。コ /

-89-/ / /

観測領域S

1_

^{/ Un}

-90-程式に変換される.

世(N) =

U �

^{N) +}

^G l

^NXN

^)O

^(NXN

^)eþ

^(N)

(再構成領域において) (A.6)

叫M)勾uiM) ⁼ GY^{× N})O^{(N × N}) ^p(N) (観測領域において) (A.7)

ここで，Us， Us は，それぞれ，Us' Us を観測領域で離散化したベクトルであり，Ui， eþ は，それぞれ，Ui，世を再構成領域で離散化したベクトルである. G1， G2は，Gをr'に ついて再構成領域で離散化し，rについて それぞれ 観測領域 再構成領域で離散化し た行列である.。は，0を再構成領域で離散化した対角行列である. なお，上っきり内 に観測数，未知量o の展開項数をM，Nとして，行列 の要素数を示している.

式(A.6)，(A.7)から，形式的に

eþ

⁼

[1 - G10]-lUi

Oeþ

⁼

[G2]-lU�M)

(A.8) (A.9)

と書ける.ここで，[1 -G10]-1 は理論的には正確に計算できる(}II質問題). しかし，式(A.9) で[G2]-1 の性質から，Usに含まれるわずかな誤差が大きくOeþに影響するので，Oeþ を

常に正確に計算することは困難となっている.これを悪条件と呼んでいる

従って， 式(A.4)，(A.5) あるいは式(A.6)，(A.7)から，安定して，物体関数o(γ) ある いはO を求める解法が要求されている.

-91-付録B ボルン近似による再構成例

本節では， ボルン近似による均質誘電体円柱の再構成例をあげる. ここでは， E波入射 のみを考える. ボルン近似は， 散乱が非常に弱いとする近似であり， 式(A.5)は，

州) = か (げ)o(〆)州)dr' J'EE‘、 B 1i 、、E，，，，

と近似される. 2次元問題を考え， 入射波を平面波とし 散乱波が遠方で観測されること を考慮すると， 次式を得る.

ex p ( inokl rl)

s (

r

₎

- �. L

^{1-' \}

v . �

^{l' 1 1} _{f ( k。九)， ko}

=ηoki。ム= nokii

(B.2)

，/Irl

f(ko， ki) = _�

ι ^{lâ(ko - ki)， (B.3)}

V 8πnok

ここで， f は遠方散乱パタンを示し，《はフーリエ変換を示す. �。および丸はそれぞれ観 測方向および入射方向の単位ベクトルである.

ここでは， 厳密な遠方界を基に， 単層誘電体円柱の屈折率を再構成した例を示す. 図B .1 に真空中に置かれた半径が1波長で屈折率が1.01rv1.1の6種類の均質円柱の再構成例を 示す. 図中で点線は真値を示し， 実線はその再構成値を示す. 縦軸は屈折率を示し， 横軸 は空間座標を示している.

円柱の屈折率が高くなる(不均質性が強くなる )につれて， 再構成値と真値とのずれが大 きくなっている. 屈折率が1.05のモデルでは， 再構成値は真値よりも小さくなっており，

屈折率が1.1のモデルにおいては かなり大きい誤差を含んでいる.

これから， ボルン近似は， (比屈折率差 )x(自由空間中の波長で規格化した半径 )<0.05で 適用できると思われる. また， この再構成例より， 再構成像の空間周波数成分が波長の2 倍に制限されていることも， 視覚的に理解できる.

-92-1.010

R

01.005 匡

1.000 .2

1.020 1.015

) 定

出ω1.010

1.005 1.000

r

^v

.2

1.020

】"

出ω 1.010

.1 0

x/λ

�\lv\T�

。 x/入

八六ーー一六"'l\・1

v「

2

1.000ドρけj

ー2 。

L叶

2

x/λ

1.040

1.030

) 定

�1.020 1.010 1.000r-・^4・・‘

.2

1.050 1.040

言�1.030 t 色B

1.020 1.010 1.000 .2

1.120 1.110 1.100 1.090 1.080 1.070 τa110065o 0 1.040 1.030 1.020 1.010 1.000 0.990 .2

.1 0

x/λ

.1 。

x/λ

。 x/λ

図B.l:ボルン近似による均質誘電対円柱の再構成例

-93-付録C 8層円柱に対する適用範囲

第3章では， 主として4層円柱の再構成を行い， 手法の有効性を検討した. ここでは， 更 に層の多い8層円柱の再構成結果を示す.

円柱は実部， 虚部ともに， 内側の屈折率が高い(図C.l)とし， 観測散乱波として厳密な 散乱波を用いた場合を示す. 図C.2-C.5に， 円柱の層を1→2→4→8と増やしながら反 復アルゴリズムで屈折率分布の再構成を行い， その最終段階における散乱波の平均二乗誤 差。および再構成像の誤差Err を示している. これらの図から， 不均質性の強い円柱に 対する限界は， 4層で示したものにほぼ等しいことがわかる. 半径がrl/入く1 で解像度の 限界が見られるが， これも， 層の厚みが入/8以下の場合であり， 4層円柱で示した特徴と よく一致している.

r n n

ni8

nrl ni1

o

o

r8 _{・ ・} r1 p AU r oo r nr

(a) The real part 〆'E‘、 、、.，ノLU T hu e . m a σb n a Wd pA a d

図C.l:内側の層の屈折率が高い8層無損失円柱

-94-Q 1e+00

1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e・05 1e-06 1e-07 1e-08

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr) 1.2 . .

r 1/入 2.0

(

^a

)

1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 Err

0.5

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

r 1/λ 2.0

、、，，，，， LU J'''‘、、

図C.2:厳密な散乱波を用いた無損失8層円柱の再構成における散乱波の平均二乗誤差お よび再構成像の誤差(E波入射). ^niニO.

Q 1e+00

1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

r 1/入 2.0

(

^a

)

1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 Err

0.5

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

r 1/入 2.0

、、EE，f唱hur'EE、、

図C.3:厳密な散乱波を用いた無損失8層円柱の再構成における散乱波の平均二乗誤差お よび再構成像の誤差(H波入射). ^{ni = O.}

-

⁹⁵

-1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 1e・06 1e-07 1e-08 Q

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr) r 1/λ 2.0 1.2

1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 Err

0.5

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

(

^a

)

r 1/入 2.0

、、E，，F 'hU 〆'E目、、

図C.4:厳密な散乱波を用いた損失性8層円柱の再構成における散乱波の平均二乗誤差お よび再構成像の誤差(E波入射). ^max

(

ⁿⁱ

)

^{= 0.2.}

1e+00 1e-01 1e-02 1e・03 1e-04 1e・05 1e-06 1e-07 1e・08 Q

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

r 1/入 2.0

1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 Err

2.0 1.8 1.6 1.4 Max( nr)

1.2 . .

r 1/λ 2.0

(

^a

) 〆'EE‘、 LU 、、EE，，，

図C.5:厳密な散乱波を用いた損失性8層円柱の再構成における散乱波の平均二乗誤差お よび再構成像の誤差(H波入射). ^max

(

ⁿⁱ

)

^{= 0.2.}

-96

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