演習問題解答 ( 第 1 章 )

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演習問題解答

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演習問題1 (x−a)²+ (y−b)²= 4 —₁h の両辺をxで微分すると (x−a) + (y−b)y⁰ = 0 — ₂h. さらに両辺をxで微分すると 1 + (y⁰)²+ (y−b)y⁰⁰= 0 —₃h. ₁h, ₂hより, (y−b)²(1 + (y⁰)²) = 4.

これと₃hより, ∴ 4(y⁰⁰)²= (1 + (y⁰)²)³.

演習問題2 (1) (1−x²)y⁰ =x(2−y)と書けるから, y6= 2のとき, y⁰

y−2 = x

x²−1, log|y−2|= 1

2log|x²−1|+c₀, (y−2)²=e^2c0|x²−1|,

y= 2±√

c(x²−1) (c=±e^2c0 6= 0の任意定数) を得る.

y= 2も微分方程式の1つの解であり,これは上式においてc= 0とおくことにより得られる. したがって,

∴ 一般解 : y= 2±√

c(x²−1) (c : 任意定数)

(2) y=xzとおくと,y⁰=xz⁰+zだから,与式に代入すると (1 +z)(z+xz⁰) =z(3 + 2z) — ₁h. z6=−2,0とすると,

1 +z

2z+z²z⁰ = 1

x, log|z²+ 2z|= 2 log|x|+c0, z²+ 2z=cx² (c=±e^c0 6= 0 :任意定数).

z≡0,−2も ₁hを満たし,これは上式において c= 0とおくことにより得られるから,

∴ 一般解 : y=xz =x(−1±√

cx²+ 1) (c : 任意定数).

(3) z=e^−xy とおくと,z⁰=−e^−xy+e^−xy⁰=e^−x(y⁰−y) =e^−xx² となるから z=

∫

x²e^−xdx=−(x²+ 2x+ 2)e^−x+c, y=e^xz=ce^x−(x²+ 2x+ 2) (c:任意定数).

(4) z=y⁻²とおくと,y=z⁻¹², y⁰=−1

2z⁻³²z⁰ だから,これらを代入すると

−1

2z⁻³²z⁰+ 2z⁻¹² =e^2xz⁻³², i.e. z⁰−4z=−2e^2x となる.

w=e^−4xz とおくと, w⁰=e^−4x(z⁰−4z) =e^−4x(−2e^2x) =−2e^−2x となるから w=e^−2x+c, z=e^4xw=e^2x(ce^2x+ 1), y=z⁻¹² = 1

e^x√

ce^2x+ 1 (c:任意定数).

2

演習問題3 (1) 特性方程式 t²−t−2 = 0 の解は t=−1,2 だから,一般解は

∴ y=c1e^−x+c2e^2x (c1, c2:任意定数).

(2) 特性方程式 t²+ 4t+ 4 = 0 の解は t=−2 (重解)だから,一般解は

∴ y= (c₁+c₂x)e^−2x (c₁, c₂:任意定数).

(3) 特性方程式 t²−2t+ 10 = 0 の解は t= 1±3√

−1 だから,一般解は

∴ y=c1e^xcos 3x+c2e^xsin 3x (c1, c2:任意定数).

(4) 補助方程式の特性方程式 t²−2 = 0 の解は t=±√

2 だから,

補助方程式 y⁰⁰−2y= 0 の基本解は u(x) =e^√2x, v(x) =e^−√2x

で与えられる. また, y=e^x−e^−x が y⁰⁰−2y=−e^x+e^−x の特殊解だから,一般解は

∴ y=c₁e^√2x+c₂e^−√2x+e^x−e^−x (c₁, c₂:任意定数).

(5) 補助方程式の特性方程式 t²−4t+ 4 = 0 の解は t= 2 (重解)だから, 補助方程式 y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0 の基本解は u(x) =e^2x, v(x) =xe^2x で与えられる. また, y= (x+ 1)² が y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 4x²−2 の特殊解だから,一般解は

∴ y= (c1+c2x)e^2x+ (x+ 1)² (c1, c2:任意定数).

(6) 補助方程式の特性方程式 t²−4t+ 5 = 0 の解は t= 2±√

−1 だから, 補助方程式 y⁰⁰−4y⁰+ 5y= 0 の基本解は u(x) =e^2xcosx, v(x) =e^2xsinx で与えられる. また, y= 1

8(cosx−sinx) が y⁰⁰−4y⁰+ 5y= cosx の特殊解だから,一般解は

∴ y= (c1cosx+c2sinx)e^2x+1

8(cosx−sinx) (c1, c2:任意定数).