第 6 章 スペクトル法による軸対称空洞内の音場解析 97
6.3 まとめ
0 200 400 600 800 1000
Number of unknowns
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100
Re lat ive er ror
NGMFEM
(a) (0, 1)次
0 200 400 600 800 1000
Number of unknowns
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100
Re lat ive er ror
NGMFEM
(b) (0, 20)次
0 200 400 600 800 1000
Number of unknowns
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100
Re lat ive er ror
NGMFEM
(c) (9, 1)次
0 200 400 600 800 1000
Number of unknowns
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100
Re lat ive er ror
NGMFEM
(d) (9, 20)次
0 200 400 600 800 1000
Number of unknowns
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100
Me an re lat ive er ror
NGMFEM
(e) 200個の固有周波数の平均相対誤差
図6.4: 未知数の数に対する固有周波数の相対誤差
0 1000 2000 3000 4000 5000
Number of unknowns
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGMFEM
(a) 63 Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
Number of unknowns
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGMFEM
(b) 125 Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
Number of unknowns
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGMFEM
(c) 250 Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
Number of unknowns
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGMFEM
(d) 500 Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
Number of unknowns
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGMFEM
(e) 1000 Hz
図6.5: 未知数の数に対する音圧分布のL2相対誤差
103 104 105 106 107 108 109
Required memory [bytes]
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGM (direct) NGM (iterative) FEM
(a) 63 Hz
103 104 105 106 107 108 109
Required memory [bytes]
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGM (direct) NGM (iterative) FEM
(b) 125 Hz
103 104 105 106 107 108 109
Required memory [bytes]
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGM (direct) NGM (iterative) FEM
(c) 250 Hz
103 104 105 106 107 108 109
Required memory [bytes]
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGM (direct) NGM (iterative) FEM
(d) 500 Hz
103 104 105 106 107 108 109
Required memory [bytes]
10-3 10-2 10-1 100 101
L2
re lat ive er ror
NGM (direct) NGM (iterative) FEM
(e) 1000 Hz
図6.6: 必要メモリ容量に対する音圧分布のL2相対誤差
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78
Re lat ive SP L [ dB ]
(a)参照解(FEM，自由度10585)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78
Re lat ive SP L [ dB ]
(b) NGM，自由度288，必要メモリ容量55 kB
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
15 22 29 36 43 50 57 64 71 78
Re lat ive SP L [ dB ]
(c) FEM，自由度561，必要メモリ容量65 kB
図6.7: 500 Hzの音圧分布
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
14 21 29 36 44 51 59 66 74 82
Re lat ive SP L [ dB ]
(a)参照解(FEM，自由度10585)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
14 21 29 36 44 51 59 66 74 82
Re lat ive SP L [ dB ]
(b) NGM，自由度288，必要メモリ容量55 kB
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
r
[m]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z
[m ]
14 21 29 36 44 51 59 66 74 82
Re lat ive SP L [ dB ]
(c) FEM，自由度561，必要メモリ容量65 kB
図6.8: 1000 Hzの音圧分布
0 100 200 300 400 500
Frequency [Hz]
30 40 50 60 70 80
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (128) FEM (231) Reference
図6.9: 円筒形空洞の周波数応答関数(受音点R1)
0 100 200 300 400 500
Frequency [Hz]
30 40 50 60 70 80
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (128) FEM (231) Reference
図6.10: 円筒形空洞の周波数応答関数(受音点R2)
0 100 200 300 400 500
Frequency [Hz]
30 40 50 60 70 80
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (128) FEM (231) Reference
図6.11: 円筒形空洞の周波数応答関数(受音点R3)
0.3m
0.45m S
R1
R3 R2
図6.12: 計算したティンパニのケトル形状と音源および受音点の位置
図6.13: 物理座標系における格子点
500 600 700 800 900 1000
Frequency [Hz]
20 40 60 80 100 120 140
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (50) FEM (92) Reference
図6.14: ティンパニの内部音場の周波数応答関数(受音点R1)
500 600 700 800 900 1000
Frequency [Hz]
20 40 60 80 100 120 140
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (50) FEM (92) Reference
図6.15: ティンパニの内部音場の周波数応答関数(受音点R2)
500 600 700 800 900 1000
Frequency [Hz]
20 40 60 80 100 120 140
R el at iv e SP L [d B ]
NGM (50) FEM (92) Reference
図6.16: ティンパニの内部音場の周波数応答関数(受音点R3)
0.000.050.100.150.200.250.30
r
[m]
−0.45
−0.40
−0.35
−0.30
−0.25
−0.20
−0.15
−0.10
−0.05 0.00
z
[m ]
0 12 24 36 48 61 73 85 97 110
Re lat ive SP L [ dB ]
(a)参照解(FEM，自由度1470)
0.000.050.100.150.200.250.30
r
[m]
−0.45
−0.40
−0.35
−0.30
−0.25
−0.20
−0.15
−0.10
−0.05 0.00
z
[m ]
0 12 24 36 48 61 73 85 97 110
Re lat ive SP L [ dB ]
(b) NGM，自由度50，必要メモリ容量10 kB
0.000.050.100.150.200.250.30
r
[m]
−0.45
−0.40
−0.35
−0.30
−0.25
−0.20
−0.15
−0.10
−0.05 0.00
z
[m ]
0 12 24 36 48 61 73 85 97 110
Re lat ive SP L [ dB ]
(c) FEM，自由度92，必要メモリ容量10 kB
図6.17: ケトル内部の音圧分布(1000 Hz)
第 7 章
スペクトル法による軸対称形状・開領域音 場解析
本章では膜鳴楽器の外部音場の解析手法を構築する。室内音場の特性を含まない，楽器のみの音響特性 を計算する場合，楽器の周りの音場は開領域音場として扱う必要がある。スペクトル法はFEMやFDM と同じ領域型の解法であるため，開領域音場を解析する場合，有限な領域で打ち切り，何らかの境界条件 を適用しなければならない。このとき，ρc近似などの単純な方法では，本来存在しないはずの疑似反射 が生じてしまい，厳密に解析できないという問題がある。
そこで，スペクトル法で開領域音場を厳密に解析するために，Dirichlet-to-Neumann (DtN)写像 [48]
を応用する。DtN写像はFEMで開領域問題を解く際に用いられる方法である。球面から放射される音 場は理論解析解を求められる。そのことを利用して，開領域内に球面状の仮想的な境界を設け，その外側 の理論解析解と連成することで開領域を厳密に扱うという手法である。この方法は仮想境界の形状が理論 解析解の得られる球面に限定されてしまうという欠点があるが，整形に近い領域の解析に適しているスペ クトル法の場合には，むしろ整合性が高い。
前章で導入した一般曲線座標系により，容易に球状の境界を設けることができる。その境界において球 面からの放射音場の理論解析解と連成する。具体的なスペクトル法の種類としては，境界条件の取り扱 いが容易なSpectral nodal Galerkin method (NGM) を採用することとする。その結果，前章で導いた NGMのマトリクス方程式に，DtN写像を取り入れた新たなマトリクスが加わる。円周方向についてはこ れまで同様，フーリエ級数展開を用いて準理論的に解析する。
理論解析解は無限次の級数展開の形で表されるため，実際の計算においては有限の次数で打ち切る必要 がある。この打ち切り次数と計算精度の関係について検証する。