次の §5 では、許容システムによる代数群の分類が特異点の場合に帰着されることを証明します。実数体では、カルタンの定理から、特異特異点の R 同型クラスであることがわかります。代数群は実現可能です。
基底ルートデータ
1. 基底ルートデータと関連する分割可能還元群の存在 このセクションでは、接続された分割可能還元 F 代数群の同型クラスと基底の同型クラスとの間に 1 対 1 対応があることを見ていきます。ルートデータ。
ウェイト格子とルート格子
F を標数 0 を持つ体、F を F の代数閉包、Γ = Gal(F/F) を絶対ガロア群とする。任意のトーラス A について、その有理指数グループは X(A) です。有理共指標グループは X∨(A) として表されます。指標群の準同型性と共指標群の準同型性は、それぞれ 2 つのトーラス間の準同型性 φ : A→A' から導出されます。
連結分裂リダクティブ群の基底ルートデータ
Xe はウェイト ネット、X はルート ネットと呼ばれます。それらは明らかな包含関係 X⊂X⊂Xe を持ちます。同様に、双対基底 {ωα∨ |α∨ ∈∆ in X∨Q for ∆ ∨}。基本重量。
連結分裂リダクティブ群の同型定理と存在定理
また、接続された還元的 F 代数群に対応するコホモロジー不変量も構成します。 F 上で定義され、F 上の G と同型である代数群は、G の F 形式と呼ばれます。
ツイスト
このセクションでは、最初に F 型を定義し、代数群の F 型が自己同型群の値を取るガロアスコ ホモロジー クラスに従ってひねって分類できることを説明します。さらに、代数群のタイプ F が自己同型群の値をとるガロアスコホモロジー類に従った曲線で分類できることを説明します。
連結分裂リダクティブ群のツイスト
この不変式はパート II で重要な役割を果たします。
連結半単純群の自己同型群
この効果により、AGs に F 構造が付加され、F 代数群は (AGs)z と表現されます。この場合、(AGs)z(F) は G=Gsz の F 自己同型群を与えます。
内部 F- 型と外部 F- 型
一般に、連結還元代数群の自己同型群は代数群ではありません。例えば、トーラスがこれに該当します。
内部 F- 型のコホモロジー不変量
AutF(G,D∆) が AutF(G0, D∆) となるようなものが存在する場合、(G, φ) と (G', φ') は内部 F-同型写像であると言います。これは G の F-同型写像です。 [G]。
単連結群と随伴群
中心 F の同型性 φ : Ge→G については、Γ 加群と同型です。 F=C の場合、π1(G) は複素リー群 G(C) の位相基本群であり、as となります。グループ 彼らは同じ種です。
連結リダクティブ群の Γ- データ
次に、X(T) に対するガロア群 Γ の ∗ 作用を定義します。
半単純群の Γ - データとツイスト
これを行うには、X(S) に対する Γ の作用 σ が自明であることを示す必要があります。
連結リダクティブ群の許容系
このセクションでは、接続された還元的 F 代数群の同型定理を示します。定義: (iΨ,K,C) が (a)、(b)、および (c) を満たす場合、それは許容可能なシステムです。ということです。
同型定理
同型定理から、F-同型を除いて実現は一意に決定されます。
半単純の場合への帰着
許容系によって接続された還元的な F 代数群を分類するには、特定の許容系が実際に代数群から来る許容系であるかどうかを決定する必要があり、還元不可能に単純に接続された系の場合の決定に還元されます。
単連結の場合への帰着
1) (iΨ,K) が実現可能な場合、I は Kτs の異方性内部 F 形式です。したがって、(iΨ,e K)e が実現可能であれば、(iΨ,K) も実現可能です。
F- 単純の場合への帰着
さて、Ψeb についても同様に、Ψeb= Ψb(Ges,eBs,eTs;F) および eT∆s となるような接続された半単純 F 代数群 Ges をとります。システムになっていることがよくわかります。
F- 単純の場合への帰着
G を単純な半単純な代数群とし、P を G の放物線部分群とします。M が P のレヴィ部分群である場合、その交換子群 (M,M) も単純に接続されます。
基底許容系
単連結群の同型定理
基底許容系の実現可能性
Bs は G0 の F ボレル サブグループであり、Ts は G0 内の最大の F トーラスであることに注意してください。以下では §3.2 と同じ記号を使用します。絶対ワイル群の部分群 WΓ を表すことにします。
佐武 –Tits 図形
実数体を考えるとき、カルタンの定理は、単純に接続されたコンパクトな群がディンキン図であることを示します。この補題から、実現可能な Γ 図形の分類は、半分割群の分類と実現可能な Satake-Tits 図の分類になります。 Fについて。それは分類に帰着します。
古典型佐武 -Tits 図形の分類
6.6.3) F 上に Bn,ℓ が存在するための必要十分条件は、F 上に 2n+1 次元、つまりウィット指数 ℓ の非縮退二次形式が存在することです。 6.6.5) F (d ) 上の 1D n,ℓ が存在する必要十分条件は、F を中心とする d2 次の対角線 D とその一次直交対 ρ が存在し、2d が存在することである。 −1n次元。これは、インデックス ℓ および判別式 = 1 の非縮退 ρ-エルミート形式が存在することを意味します。
例外型佐武 -Tits 図形の分類
この場合、「いいえ」は実現可能です。以下の 8 つの Satake-Tits 形状が実現可能です。
R- 同型類の分類
7 アルキメデス局所体上の単純半単純群の分類も R 上で実現できるよく知られた Satake-Tits 図の分類であるため、結果のみ ([Ar]、[Mu]、[ Sa1 、杉浦付録]、など）について説明します。
内部 R- 同型類の分類
単純結合単純 R 代数群の R 同型類は、既約根系 k∆ の Satake-Tits 図形 ΣR(k∆) によって完全に分類されます (半分割群も k∆ によってのみ決定されます)。すべての既約根系において、R 上で実現可能な Satake-Tits 図は次のように与えられます。 Satake-Tits 図は AutR(D∆,∆0, τ) に含まれているためです。
コホモロジー不変量の計算
8 非アルキメデス局所体上の単結合半単純群の分類 この結果から、単結合単純 F 代数群の同型を分類できます。
コホモロジー不変量の計算
上記の代数群を考慮すると、コホモロジー Hi(Fv,H) を考えることができます。 また、接続写像とハッセ写像からなる次の図も考えられます。
コホモロジーの計算
F- 同型類の記述
H1(F,G0)は同型になります。したがって、ハッセの原理は F-同型写像に当てはまります。
代数体上の佐武 -Tits 図形
Yi'')a.a.: X の実現において、有限数 Yi'') を除くほぼすべての Fv(v∈Vf) について佐竹-ティッツ図形は Yi'' になります。 all: X の実現において、すべての Fv ( v∈Vf)、サブティッツ図は Y''i になります。
