PDF 生産関数（k生産要素の場合）LQkoyyj - Keio

生産関数（ 生産要素の場合）

戸瀬 信之 年 月年 月

戸瀬 信之 生産関数（ 生産要素の場合） 年 月 年 月

経済 を 学

Part ^o l

生産

を

, Part ^{0 2 .} 包絡

線定理

t

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や

生産 要素 需要 内 奴

陰関数定理

を の開集合、 を の開集合とします。( , )2 (¯,¯,¯)2 とします。

定理  , は ⇥ 上の関数とします。そして ( , ,¯,¯,¯) = ( , ,¯,¯,¯) =

( , ,¯,¯,¯)6=

を仮定します。このとき( , ,¯,¯,¯)の近くで ( , , , , ) = ( , , , , ) = は = ( , , ), = ( , , )と解けます。

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い、y^{) EU}_, ^CP, f, r)EV

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8

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が

- _ -

生産関数の場合

= ( , )を生産関数として、利潤関数

⇡( , , , , ) = ( , ) を考えます。

( , , ) = (¯,¯,¯) ( , ) = ( , )において最大の利益が得ら れるとします。このとき

⇡ ( , ,¯,¯,¯) = ¯ ( , ) ¯ =

⇡ ( , ,¯,¯,¯) = ¯ ( , ) ¯ = が成立します。

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l

r fcssy) ^- p ^{= o} g、 ^{二 o}

→

𡸳 たい ら ばい

生産関数の場合

⇡ ⇡

⇡ ⇡ = = >

が常に成立していますから（仮定）、陰関数の定理が適用で きて

⇡ = ( , ) = , ⇡ = ( , ) = は = ( , , ), = ( , , )と解けます。

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o.

要素需要関数

( , , ) ( , , )を要素需要関数と呼びます。

( , , ) ( , , )の , , に関する依存を調べてみます。

⇡ ( ( , , ), ( , , ))

= ( ( , , ), ( , , )) ⌘ の両辺を で偏微分すると

✓

· @

@ + · @

@

◆

=

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-

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re re the

Fit)= fact⁾、yctl) ^-) がいいたく ^)でが

なる

要素需要関数

⇡ ( ( , , ), ( , , ))

= ( ( , , ), ( , , )) ⌘ の両辺を で偏微分すると

✓

·@

@ + · @

@

◆

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→

nn

シ、 再

要素需要関数

２つの式をまとめると

✓ ◆

·

@

@@

@

!

=

✓ ◆

これを の公式で解くと

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detl.ltはDCP^{)> 0}

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呿 )

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et ( ^r Hess) ⁼

ら

( HD

要素需要関数

@

@ =

det( ( )) =

det( ( ))

@

@ =

det( ( )) =

det( ( ))

生産関数に関する条件det( ( ))> , < を仮定すると

@

@ <

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通 憼

o.

超

( と )

など

ae-elso.es

長 で 3

a. ^。

ハ 出

利潤関数の性質（１）

利潤関数を , , の関数として表します。

⇧( , , ) := ⇡( ( , , ), ( , , ))

= ( ( , , ), ( , , )) ( , , ) ( , , ) の補題  

@⇧

@ = ( ( , , ), ( , , ))

@⇧

@ = ( , , ), @⇧

@ = ( , , )

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て ^{い 、}

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つくCP,9,r) 」

シ、 間接

数

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I

の補題の証明

@⇧

@ = ( ( , , ), ( , , ))

+ ( ( , , ), ( , , ))@

@ + ( ( , , ), ( , , ))@

@

@

@

@

@

= ( ( , , ), ( , , )) + ( ( ( , , ), ( , , )) )@

@ + ( ( ( , , ), ( , , )) )@

@

= ( ( , , ), ( , , ))

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塗 もともと 楽

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の補題の証明

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@ = ( ( , , ), ( , , ))@

@ + ( ( , , ), ( , , ))@

@ ( , , ) @

@

@

@

= ( ( ( , , ), ( , , )) )@

@ + ( ( ( , , ), ( , , )) )@

@ ( , , )

= ( , , )

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盛

包絡線定理

を の開集合、 を開区間とします。

: ⇥ !

を↵2 を固定して最適化します。( , )2 において ( , ,↵ ) = ( , ,↵ ) =

( , ,↵ )6= が成立するとします。

このとき陰関数の定理を用いると( , ,↵ )の近くで ( , ,↵) = ( , ,↵) =

は = (↵), = (↵) と解けます。

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Part ⁰ ₂

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は 品 亹 ド

包絡線定理

間接目的関数 (↵) := ( (↵), (↵),↵) について次の包絡線定 理が成立します。

定理 ⁰(↵) = _@↵^@ ( (↵), (↵)) 証明

↵ ( (↵), (↵),↵)

= ( (↵), (↵),↵)· ⁰(↵)

+ ( (↵), (↵),↵)· ⁰(↵) + ↵( (↵), (↵),↵)

= ↵( (↵), (↵),↵)

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こ

○

前

=

3

変数

1

Y

i

包絡線定理

利潤関数

⇡( , , , , ) = ( , ) に適用すると

@⇧

@ = @⇡

@ ( ( , , ), ( , , ), , , ) = ( ( , , ), ( , , ))

@⇧

@ = ( , , )

@⇧

@ = ( , , )

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