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... (2) 假設結論不成立，即存在一種將 6 個小正三角形塗色的方式，使得無法在此 大正三角形內放置任何一片四正三角形塊而不蓋住任何塗色的小正三角形。在 下左圖中，下面兩個用紅線標示的正六邊形內，必然至少各要將 2 個小正三角 形塗色，否則顯然可找出四正三角形塊；上方用紅線標示的三角形裏必然也要 至少要將 1 個小正三角形塗色，中間靠左用紅線標示的凹六邊形裏必然也要至 少要將 1 個小正三角形塗色，這說明 6 ... 完全なドキュメントを参照

... 答：（B） 13. 平面上 ABCD 是一個邊長為 10 cm 的正方 形，BC 邊固定不動，將 AD 邊移至 A D ′ ′ 的 位置，並且在移動過程中 AB 、 CD 和 AD 邊 的長度恒不改變。已知 A D ′ ′ 與 CD 的交點 G 為 CD 邊的中點，如下圖所示。請問在移動 過程中 AD 邊掃過的面積（即圖中陰影部份） ... 完全なドキュメントを参照

... × × 種參加的方式。但實際上不可能同時參加活動時間相同 的兩個社團，而同時選擇參加活動時間相同的兩個社團及其餘四個社團中的一 個社團共有 4 種參加的方式，故可推知實際上共有 20 − = 4 16 種不同的選擇。 答案： 16 種 13. 正方形公園的正中央有一座正方形的涼亭，涼亭的邊緣與公園外圍最近的距 離為 8 m ，如圖所示。已知公園除了涼亭外的區域之面積為 448 m 2 ，請問涼 亭的面積是多少 m 2 ？ ... 完全なドキュメントを参照

... 答案： （B） 6. 如圖，在 4 4  的黑白相間塗色的棋盤中，放入 4 枚相同的棋子。規定每個小 方格內至多放一枚棋子，所有的棋子都必須放在同一種顏色的小方格內，且 沒有任何兩枚棋子放在同一行或同一列。請問總共有多少種不同的放法？ ... 完全なドキュメントを参照

... 【參考解法】 被 6 整除等價於同時可被 2 與 3 整除，故知「幸運數」的末兩位數碼均為偶數， 且三個數碼之和可被 3 整除。在「幸運數」的末兩位數碼中，每一位都可選擇 0 、 2 、 4 、 6 、 8 共有 5 種選法。而在非零數碼中，被 3 除之後餘數為 1 的數共有 1 、 4 、 7 這三個數、被 3 除之後餘數為 2 的數共有 2 、 5 、 8 這三個數、被 3 除之後 餘數為 0 的數共有 ... 完全なドキュメントを参照

... 答案： （E） 5. 如圖所示，一張 6 6 × 方格表左上角的小方格中有一隻螞 蟻，它想爬到右下角的小方格 A 中。它每次只能沿著水 平向右或鉛直向下的方向爬到相鄰的小方格，並且表格 中有三塊隔板（圖中加粗的線條）不能從中穿過。請問 這隻螞蟻總共有多少條不同的路徑到達 A？ ... 完全なドキュメントを参照

... 答案： 29 cm 9. 下圖是由一些等腰直角三角形拼成的圖形，若一隻螞蟻欲沿著三角形的邊從 A 點爬到 C 點，規定在爬行的過程中只能向右方、上方或者斜右上方爬行。 請問這隻螞蟻總共有多少條不同的爬行路徑？ ... 完全なドキュメントを参照

... 答案：3200 元 7. 某架貨機有三個貨艙：前艙、中艙、後艙。三個貨艙所能裝載的貨物的最大 重量和體積都有限制，如下表所示。並且為了保持飛機的平衡，三個貨艙中 實際裝載貨物的重量必須與其最大容許重量的比例相同。現有一批足夠多的 貨物 A，且每噸貨物 A 的體積為 6 m 3 。請問該貨機一次飛行最多能裝載多少 噸貨物 A？（結果用小數表示，以四捨五入精確到小數點後兩位） ... 完全なドキュメントを参照

... 【參考解法】 如上面右圖所示，通過連接等分點，得到 25 個大小相同的小等邊三角形，每個 小等邊三角形的面積為 50 ÷ 25 = 2 cm 2 。而陰影部分包含 10 個小等邊三角形， 所以圖中陰影部分的面積為 2 × 10 = 20 cm 2 。 答案：020 23. 小柯把他的玩具小鴨和烏龜排成一排，如下圖所示。小柯現在想把小鴨全部 排在左邊，烏龜全部排在右邊。若每次操作只允許互相交換其中兩個相鄰玩 ... 完全なドキュメントを参照

... 個直角三角形。因此，若圖 中只有 1 組或 2 組直線互相垂直，則最多只能有 6 個直角三角形。若圖中有至 少 3 組直線互相垂直，則必然有兩條直線 a 、 b 垂直於同一條直線，故 a 、 b 互 相平行，這樣 a 與 c 、 d 、 e 中任兩條直線可能構成一個三角形，最多共 3 個三角 形； b 與 c 、 d 、 e ... 完全なドキュメントを参照

... 【參考解法 2】 若該數不是 7 的倍數，則它恰有一半的因數為 7 的倍數。但該數至少有一半的 2 因數為 3 的倍數（每個不是 3 的倍數的因數都可以通過乘以 3 變成一個是 3 的 倍數的因數），矛盾。故該數是 7 的倍數，故此數最少為 2 3 7  = 2 147 ，經檢驗 147 滿足題目條件。 ... 完全なドキュメントを参照

... 25. 某班全體學生分組作專題研究，研究分上午和下午兩個階段，學生可以在每 個階段各參加一個小組（不能不參加，兩個階段的小組成員人數可以不同） ， 要求每組最多八人（允許一個人單獨為一組）。當研究結束後，每位學生先 報出自己上午所屬小組分別的成員人數，再報出下午所屬小組分別的成員人 數。結果發現任意二位學生報出的數對都不相同 ... 完全なドキュメントを参照

... 第二個數，所得的結果再乘以第三個數，所得的結果再加上第四個數，所得 的結果再乘以第五個數，依此類推。請問可能得到的最小結果是多少？ 【參考解法】 因為只有進行加法與乘法運算，所得結果是遞增的，為使得到的結果最小必須 將數 1 、 2 、 3 安排在乘法運算的位置，且要依照 3 、 2 、 1 的順序。而其它五個 數則安排在加法運算的位置，且要依照漸大的順序。所以可能得到的最小結果 為 (((4 + × + × + × + ... 完全なドキュメントを参照

... 14. 小王家有一個水龍頭關不緊漏水了，平均每秒鐘滴一滴水，且每滴水的體積 大約為 0.05 mL。晚上 9 點整，小王在該水龍頭正下方放一個空的量杯。小 王在半夜醒來時發現杯中裝的水，如下圖所示。若忽略蒸發掉的水，請問此 時刻最接近於下列哪個時刻？ ... 完全なドキュメントを参照

... 計算出到達標有 9 的小方格之路徑數34 34 68 + = ，再給 5 分。 15. 一個無限項的數列按一定規律排列如下： 1、2、3、5、8、3、1、4、5、9、4、…， 從第三個數起，每一個數都等於它前面緊鄰的兩個數的和之個位數碼。請問 這個數列中的第 2019 項是什麼？ ... 完全なドキュメントを参照

... 【參考解法】 觀察可知大正方形的四條邊上除了四個角之外共還有八個路口，且這八個路口 為三條街的交點，而因清潔工人必須走過每一條街道，故為了使路程最短，他 必須經過連接這八個路口中在同一條邊上兩個路口的這四條街道各兩次，即他 最少走 (24 4) 20 560 + × = m 。此時清潔工人的路徑可為： ... 完全なドキュメントを参照

... 【參考解法】 現從 3 個相異的紅點開始進行分析，此時最少產生 3 個相異的黑點，再多加 1 個新的紅點後，新點與其距離最近的兩個紅點必定會產生兩個新的黑點，歸納 發現可得 5 個紅點時至少會有 7 個相異的黑點。當 5 個紅點等距排列在一條直 線上時，如下圖中的點 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，則恰產生 7 個相異的黑點，故至少有 7 個相異的黑點。 ... 完全なドキュメントを参照

... 若小明購買的全部都是鉛筆，則共需付款 9 2 18 × = 元，比原來少 22 18 − = 4 元， 每支鉛筆比原子筆便宜 3 2 1 − = 元，故知原子筆有 4 1 ÷ = 4 支、鉛筆有 9 − = 4 5 支。 答案：（ C ） 5. 在下列各選項中，都是在一個長 10 cm 、寬 6 cm 的長方形內部嵌入若干個塗 上陰影的三角形，而這些塗上陰影三角形的頂點都為所在線段的等分點或端 ... 完全なドキュメントを参照

... （2）任意兩個編碼至多在一個數位上的數碼是對應相同的。 請問這個機器人至多可以生成多少個符合以上指令的編碼？ 【參考解法 1】 由題意可知，任兩個編碼至少在兩個數位的數碼是對應不同的。因此，編碼數 量不能超過 90 個。因為百位數只能為 1 至 9 這九個數碼，十位數可以為 0 至 9 這十個數碼，從而前面兩位數碼總共可以構成9 10 90  = 個不同的兩位數。若編 碼數量大於或等於 ... 完全なドキュメントを参照

... 由於任意劃掉 4 行 4 列的棋子後，在剩下的格 子中至少還有 1 枚棋子，故每次劃掉的棋子數 量愈多愈好。在圖一中，劃掉 4 列中的 4 枚棋 子後，還剩下 4 枚棋子分佈在 4 行中，若再劃 掉 4 行，則棋盤中棋子可能便不剩了。因此至 少放入 9 枚棋子，且知在棋盤中必然有某些行 或列至少應放入 2 枚棋子。為了使棋盤中放入 ... 完全なドキュメントを参照