t コピュラ

(1) ^定義

分布の裾での変量間の依存関係が強い場合に，その依存関係を正規分布よりもうまく表現し うるコピュラとして，「t^{コピュラ」を考える．}tコピュラは，正規分布よりも厚い裾を持つ分 布であるt分布を基にしたコピュラである．具体的には，自由度ν^{，相関行列}Σ^のn^変量t^分 布の分布関数²⁶をt_ν,Σ(·)^，自由度ν^の1^変量t^{分布の分布関数を}t_ν(·)^として，(2.5)^式のよう に定義される．ただし，自由度ν ^は3^{以上である．}tコピュラの密度関数は，(2.3)^{式により，}

ω^⊤ = (ω₁, . . . , ω_n) = (t⁻_ν¹(u₁), . . . , t⁻_ν¹(u_n))として，次式のように表せる．ここで，Γ(·)^はガ ンマ関数である²⁷．

c(u₁, . . . u_n) = Γ(_ν+n

2

) [Γ(_ν

2

)]n(

1 +¹_νω^⊤Σ⁻¹ω)₋^ν+n₂

√|Σ|Γ(_ν

2

) [Γ(_ν+1

2

)]n∏n i=1

(1 +^ω_ν²ⁱ)₋^ν+1₂ (2.35)

25ρ= 1^{では漸近従属となる．}

26

具体的な関数は脚注3^を参照．

27

ガンマ関数の定義は脚注3^を参照．

(2) t^{コピュラの裾の依存}

分布の裾でのtコピュラの依存関係を考察するため，tコピュラの裾依存係数を計算する．自 由度ν^，相関ρ^を持つ2^変量t^{分布に従う確率変数}(X1, X2)^{を考える．}X2 =x^のとき，X1は，

自由度ν+ 1^のt分布になり，その平均，分散はそれぞれE[X₁|X₂ =x] =ρx^，var[X₁|X₂ = x] =(

ν+x² ν+1

)(1−ρ²)である．これらの関係を用いれば，上側裾依存係数は，自由度ν+ 1^のt 分布の分布関数をt_v+1(·)^として，(2.12)式より次式で計算される．

λU = 2 lim

x→∞Pr(X1 > x|X2 =x)

= 2 lim

x→∞

(

1−tν+1

(

x(1−ρ)

√

(ν+ 1) (1−ρ²)(ν+x²)

))

= 2 (

1−t_ν+1

(√(1−ρ)(ν+ 1) (1 +ρ)

))

(2.36)

同様に，下側裾依存係数は，(2.13)^式より，

λ_L= 2 lim

x→−∞

( t_ν+1

(

x(1−ρ)

√

(ν+ 1) (1−ρ²)(ν+x²)

))

= 2t_ν+1 (

−

√(1−ρ)(ν+ 1) (1 +ρ)

) (2.37)

となる．上側下側裾依存係数は，−1< ρ <1^のとき，0^{にならない．つまり，}t^{コピュラでは，}

2つの変量が上側でも下側でも漸近従属する²⁸．したがって，リスクファクターの分布の裾で の依存関係が強いときには，依存関係の表現には，上側，下側とも漸近独立となる正規コピュ ラよりも，tコピュラを用いる方が適当である．

(3) tコピュラに従う乱数の発生方法

tコピュラの各変量間の依存関係は，多変量t分布の依存関係と等しい．また，多変量t^分布 は，周辺分布が1^変量t分布であり，かつその依存関係が多変量tコピュラで表現される分布 であるとみなせる．したがって，多変量t分布に従う各周辺分布を，それぞれ[0,1]^{の一様分布} に変換したものがtコピュラに従う変量となる．

多変量t分布に従う乱数は，多変量正規分布に従う乱数と，自由度ν^のχ^{2分布に従う乱数を} 用いることで発生させることができる²⁹．自由度ν^{，相関行列}Σ^を持つt^{コピュラに従う乱数} は，次のアルゴリズムによって得られる．

アルゴリズム（tコピュラに従う乱数発生）

1. ^相関行列Σを持つ多変量正規分布に従う乱数Y₁, . . . , Y_n^{を発生させる．}

2. Yiとは独立に，自由度ν^のχ^{2分布に従う乱数}Z^{を発生させる．}

28

正規コピュラと同様に，ρ= 1^{では漸近従属である．}

29

独立に1変量標準正規分布に従うν^個の乱数X1, . . . , Xνを用いれば，Z =∑ν

k=1X_k^{2が自由度}ν^のχ^2分布 に従う乱数となる．

3. X_i = √^√ν

ZY_i^{を求める（}X₁, . . . , X_n^は自由度ν^{，相関行列}Σ^を持つt^{分布に従う）．} 4. u_i =t_ν(X_i)^{を計算する．}

(4) tコピュラのパラメータ推定方法

tコピュラに従う乱数を発生させる際には，そのパラメータであるν^とΣ^{を指定する必要が} ある．以下では，正規コピュラのケースと同様に，ヒストリカルデータから，最尤法によりパ ラメータ推定を行う方法を検討する．

t^{コピュラは，自由度}ν^{と相関行列}Σをパラメータとして持つ．それらを同時に推定するこ とは容易でないので，ここでは，自由度νに複数の値を外生的に与えたうえで，それぞれの行 列Σ^の推定量Σˆ_νを求める．こうして得られたν^とΣˆ_ν の組合せのうち，対数尤度が最大にな る組合せを最尤推定量とする．

自由度νが所与のときの対数尤度関数は，データ数をN^{とすると，}(2.35)^{式により次式で表} せる．

l(Σ, ν) =N [

ln Γ

(ν+n 2

)

−ln Γ(ν 2

)]+nN [

ln Γ(ν 2

)−ln Γ

(ν+ 1 2

)]

−N

2 ln|Σ| − ν+n 2

∑N

j=1

ln (

1 +ω^j⊤Σ⁻¹ω^j ν

)

+ν+ 1 2

∑N

j=1

∑n

i=1

ln (

1 +(ω^j)²_i ν

) (2.38)

ここで，(ω^j)i=t⁻_ν¹((u^j)i)^{である．これを逆行列}Σ^{−1で微分すると，}

∂l(Σ, ν)

∂Σ⁻¹ = N

2Σ−ν+n 2

∑N

j=1

ω^jω^j⊤

ν+ω^j⊤Σ⁻¹ω^j (2.39) となることから，

Σˆ_ν = ν+n N

∑N

j=1

ω^jω^j⊤

ν+ω^j⊤Σˆ⁻ν¹ω^j (2.40) となるΣˆ_ν^が自由度νが所与のときの最尤推定量となる．ただし，このΣˆ_ν^は，(2.40)^式の右辺 にΣˆνを含み，解析的に求められないので，数値的な反復計算で求める．

以上から，tコピュラのパラメータは次の手順で求められる．

1. νに外生的に値を与えて，(2.40)^{式を満たす}Σˆ_ν^を求め，(2.38)^{式により，対数尤度}l( ˆΣ_ν, ν) を求める．

2. 1^{．をさまざまな}ν^{で行い，対数尤度}l( ˆΣ_ν, ν)^{を最大化する}ν^，Σˆ_ν ^をt^{コピュラのパラ} メータの推定量とする．

上記概略の1^．で(2.40)^{式を満たす}Σˆ_νは解析的には求められないことから，それを数値計 算により求めるとすると，具体的なアルゴリズムは次のようになる．

アルゴリズム（tコピュラのパラメータ推定法）

1. ^{原データ（}x^：n×1行列）を，仮定した周辺分布関数を用いて[0,1]^{の一様分布}u^に変換 する(u=F(x))^．

2. 正規分布に従うデータに変換する（w= Φ⁻¹(u)^）．

3. ^{変換後のデータ}wを用いて相関行列を計算しΣ(0)ˆ ^とする．

4. ω=t⁻_ν¹(u)^{によりデータを自由度}ν^のt分布に従う確率変数に変換する．

5. ^{以下の漸化式により}Σ(mˆ + 1)^{を計算し，}3．と同様に相関行列に変換する．

Σ(mˆ + 1) = ν+n N

∑N

j=1

ω^jω^j⊤ ν+ω^j⊤Σ(m)ˆ ⁻¹ω^j 6. 5．を収束するまで反復し，収束値をΣˆνとする．

7. 4^．から6^{．までを，}ν= 3,4,· · · で計算し，対数尤度を最大化するν^{と対応する}Σˆ_ν^をν^， Σ^{の推定量とする．}

(5) tコピュラのパラメータ推定の数値例

ここでは，上述したtコピュラのパラメータ推定方法の数値例を示す．上記アルゴリズムの 1．で，データを一様分布に変換するための分布を「経験分布」とし，パラメータ推定を行う．

4^変量tコピュラでパラメータ推定を試みる．自由度をν = 6^{，相関行列を}(2.41)^式とする4 変量t^{コピュラに従う乱数を}2,000^{個発生させる．}

Σ =









1.0 −0.6 0.8 0.3

−0.6 1.0 −0.2 0.4 0.8 −0.2 1.0 0.4 0.3 0.4 0.4 1.0







 (2.41)

以下では，この乱数データがパラメータが未知の4^変量tコピュラに従うとの前提で，このデー タからパラメータを推定する．自由度ν = 3,4,· · · ^で，Σˆ_νと対数尤度を求める．自由度ν^に対 して対数尤度が大きくなる自由度を求めると，自由度ν^は6^{と推定される．}

また，自由度ν = 6^{で推定された相関行列}Σˆ_ν^は，(2.42)^{式のようになった30．}Σˆ_ν^は，(2.41) 式で仮定した相関行列とほぼ等しいことが確認される．これは，ここで示したアルゴリズムが 有効であることを示唆している．

Σˆ_ν =









1.0000000 −0.5940476 0.7853495 0.3217245

−0.5940476 1.0000000 −0.1849204 0.3891923 0.7853495 −0.1849204 1.0000000 0.4020530 0.3217245 0.3891923 0.4020530 1.0000000









(2.42)

30

脚注24と同様に，推定相関行列の対角要素が1となるような操作を施している（tコピュラのパラメータ推定 法の5^{．を参照）．}

ドキュメント内 本文 総合研究大学院大学学術情報リポジトリ 乙210 本文 (ページ 60-64)