音場と振動場の連成

連成条件を立てて張力を有する薄板，円筒シェル，内部・外部音場を連成する。これまで第4^章から第 7章で提案してきた各手法におけるマトリクス方程式は，それぞれ次のような形式で表される。

[Kp−ω²Mp

]ζ =f +f_p+p_p (8.9)

[Ks−ω²Ms

]d=Wsf_s+Wsp_s (8.10)

[Kin−ω²Min

]ϕ_in=Winv^(p)_in +Winv^(s)_in (8.11) [Kout−ω²Mout−B]

ϕ_out=Woutv^(p)_out+Woutv^(s)_out (8.12)

式(8.9)は張力を有する円形薄板振動場のマトリクス方程式(4.42)^であり，

Kp=BL⁽⁴⁾_n −TL⁽²⁾_n (8.13)

Mp =ρhI (8.14)

ζ = ˜ζ_n (8.15)

f = ˜f_n (8.16)

とおいた。また，式(8.9)に新たに加えたベクトルf_p^とp_pはそれぞれ円筒シェルから加わる加振圧力 および内部音場と外部音場の音圧差を表しており，この後連成条件を立てて導出するものである。なお，

f_p^{は圧力の単位}N/m²をもち，面積積分することで力の単位Nとなる項であるが，実際には円形薄板と 円筒シェルは線で接しているため半径方向の分布はデルタ関数となっている。

式(8.10)は円筒シェル振動場のマトリクス方程式(5.37)である。各マトリクスとベクトルは

Ks=



K11 K12 K13

K21 K22 K23

K31 K32 K33



 (8.17)

Ms = 1 c²_L

l 2



W O O O W O O O W˜



 (8.18)

d=



 un

vn

wn



 (8.19)

とおいた。マトリクスWsは数値積分の重みを対角成分に並べたマトリクス，ベクトルf_s^{は薄板振動場} から加わる加振圧力，p_sは内部音場と外部音場の音圧差である。なお，f_s^はz軸方向の分布がデルタ関 数となる圧力である。

式(8.11)は内部音場のマトリクス方程式(6.71)に対応し，各マトリクスとベクトルは

Kin=K1+K2+K3 (8.20)

Min = 1

c²diag(J)W (8.21)

ϕ_in =ϕ_n (8.22)

である。マトリクスWinは数値積分の重みを対角成分に並べたマトリクス，ベクトルv^(p)_in ^とv^(s)_in ^は薄 板と円筒シェルの振動速度を表している。

最後の式(8.12)は外部音場のマトリクス方程式(7.17)である。各マトリクスとベクトルは

Kout=K1+K2+K3 (8.23)

Mout = 1

c²diag(J)W (8.24)

ϕ_out =ϕ_n (8.25)

Stretched plate

Cylindrical shell

図8.3: 振動変位と振動速度の正の向き

であり，マトリクスWoutは数値積分の重みを対角成分に並べたマトリクス，ベクトルv^(p)_out^とv^(s)_out^はそ れぞれ薄板と円筒シェルの振動速度を表している。

薄板振動場と音場の連成

まず，張力を有する円形薄板振動場と音場の連成について考える。音場から薄板への作用を考えると，

内部音場と外部音場の音圧差が薄板への加振圧力ppとなるので，内部音場の速度ポテンシャルをϕin，外 部音場の音圧をϕout，空気の密度をρとすると次のような関係が成り立つ。

pp =ρ∂ϕin

∂t −ρ∂ϕout

∂t =jωρϕin−jωρϕout (8.26)

これを薄板上のすべての節点についてマトリクス方程式の形で

p_p =Ginϕ_in−Goutϕ_out (8.27)

と表すことができる。ここで薄板の節点数をNp，内部音場の節点数をNin，外部音場の節点数をNoutと する。GinはNp行Nin列のマトリクスであり，薄板のi番目の節点と内部音場のj^{番目の節点を共有し} ているとすると，i^行j^列にjωρという成分をもち，それ以外は0となるマトリクスである。同じように してGoutはNp 行Nout列のマトリクスであり，薄板のi番目の節点と外部音場のj^{番目の節点を共有} していれば，i^行j^列にjωρ^{という成分がはいる。}

次に，薄板は音場に対して振動速度境界として作用すると考えることができる。薄板の振動変位をζ^， 境界における法線ベクトルの向きを領域の内向きと定め，内部音場における薄板の振動速度をv_in^(p)，外部 音場における薄板の振動速度をv_out^(p) とすると，振動変位と振動速度のベクトルの正の向きは図8.3^のよ うに定義でき，次の関係が成り立つ。

v_in^(p) =−∂ζ

∂t =−jωζ (8.28a)

v_out^(p) = ∂ζ

∂t =jωζ (8.28b)

これらをベクトルで表すと

v^(p)_in =−Pinζ (8.29a)

v^(p)_out =Poutζ (8.29b)

と書ける。PinはNin行Np 列のマトリクス，PoutはNout行Np 列のマトリクスである。内部音場の i^{番目の節点と薄板の}j番目の節点を共有していれば，Pinのi^行j^列にjωという成分がはいる。それ 以外の成分は0である。同じようにして，外部音場のi^{番目の節点と薄板の}j番目の節点を共有していれ ば，Poutはi^行j^列にjω^{という成分をもつ。}

シェル振動場と音場の連成

次に，薄板振動場と音場の連成と同じような要領でシェル振動場と音場を連成する。音場からシェル振 動場への作用を考えると，内部音場と外部音場の音圧差がシェル振動場への加振圧力psとして働くので，

ps =ρ∂ϕin

∂t −ρ∂ϕout

∂t =jωρϕin−jωρϕout (8.30)

という条件が成り立つ。シェル振動場のすべての節点について書き並べると次の形のマトリクス方程式に なる。

p_s =Hinϕ_in−Houtϕ_out (8.31)

シェル振動場の節点数をNsとすると，シェル振動場の方程式の数は 3Ns+ 2であることに注意して，

Hinは3Ns+ 2^行Nin列のマトリクス，Houtは3Ns+ 2^行Nout列のマトリクスである。シェル振動場 のi番目の節点と内部音場のj番目の節点を共有しているとすると，Hinは2Ns+ 1 +i^行j^{列の成分が} jωρ^{，それ以外の成分は}0となるマトリクス，同じようにシェル振動場のi番目の節点と外部音場のj^番 目の節点を共有しているとすると，Houtは2Ns+ 1 +i行j列の成分がjωρ，それ以外の成分は0とな るマトリクスである。

シェル振動場から音場への作用は，シェル振動場が音場に対して振動速度境界として働くと考えられ る。シェル振動場の法線方向の変位をw，内部音場と外部音場におけるシェル振動場の振動速度をそれぞ れv_in^(s)，v_out^{(s) とすると，}

v^(s)_in =−∂w

∂t =−jωw (8.32a)

v^(s)_out= ∂w

∂t =jωw (8.32b)

という条件が成り立つ。ベクトルを使ってシェル振動場のすべての節点について書き並べると，

v^(s)_in =−Qind (8.33a)

v^(s)_out=Q_outd (8.33b)

と書くことができる。ここでQ_in^とQ_out^{はそれぞれ}Nin行3Ns+ 2^{列のマトリクスと}Nout行3Ns+ 2 列のマトリクスであり，内部音場のi番目の節点とシェル振動場のj番目の節点を共有していればQ_in^の i^行2Ns+ 1 +j^{列の成分が}jω^{，外部音場の}i番目の節点とシェル振動場のj番目の節点を共有していれ ば，Q_out^のi^行2Ns+ 1 +j^{列の成分が}jωとなる。それ以外の成分は0^である。

Stretched plate

Cylindrical shell

図8.4: 薄板とシェルの変位，回転，せん断力，曲げモーメントの正の向き

薄板振動場とシェル振動場の連成

最後に薄板振動場とシェル振動場の連成条件を立てる。薄板とシェルの変位，回転，せん断力，曲げ モーメントの向きは図8.4に示すように定義するものとする。薄板とシェルが連成している節点では，薄 板の変位ζと円筒シェルの経線方向の変位u^{，薄板の回転角}ζ^{′と円筒シェルの回転角}w^{′が等しくなるの} で次の条件が成り立つ。

ζ =u (8.34a)

ζ^′=−w^′ (8.34b)

上式はベクトルを使って

Tpζ =Tsd (8.35)

と表すことができる。TpとTsは薄板と円筒シェルの共有している節点の変位と回転角を取り出すマト リクスである。

また，シェルから薄板に加わる力fpと薄板からシェルに加わる力fs，およびシェルから薄板に加わ る曲げモーメントMp と薄板からシェルに加わる曲げモーメントMs の間には作用反作用の関係がある ため，

fp+fs= 0 (8.36a)

Mp−Ms = 0 (8.36b)

が成り立つ。これより薄板とシェルへの加振圧力ベクトルf_p^とf_s^はTp とTsを用いて f_p =−T^T_p

{fs

Ms

}

=−T^T_pλ (8.37a)

f_s =T^T_s {fs

Ms

}

=T^T_s λ (8.37b)

と表される。ここで，λ={fs Ms}^{Tとおいた。}

薄板振動場，シェル振動場，音場の連立方程式

ここまで立ててきた連成条件(8.27)^，(8.29a)^，(8.29b)^，(8.31)^，(8.33a)^，(8.33b)^，(8.37a)^，(8.37b) を式(8.9)^，(8.10)^，(8.11)^，(8.12)に代入し，薄板とシェルの束縛条件式(8.35)とともに書き並べると，

[Kp−ω²Mp

]ζ =f −T^T_pλ+Ginϕ_in−Goutϕ_out (8.38) [Ks−ω²Ms

]d=WsT^T_sλ+WsHinϕ_in−WsHoutϕ_out (8.39) [Kin−ω²Min

]ϕ_in=−WinPinζ−WinQ_ind (8.40) [Kout−ω²Mout−B]

ϕ_out=WoutPoutζ+WoutQ_outd (8.41)

Tpζ =Tsd (8.42)

となり，さらに未知数を左辺に移項し，すべての方程式をマトリクス方程式の形で書くと，









Kp−ω²Mp O T^T_p −Gin Gout

O Ks−ω²Ms −WsT^T_s −WinHin WoutHout

Tp −Ts O O O

WinPin WinQ_in O Kin−ω²Min O

−WoutPout −WoutQ_out O O Kout−ω²Mout−B



















 ζ d λ ϕ_in ϕ_out













=











 f 0 0 0 0











 (8.43) が得られる。これが薄板振動場，シェル振動場，内部および外部音場を連成した方程式である。薄板振動 場への加振圧力f を与えて上式を解けば，薄板振動場，シェル振動場の振動変位，そして内部，外部音場 の速度ポテンシャルが同時に得られる。

ドキュメント内 音響振動連成場の高精度数値解析と膜鳴楽器への応 用 (ページ 154-159)