一 ‑‑

. E ^五 回 圃 園 面 画 面 白 圃 . ・ ー

立 十

イ十内μ

ff uJ  

活問

本研究の機会と終始懇篤なご指導を賜り，論文校閲の労をとられた吉田啓二教 授に深甚なる謝意を表します.また，常にデバイス製作において適切な助言を与 えられた円福敬二助教授に心から御礼申し上げます.

平成5年度の九州大学留学の際，山藤 馨教授にはご指導・鞭縫をいただいた.

深く御礼申し上げます.

超伝導薄膜を提供していただいた木須隆暢助教授，神代 暁氏(電子技術総合 研究所) ，島影 尚氏，王鎮氏(通信総合研究所関西先端研究センター)に深謝

いたします.

また本論文をまとめるにあたり，有益な助言をいただいた船木和夫教授，岡田 龍雄教授 (副査)に感謝致します.

著者が超伝導研究の緒についた20年前から終始変わらず懇切なる指導を賜った 野田 稔教授(福岡工大)，本論文をまとめるにあたりご配慮・激励を賜った川 島照子教授 (福岡工大)に心から御礼申し上げます.

さらに，いつも協力を惜しまれなかった吉田研究室の学生諸君に深く感謝します.

博士課程進学の便宜を図っていただいた鵜木理事長，青木学長，ならびに電子 工学科の教員の皆様に深く感謝の意を表します.

また，家庭を顧みることなく本研究に集中できるように協力を惜しまなかった 妻君子に感謝します.

終わりに臨み，先駆的に民主主義を唱えた吉野作造博士の次の言葉を拝借して 今後の人生訓としたい.

「 路 不 行 不 到 」

z ‑̲   . . . .  ‑. : : . . 

^{，，#' .  ‑}

付 録

A

コプレーナウェーブガイドの電流分布の導出

αi 

J i

_j 

 

q j  

J i  

図A.1 超伝導線路

図

A . l '

こ示されている

N

個の磁気的に結合している超伝導体について考える.そ の中で任意のi番目の超伝導体における電流密度をJiとすると3 全電流Iiは，

Ii=ja:ME 

(a.l)  で表される.このときaiはi番目の超伝導体における断面積である.次に，蓄えら れているマグネティックエネルギ‑Emは，磁界の強さ

H ，

磁束密度Bを用いて表 すと，

(a.2)  となる.磁束密度BとベクトルポテンシャルAの関係は，

B=VxA  _(a.3) 

ν JU A × V 

H 

ノ

rt

﹄J

︐

1i 一 角} ん 戸 つ ご

︑ 刀

︑

で あ るI ︐n

(a.4)  となる.ベクトルの演算公式より，

V. (A x H) = (V x A) . H‑A . (V x H)  _(a.5)  であるので，式(a.2)は³

‑126‑

・圃圃圃園田園園田園圃・・・ー 一

Em=t{{V.CAX

的 +A . ('1 x

同 }

dv 

(a.6)  と変形される.ここで，全電流が連続的に分布して

，

A X Hが1/r²と比較して速 く零に近づくように仮定すると，全電流を含む広範囲についてA X Hは零になる.

したつがて，式(a.6)は，

Em= 弘

^A'Jdν

( a . 7 )  

となる.このとき，ベクトルポテンシャルAは電流密度を用いて，

A(r) 

= 人

^J(r')

^{刷 〆}

( a . 8 )  

と表される.また，グリーン関数C(r/り は

，

r'で、の単位電流によるrでのベクト ルポテンシャルであり，

C (   r  I  r ' )   =ど ♀

1

Jf 

I 

^r‑r'l  _(a.9) 

で与えられる.加えて，マクスウェル方程式

V x  

H=J 

_(a.10) 

を用いて，式

( a . 7 )

に式

( a . 8 )

を代入すると，マグネティックエネルギ‑ E mは，

E m = i j s

￡

A ル t L i ε ^{耐 J ( 巾 ( r 川} M

︑︑ ︐ ︐ ノ

句E

A 噌Eia 

J ' t

¥ 

で表される.

次に，単位体積当たりのカイネティックエネルギ‑ Wkは， WK=jmJ2ns 

(a.12) 

で表される.ここで

，

Js 

= =  ‑

nsesνs' 

λ

==m/(μonA2)を用いると，式(a.12)は，

円 二 jλ2μ

o l J I

²

(a.13)  となる.全自由空間に対するカイネティックエネルギ‑ E_kは前式から，

E  ‑ . ̲ ̲ . . ‑ ‑. . ̲ .    . . . ‑ . .   . :   . . . . . ~ ー

E_k=

引

^λ

^{2 1 J I2}

^dν

(a.14)  と求められる.従って，超伝導体の全エネルギーは，式(a.11)と(a.14)の和である

E = 

~L L 

^{J(r) . J(r')G( rl r')ω ' +}

^{引 JMdν}

から，

(a.15) 

で求められる.

ここで， N個の超伝導線路で構成される系について磁気的結合を考慮すると，

系の全エネルギ

‑w

は，

寸

^1jt 

J  ^{f j   J ; (}

^rJ ‑J

^山

(ri￨rj)dWj+

り

¹

f  ^{A / I}  

^J/(rj) 

^I 

(a.16)  電流分布が正確ならば，全エネルギーは最小を示すことにな

(a.17)  る.電流密度Iiを正確な成分

J

_Oiと変化成分aJ_iに分けると₃

J _iミJ_oi + dJ _i  で得られる.もし，

で表される.式(a.17)を式(a.16)に代入すると，全エネルギーW'は，

W'=

→ ^{4 仏 i i リ 仏 止 i 5 主 L1 1}

^川

^{i 1 1 2 j 主} f ^司 仰 l よ ^{μ 叫} f い ^{y 叩 i j f 作 い 戸}

^j

^戸

^J

^{ん 0 ; ( ω}

^J 

^{山 ( ω ( い い}

^rハi川 

^{i パ}

^i巾け

^{v 山 I r I r い}

^r

+

→ i ^誌 i ^リ 日 ^{i 5 1 主 1}

¹

¥l

¥f

︑E ノl

︐ ︐

r  ︐

勺LnUFJ 

司ノ﹄

n ヘ 人

u 

μ 

+ 

﹃EB'EEBB‑B︐ ︐

Jr ︐a ︑111Jr r 

f'

︑_E G  lt︑

〆 r  ノl

tt tk

o J 

r s z J

 

Nす臼=

Fa

‑‑ aa EE EE BE Ea

﹄flノ¥1

r 

・ ︑

︐ ︐

EE︑

FJ  

えUr ︐d f﹄

E1

Jt

NV臼=+ 

(a.18) 

となる.式(a.18)の最終項の括弧の内部の項は

，

i番目の磁束量子(フラクソイド)で ある.導体内部の循環電流がない場合には，磁束量子は同じ超伝導体内では一定

この部分は定数と見なして積分記号から分離することができる.導体中 であり，

の全電流が変化しないと仮定すると，各導体中の電流変化成分の和は零になるの で，最終項は零になる.式(a.18)の初めの2項は、正確な電流分布による全エネル ギーへの寄与であり，次の

2

項は変化成分によるものである.式(a.11)， (a.14)よ

‑128‑

一. ̲ . ̲ . . . . . . . . . . . . . ‑

園

田 盟 国 霊 園 圃 圃 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 圃 ・ 園 田 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 圃 園 田 ー

り，それらは両方とも零以上の値しかとることができないので，正確な電流分布 が与えられた場合にのみ³ 式(a.18)の全エネルギーは最小となる.全エネルギーを 最小化するために， ラグランジユ(Lagrange)の未定係数法を用いて正確な電流分布

を得ることができる.

次に図2.2に示すような複数の超伝導体伝送線路系の電流分布やインダクタンス および損失の計算について考える.ここで，全導体を流れる電流の総和は零であ る.即ち，

N Z I  i=0 

(a.19) 

但し， それぞれの導体内部では式(a.l)が成り立つ.

導体の長さが無限大の時には，

2

次元構造のグリーン関数は，長さ方向に式 (a.9)を積分して次式のようになる.

c ( 

^r i Ir' 

j )  = 与

^ln

^I 

^r‑r' 

^I 

式(a.15)を最小化するために，

で定義する.

ラグランジュの未定係数法を用いて関数

f

f d J 1 1 い i f / ^{ω 川}

+ 

5 ト

¹

^{戸 円}

^α町ai

J (

^a

但し， αi' βはラグランジェの未定係数である.

(a.20) 

を次式

(a.21) 

ここで，超伝導体では一定の電流を流しでも電流は導体の断面全体を均一に流 れず，磁気侵入長に依存する分布となる.そこで³ 正確な電流分布を求める目的 から各導体を図2.3に示すような十分小さな方形導体(サブセクシヨン)に分割し，

各サブセクションでは電流は均一に分布しているものと仮定する.そこで，

2

次 元座標系において式(a.21)は次式で表される.

f 1 M  M_=..!:...  L 玄 P'~.， J ~ J  ，.+ 

ケ

r~

o

^U  ~ L A^A  入^{"¥  2}J^{T  2} 

2m ~ 1 IZ ~ 1 ‑mn ‑m ‑n' 2 m ‑: 1 

]j  ( mOピmi ¥  M 

+ 主

1αi(j=Ai+1AjJI‑‑Iil+

日

lAmJm

一

一 ̲ . . . . . . . .

・ ^{E 三 面} 圃圃園園園園田園圃・‑ ‑ ‑ ‑ 圃圃圃

(a.22) 

Mはサブセクションの総数

，

J""m' ‑"  A"‑"m"'  ‑λ ‑m はm番目のサブセクションの 電流密度，面積及び磁気侵入長

，

m_Oi' m

iは1からは番目までの導体中のサブセク ションの総和とi番目の導体中のサブセクシヨンの数である.

立つ.

次式が成り ここで，

mOi + m i 

L  A;J;=1: 

‑l‑1‑‑)‑) 

)=mOi+l 

L‑L‑で，

(a.23) 

ハU

m y

︐

u m A 

1i MZド

(a.24) 

(a.25) 

p f t ‑ 2 j ; ; + 1

^ゐ

j ; ; + 1 d yj : + 1 ω j ; n + 1 ^{仰 い ‑ 小}

^(y‑y' 

式(a.22)を電流分布Dj=A

メ

^:i(U=1

ム ・

. ，M)を用いて書き換えると，

1  ，:fA

~

^{n  T"¥  T"¥  .!lo} 

~λ22

f=τ 2 2 2  pmn Dm D + ‑ i z ‑ E一D̲L.

んm = l n = 1 n 2 m = 1 A m

+f1α{

五

^;;Dj

寸

^{+ 4 1 D m} _(a.26) 

ここで，式(a.16)から，系の全エネルギーは，

1 

' i   ~

^{n  T'¥  T'¥  .!lo} 

~λ2

wr=‑22ZP DF71D+ー」よ L :...:!!!;̲D  2m=1n=1mn  n2m=1A m 

(a.27) 

式(a.26)は次式のように書き換えられる.

N  {mOi + m i  ¥  M 

f=W+F1αt

じ み

^+lDj‑fil+

日

^1Dm

で表されるので，

(a.28) 

m Oi + mi 

玄 D;=1: 

j = m Oi + 1  J ι  (a.29) 

(a.30) 

‑130‑

M 

ヱ

D̲=O

m = 1 川

-~ - : . _" :;-'-" ー

P m = ‑ J L C + 1

^批

ffvf+lu f + l w  

︑ ︑

fJ

勺中

︑

_l

J UV J

Uノ

' ' ' t k  

+ 

勺L

︑ ︑ ︐ ︐ ︐ ︐

x x 

z︐ ︐ ︐ ︑

fノ

n  ¥

(a.31)  プログラミングに適するように式(a.31)の重積分を行うと，

︑

Ehf︐J

n l  

︐FFJ 

たう

n U  

9u 

司ノ‑η︐ + 

たう

η︐  I / ︐

tBムn 九u

﹁〆‑

た ﹄

J

f1 2︑ ︑

η︐ 

↑片﹄J

o δ  

︑ ︑ l lJ 刊 日 吋 ム

+  ︐

﹁ノ臼↑g 

rI t‑

n  ‑

︑

︑ ︑

E﹃﹄ノ

A斗

η !  

+ 

﹁ノ‑η︐ 

qL とbkU 

A斗

戸 ﹄

J

f ti t

f ‑ ‑︑

︿‑ . .  

︑

‑ n  

) 一 A

r

μ

O 一 叫フ

一 一 ス ツ

m 

p 

+ ザ η 2 }

I 二 ^{; + 1 ! : : ; + 1 ￨} 二 ^{; + 1 ￨ ;} 二 ^{1 +}

^(a.32) 

と^=χーχ' _(a.33) 

η=yーダ (a.34) 

A 

m 

⁼ 

I 

^(X 

m 

+ 1 ‑X 

m )  

^(y 

m 

+ 1 ‑Y 

m )   I 

(a.35)  が得られる . m番目

，

n番目のサブセクションの四端の座標が定めることで_Pmnが 求められる.

次に電流分布を求めるために3 ラグランジェの未定係数からの条件を示す.

。 _{f /} 

ai_k = 0  (k ₌ 1，2，.….，M) 

a f   /  a

αk^二

o

(k = 1，2，...・，.N) 

(a.36)  (a.37)  (a.38) 

。 _{f /  a s}  

₌ 0 

式(a.36)~(a.38)から，次式 (a.39)~(a.41)が得られる.

aw 

~

E 7 i p l α

^{九 +}

^s 

^{= 0 (k = 1}

^ム

^.....，M) _(a.39) 

m Oi + _mi 

j ‑ i i + 1 D j ‑ = 0 ( i =

^{は ，}

^{N )}

_(a.40) 

ドキュメント内 超伝導伝送線路を用いた高速光変調器に関する研究 (ページ 130-136)