に現れる行列P = [aij]を基底u1,· · · ,unによる基底u′1,· · ·,u′nの変換行列という. 備考25.5.2. 命題25.4.1(2)により変換行列Pは可逆である. そこで[u′1,u′2,· · · ,u′n] = [u1,u2,· · ·,un]P の両辺に右からP−1をかけることで[u1,u2,· · ·,un] = [u′1,u′2,· · ·,u′n]P−1 を得る. すなわち, 基底 u′1,· · · ,u′nによる基底u1,· · · ,unの変換行列はP−1である.
例25.5.3. w1,· · · ,wn∈Rnを基底とする. 標準基底e1,· · ·,enによる基底w1,· · · ,wnの変換行列は, [w1,· · ·,wn]である.
備考 25.5.4. 基底u1,· · ·,unによる基底u′1,· · · ,u′nの変換行列をP とする. F1 :U →Rnをuiをei
に写す線形同型とし,F2 :U →Rnをu′iをeiに写す線形同型とする. U∋
v= [u′
1,· · ·,u′ n]x
= [u1,· · ·,un]Px
Rn∋x Px∈Rn
F2 F1
TP
各ベクトルv= [u′1,· · ·,u′n]x∈U (ただしx∈Rn)に対応するRnの元は,同型F2を用いればF2(v) =x であり,同型F1を用いれば,v= [u′1,· · ·,u′n]x= [u1,· · · ,un]PxよりF1(v) =Pxである. このとき,
F1 =TP ◦F2, TP =F1◦F2−1, F2=TP−1◦F1
が成り立つことは上の図式から直ちに分かる.
練習 25.5.5. 上の備考においてTP =F1◦F2−1であることを確認せよ.
解答例: 各標準基底ej ∈ RnについてF1 ◦F2−1(ej) = TP(ej)であることを確かめればよい. P = [p1,· · · ,pn]と置けば,変換行列の定義からu′j = [u1,· · ·,un]pj である. したがって,
F1◦F2−1(ej) =F1(u′j) =F1([u1,· · ·,un]pj) = [F1(u1),· · ·, F1(un)]pj
= [e1,· · ·,en]pj =Epj =pj =Pej =TP(ej).
26 線形写像の表現行列
線形写像f :U →V をユークリッド空間の間の線形写像(すなわち行列)に対応させる方法について 述べる. 前節の対応と同様に, ここで与える対応も基底の取り方に依存することに注意しなければなら ない.
26.1 表現行列
U の基底u1,· · ·,un,V の基底v1,· · · ,vmをあらかじめ与えておく. 線形写像T :U →V を(m, n)-行列Aによる線形写像TA :Rn → Rmに翻訳する方法を考えよう. v1,· · · ,vmが基底であることから, 各T(u1),· · · , T(un)はv1,· · · ,vmの線形結合で書ける:
T(u1) = [v1, . . . ,vm]
a11
... am1
, T(u2) = [v1, . . . ,vm]
a12
... am2
, . . . , T(un) = [v1, . . . ,vm]
a1n
... amn
.
つまり, (m, n)-行列A= [aij]を用いてまとめて書けば,
[T(u1), T(u2), . . . , T(un)] = [v1,v2, . . . ,vm]
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ... ... am1 am2 . . . amn
. (26.1.1)
定義 26.1.1. 上の設定における式(26.1.1)を満たす行列A= [aij]を,U の基底u1,· · · ,unおよびV の
基底v1,· · · ,vmに関するT :U → V の表現行列または行列表示という. Aの定義を次のように言い換
えても良い:
Aの第j列 = 線形結合T(uj) =
∑m i=1
aijviに現れる係数を並べた列ベクトル. 注意: 練習25.3.1により,式(26.1.1)を満たす行列Aは唯一つ存在する.
例 26.1.2. (m, n)-行列B について, Rnの標準基底およびRm の標準基底に関するTB : Rn → Rm (TB(x) :=Bx)の表現行列はBに一致する.
例 26.1.3. (1) u1,· · · ,unをUの基底とする. 定義域の基底u1,· · · ,unおよび終域の基底u1,· · · ,un に関する恒等写像idU :U →Uの表現行列は単位行列Eである.
(2) u1,· · · ,unをU の基底とし, v1,· · · ,vnをV の基底とする. 各uiをvi に対応させる線形同型 f :U →V について,Uの基底u1,· · ·,unおよびV の基底v1,· · · ,vnに関するfの表現行列は単 位行列Eである.
例題 26.1.4. 次の線形写像および基底について,表現行列を求めよ. (1) TA:R2 →R2 (TA(x) :=Ax), ただしA=
[
8 −10 5 −7
] . 基底: 定義域と終域ともにv1 =
[ 1 1 ]
,v2 = [
2 1 ]
とせよ. 解答例:
[
8 −10 5 −7
] [ 1 1 ]
= [−2
−2 ]
=−2v1+ 0v2, [
8 −10 5 −7
] [ 2 1 ]
= [
6 3 ]
= 0v1+ 3v2.
ゆえに[TA(v1), TA(v2)] = [v1,v2]
[ −2 0 0 3
]
であり,TAの表現行列は
[ −2 0 0 3
] .
(2) D:R[x]3→R[x]3 (D(p(x)) := d
dxp(x)). 基底: 定義域と終域ともに1, x, x2, x3とせよ. 解答例:
D(1) = 01+ 0x+ 0x2+ 0x3, D(x) = 1·1+ 0x+ 0x2+ 0x3, D(x2) = 01+ 2x+ 0x2+ 0x3, D(x3) = 01+ 0x+ 3x2+ 0x3. ゆえに
[D(1), D(x), D(x2), D(x3)] = [1, x, x2, x3]
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
であり,求める表現行列は
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
.
備考. 上の行列をAとおけば,A4=Oである. これは3次多項式を4回微分すると必ず0になることに対 応している.
(3) Ia,b:R[x]3 →R(Ia,b(p(x)) :=
∫ b
a
p(x)dx). ただしa, b∈Rは定数とする. R[x]3の基底: x3, x2, x,1. Rの基底: 1.
解答例:
Ia,b(x3) = [1
4x4 ]b
a
= 1
4(b4−a4), Ia,b(x2) = [1
3x3 ]b
a
= 1
3(b3−a3), Ia,b(x) =
[1 2x2
]b
a
= 1
2(b2−a2), Ia,b(1) = [
x ]b
a= (b−a).
したがって
[Ia,b(x3)Ia,b(x2) Ia,b(x), Ia,b(1)] = [1]
[1
4(b4−a4), 1
3(b3−a3), 1
2(b2−a2), b−a ]
であり,求める表現行列は(1,4)-行列[1
4(b4−a4), 13(b3−a3), 12(b2−a2), b−a] .
備考. とくにIa,b(c1x3+c2x2+c3x+c41) =c1Ia,b(x3) +c2Ia,b(x2) +c3Ia,b(x) +c4Ia,b(1) = c41(b4−a4) +
c2
3(b3−a3) +c23(b2−a2) +c4(b−a). 実際に積分計算を行う際も,このように各項ごとに積分するのであった.
例26.1.5(発展). 例18.4.6にて与えた,数列空間RNにおける線形独立な無限部分集合B ={en|n∈N} について,V =⟨B⟩と定める. 次の二つのシフト作用素
S+:V →V S+(x1, x2, x3,· · ·) := (0, x1, x2, x3, x4,· · ·) S−:V →V S−(x1, x2, x3,· · ·) := (x2, x3, x4, x5, x6· · ·) の基底Bに関する表現行列は, 13.2項のコラムで与えたAとBにそれぞれ等しい:
A=
0 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · ·
... ... ... . ..
, B =
0 1 0 0 0 0 · · · 0 0 1 0 0 0 · · · 0 0 0 1 0 0 · · · 0 0 0 0 1 0 · · · ... ... ... ... ... . ..
.
S−◦S+= idV ゆえBAは単位行列となる. 一方,S+◦S−(x1, x2, x3,· · ·) = (0, x2, x3,· · ·)ゆえS+◦S−̸= idV. つまりABは単位行列ではない. このようなことが起きる背景には,基底が無限集合であること(つ
まり線形空間が無限次元であること),そして有限集合の場合(命題19.6.1)とは異なり,無限集合Bから B自身への単射(あるいは全射)が全単射になるとは限らないという事情が関係している. 実際,基底の 間の写像S+|B :B→Bは単射であり,S−|B :B∪ {0} →B∪ {0}は全射であるが,これらはいずれも 全単射ではない. そして,写像S+|BおよびS−|Bを全体に拡張した線形写像がそれぞれS+およびS−で ある. S+は単射でありS−は全射であるが,これらはいずれも全単射ではない.
表現行列の捉え方
u1,· · · ,unをU の基底とし, v1,· · · ,vmをV の基底とする. また, これらの基底に関する線形写像 T :U →V の表現行列をAとする(つまり[T(u1),· · · , T(un)] = [v1,· · ·,vm]A). x=
x1
... xn
∈Rnとす
れば,Tはベクトル[u1,· · · ,un]x∈Uをベクトル[v1,· · · ,vm]Ax∈V に写す写像である. 実際,線形性 (iii)’より
T([u1,· · ·,un]x) = [T(u1),· · · , T(un)]x= [v1,· · · ,vm]Ax.
つまり,次のような図式を得る:
F
U ∋ [u1,· · · ,un]x 7−−−−→T [v1,· · ·,vm]Ax ∈ V
−→ 7−→ 7−→ −→
Rn ∋ x 7−−−−−→TA Ax ∈ Rn
G
ここで,F :U →RnはF(uj) =ejを満たす線形同型写像,G:V →RmはG(vi) =eiを満たす線形同 型写像である. u1,· · ·,unがU の基底であることから, U の任意の元は[u1,· · · ,un]xの形で表せるこ とに注意すれば,上の図式から直ちに次を得る:
各u∈U について, TA◦F(u) =G◦T(u), すなわち, TA◦F =G◦T.
TA◦F =G◦Tが成立するとき,これを次のような図式で表す. U −−−−→T V
F
y yG Rn −−−−→TA Rm
(26.1.2)
このような図式は可換図式と呼ばれる.