ベクトルの相等

   と が等しいとは、各成分が等しい、 

つまり       のことである。 

2. ベクトル の大きさ a とは、 

       (スカラー量) 

  速さは、速度ベクトルの大きさ 

3. ベクトル   の k 倍 k  は、 

      である。 

特に、      を  の逆ベクトルと呼ぶ。 

k   は k が 0 でなければ    に常に平行なベクトル。 

ベクトルには足し算・引き算・２種類のかけ算  があるが、ここでは足し算と引き算のみ扱う。

! a = (a

_x

, a

_y

), ! b = (b

_x

, b

_y

)

! a ^! _b

a

_x

= b

_x

, a

_y

= b

_y

36

平行移動して  ぴったり重なる  (大きさと向きが   等しい)

! a

a =

!

a

x2

+ a

y2

a^x

a^y

a =

!

a

_x²

+ a

_y² 三平方(ピタゴラス) 

の定理

! a ! a k ! a = (ka

_x

, ka

_y

)

− ! a = ( − a

_x

, − a

_y

) ^! _a

! a ! a

! a

! a

­ ^{2 ! a}

2017/5/18 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

ベクトルの足し算と引き算 

      とする。この時、 

       

        で足し算が定義される。 

・足し算を図示するには、以下を行う。 

   二つのベクトルの始点を同一の点に移動させた時、 

   作られる平行四辺形の対角線に沿って引く。 

   (平行四辺形の法則) 

・ベクトルの足し算は寄り道のイメージ 

・引き算は逆ベクトル      を足すことによって定義する。つまり、

37

! a + ! b = (a

_x

+ b

_x

, a

_y

+ b

_y

)

! a

! b

! a − !

b = ! a + ( − 1) !

b = (a

_x

+ ( − 1)b

_x

, a

_y

+ ( − 1)b

_y

)

= (a

_x

− b

_x

, a

_y

− b

_y

)

O

A

−→

B

OA = ! a = (a

_x

, a

_y

), − − →

AB = ! b = (b

_x

, b

_y

)

−→ OA + − − →

AB = − − → OB

− − →

BA = − ! b

! a

− ! b

2017/5/18 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトル 

一次元 

赤い点の位置は x=3  二次元 

-3   -2   -1   0   1   2   3 x

O(0,0) x y

a^x

a^y A(a^x,a^y)

平面座標上に点 A を打つと、 

原点 O から A (a^x,a^y) に向かう  ベクトルを書くことができる。 

つまり、    

このベクトルのことを  

A の位置ベクトルと呼ぶ。

−→ OA = (a

_x

, a

_y

)

速度ベクトルは ２次元以上 

の運動を表す時に便利である。 

時間 Δt の間の位置の変化を表すベクトル   (変位ベクトル)を 

         とすると、 

速度ベクトル    は 

となる。同様に加速度ベクトルは 

        

− →

∆ x = ( ∆ x, ∆ y)

! v

例. ２秒間で 位置 (1 m,1 m) から  位置 (3 m, 5 m) に移動すると、 

であり、速度ベクトル    は 

    =(1/2) (2,4) [m/s] =(1 m/s, 2m/s)  となる。

! v

! v

! v = 1

∆ t ( ∆ x, ∆ y) =

! ∆ x

∆ t , ∆ y

∆ t

"

= (v

_x

, v

_y

)

! a = 1

∆ t ( ∆ v

_x

, ∆ v

_y

) =

! ∆ v

_x

∆ t , ∆ v

_y

∆ t

"

= (a

_x

, a

_y

)

38

2017/5/25 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

入門物理学 A (原子から宇宙まで I) 

法政大学市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川賢治 

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017) 

第 7 回 (5/25) 二次元の運動 (続き)      相対運動  

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2017/5/25 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

相対位置(ベクトル)、相対速度(ベクトル)、相対加速度 (ベクトル) 

   [A に対する B の相対位置] 

= [A を基準とした時の(A から見た) B の位置] 

       

     = (B の位置ベクトル)­ (A の位置ベクトル)

B(b^x,b^y)

O(0,0) x y

a^x a^y

A(a^x,a^y) b^x b^y

− − →

AB = − − → OB −

−→ OA

   [A に対する B の相対速度] 

= [A を基準とした時の(A から見た) B の速度] 

       

       = (B の速度ベクトル)­ (A の速度ベクトル)

− − →

v AB = − →

v B − − → v A

− → v _A

− → v

B

− − → v

_AB

   [A に対する B の相対加速度] 

= [A を基準とした時の(A から見た) B の加速度] 

       

         = (B の加速度ベクトル)­ (A の加速度ベクトル)

− − →

a _AB = − →

a _B − − → a _A

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2017/5/25 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

A にとってはボールの速度ベクトルは               (A から見たボール C の相対速度)。 

従って、岸から見ている B (静止)から  見た時のボールの速度     は 

      であり、従って  

相対運動の例1 

(放物運動と自由落下運動)

A

B

A

Aさんは船と共に速度       で等速直線運動

 

− − →

v

_AC

= (0, − gt)

− →

v

_A

= (v, 0)

− → v

C

− − →

v _AC = − →

v _C − − →

v _A ^{− v →}

^C

^{= (v, − gt)}

マストからボール C を落とすと、 

Aから見ると、ボールは自由落下 運動するが、B から見るとボール は放物運動しているように見える。

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x y

2017/5/25 入門物理学 A (旧原子から宇宙まで I)

相対運動 (続き) 

ガリレオ・ガリレイは木星の衛星を 4つ発見 (星界の報告)。 

当時の地動説への反論 

Q)「もし地球が動いているなら、どうして月は取り残されないのか？」 

A) 「月も地球と一緒に動いているから」 

座標系自身が等速度運動していたとしても、静止していたとしても  その世界の中で過ごしている人にとっては区別がつかない 

(ガリレオの相対性原理、後述)。 

地球がどういう運動をしているかを完全に知るには、 

月だけでなく別の基準 (太陽) も必要。 

相対運動の例2 (モンキーハンティング、練習問題) 

漁師が猿を狙って、地上から猿に向けて銃を撃った。 

猿は驚いて漁師が猿を撃つのと同時に真下に飛び降りた。 

果たして猿は助かるか？ 

(動画) MIT Physics Demo

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2017/6/1 入門物理学 A (旧 原子から宇宙まで I) ⁴³

入門物理学 A (原子から宇宙まで I) 

法政大学市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川賢治 

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017) 

ドキュメント内 講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ (ページ 64-71)