分裂型
p
進簡約群
法
p
表現
分類
阿部 紀行
∗1
Galois表現 簡約群 表現 間 対応 主張 局所/大域Langlands対応 ，整数論 表現論 大 問題 認識 ．近年，非 的局所体上 局所 Langlands対応 類似・一般化 ，p進Langlands対応（Qp 拡大体上 連続 表現 考 ） 法p Langlands対応（標数p 体 上 表現 考 ） 考 提唱 ，GL2(Qp) 場合 完成 理論 存在 ． ，表現論 立場 見 ，第一 問題 簡約群 既約p進表現 既約法p表現 分類 言 ．GL2(Qp) 場合 ，既約法p表現 分類 Breuil［Bre03］ 行 ，p進Langlands対応 確立 大 役割 果 ．一方 他 群 対 ，GL2 分類 ， 状況 複雑 認識 ［BP］，一般 群 対 p進Langlands対応 考 際 大 障害 ． 簡約群 重要 表現 構成方法 ，放物型誘導表現 ．放物型部分群 Levi部分 群 簡約群 ， 構成 群 階数 関 帰納法 用 ． 用 ，簡約群 既約表現 分類 次 二段階 分 ． （1） 既約超尖点表現（真 放物型部分群 誘導表現 部分商 表現） 分類 ． （2） 放物型誘導表現 構造 理解 ，既約表現 分類 既約超尖点表現 分類 帰着 ． p進簡約群 既約認容法p表現 場合，（1） GL2(Qp) 行 ，（2） GL2場合 Barthel-Livn´e［BL94, BL95］ ，GLn 場合 Herzig［Her］ 行 ， 分裂型 場合 ［Abe11］ 行 ．本論 ，［Her］ ［Abe11］ 基 分裂型 場合
（2） 解説 ．
2
誘導表現 佐武変換
F Qp 有限次拡大体，O 整数環，ϖ∈ O 極大 生成元，κ 剰余体 ， G O上 連結 分裂型簡約群 ．極大 T ⊂ G 含 Borel部分群 B⊃ T 固定 ． ， 型(X∗, ∆, X∗, ˇ∆)，正 全体 集合∆+⊂ ∆ ∗北海道大学 創成研究機構単純 全体 集合Π 定 ．W Weyl群 ．各群 F有利点全体 群 同 記号 表 （G = G(F ) ）． K = G(O) ．K 極大 部分群 ．Θ⊂ Π 対 ，対応 B 含 放物型部分群 Levi分解 PΘ= MΘNΘ ．（T ⊂ MΘ ．）WΘ ⊂ W MΘ Weyl群 ．逆 ，B 含 放物型部分群 P = M N 対 ，対応 Π 部分集合 ΠM 書 ．P 反対 位置 放物型部分 群 P = M N ．red : K = G(O) → G(κ) O → κ 導 射影 ．1 自明 表現 表 ． 以下，単 表現 法p表現， Fp上 表現 考 ．π G 表現 ， K 既約 部分表現V 含 ．V 誘導表現c-IndGK(V ) 次 定義 ． c-IndGK(V ) ={f : G → V | f(gk) = k−1f (g) (g∈ G, k ∈ K)，f 台 }. K 開 ，c-IndGK(V )≃ Fp[G]⊗Fp[K]V 成 立 ． 従 ，Frobenius相互律
HomK(V, π)≃ HomG(c-IndGK(V ), π)
得 ．特 π 既約 ，全射c-IndGK(V )→ π 得 ． 以上 議論 ，K 既約表現V 対 ，c-IndGK(V ) 構造 重要 ． ，K 既約表現 分類 述 ．p群 Fp上 既約表現 自明表現 ， p群 既約表現 自明表現 ． ，Ker(red) p群 ，K 既約表現 全 red 経由 ． ，有限群G(κ) 既約表現 分類 ．以下 ， ［CL76］ ．K 表現V 対 ，不変部分VU (O) 余不変部分VU (O) VU，VU 略記 ． 定理2.1 （1） V G(κ) 既約表現 ，dim VU = dim V U = 1． （2） G(κ) 既約表現 ，集合{(ν, Θ)} 一対一 対応 ． ν T (κ) 指標 ，Θ {α ∈ Π | ν ◦ ˇα = 1} 部分集合 ． 対応 既約表現V 対 ν = VU， WΘ = StabW(VU) 与 ．
V1, V2 K 既約表現 ，HG(V1, V2) = HomG(c-IndGK(V1), c-IndGK(V2)) ．Frobenius
相互律 空間 {φ : G → HomFp(V1, V2)| φ(k1gk2) = k1φ(g)k2 (g∈ G, k1, k2∈ K)，φ 台 } 自然 同型 ． 空間 基底 求 ．X∗,+ 支配的 余指標全体 ，Cartan 分解 G = ⨿λ∈X∗,+Kλ(ϖ)K ，supp φ ⊂ Kλ(ϖ)K φ 考 ． φ φ(λ(ϖ)) 定 ．Πλ = {α ∈ Π | ⟨α, λ⟩ = 0}，Pλ = PΠλ ， Pλ = MλNλ Levi分解 ． ，Mλ(O) 元 λ(ϖ) 可換 ．従 φ(λ(ϖ)) Mλ(O)同変 ． ，λ 支配的 red(λ(ϖ)−1Nλ(O)λ(ϖ)) 自明．
n∈ Nλ(O) 対 φ(nλ(ϖ)) = φ(λ(ϖ)) ．従 ，φ(λ(ϖ)) : V1→ V2 (V2)Nλ ,→ V2 経由 ．同様 ，V1↠ (V1)Nλ 経由 ． ，φ(λ(ϖ)) 適当 Mλ(O)同変 射 (V1)Nλ → (V2) Nλ V 1 ↠ (V1)Nλ → (V2) Nλ ,→ V 2 与 ．一方，次 事実 知 ． 補題2.2 V K 既約表現，P = M N 放物型部分群 ，VN ≃ VN 既約M (O) 表現． 以上 ，次 ． 補題2.3 λ∈ X∗,+ Mλ(O)表現 (V1)Nλ ≃ (V2)Nλ 満 ， 限 supp φ = Kλ(ϖ)K φ∈ HG(V1, V2) ，定数倍 除 一意的 存在 ． HG(V1, V2) 基底 求 ．特 ，T (O)表現 (V1)U ̸≃ (V2)U HG(V1, V2) = 0 ．合成 込 構造 次 佐武変換 明 ． 定義2.4 佐武変換SG:HG(V1, V2)→ HT((V1)U, (V2)U) (SG(φ))(t) = proj◦ ∑ u∈U(O)\U(F ) φ(ut) 定 ． ，proj : V2→ (V2)U 自然 射影 ． 標数0 場合 佐武変換 比 ， 関数 項 注意 ．Fp 値 Haar測度 存在 ， 関数自体 存在 ． 補正 存在 ，上 射 B 依 注意 ． 定理2.5（［Her, Proposition 6.3］） SG 合成 整合的 ，単射． 合成 整合性 容易 ．単射性 互 基底 変換 上半三角行列 従 ． T 可 換 ，HT((V1)U, (V2)U) 簡 単 構 造 持 ． ，(V1)U (V2)U 同 型 0 ．同 型 場 合 ，HT((V1)U, (V2)U) = {φ : T → (V1)U | φ(tt0) = t0φ(t) (t∈ T, t0∈ T (O))，φ 台 } ，(λ, t0) 7→ λ(ϖ)t0 同型X∗× T (O) ≃ T 得 ，HG((V1)U, (V2)U)≃ Fp[X∗] ． 特 V1= V2 時 考 ．HG(V ) =HG(V, V ) ．佐武変換 ， HT(VU) 部分代数 ．特 可換 注意 ．像 以下 ．
定理 2.6（［Her11, Theorem 1.2］） Im(SG:HG(V ) → HT(VU)) = Fp[X∗,+]．特
HT(VU) HG(V ) 局所化 ．
例2.7 G = GL2，V 自明表現 ．t = diag(ϖ, 1) ．佐武変換SG Z上 考 ．T ∈ HG(V ) supp T = KtK，T (t) = 1 ，SG(T ) = τt+ qτt−1 ． t′∈ T 対 ，τt′ ∈ HT(VU) supp τt′ = t′T (O)，τt′(t′) = 1 ． 従 ，法p還元 ，SG(T ) = τt∈ Fp[X∗,+] ．一方，δ 関数 ，δ(t) = q−1 δ(t)−1/2SG(T ) = q1/2τt+ q1/2τt−1 ， W 不変 （古典的 佐武対応）． 上記例 ，W 不変 元 与 古典的 佐武対応 関数 補正 外 ，各 Weyl 部屋毎 別々 q 冪 ，支配的 元 q冪 小 ，従 以外 項 法p還元 消 ， 様子 観察 ． 様子 見 ， 古典的 佐武対応 明示式 加藤・Lusztig公式［Kat82］ ，今 場合 佐武対応 明示 式 得 ．τλG ∈ HG(V ) supp τλG = Kλ(ϖ)K τ G λ(λ(ϖ)) V ↠ VNλ ≃ V Nλ ,→ V 与 ．（ ，VNλ ≃ VNλ VNλ ,→ V ↠ V Nλ 逆写像 ．）Θ⊂ Π µ1, µ2∈ X∗ 対 ，µ1≤Θµ2 µ2− µ1∈ Z≥0Θ 定 ． 補題2.8（［Her, Proposition 5.1］） V (ν, Θ) 対応 ，λ∈ X∗,+ 対 τλT =∑µSG(τµG)， 和 µ∈ X∗,+, µ≤Θλ µ 走 ． 定義2.9 π G 表現 ．χ :Fp[X∗,+]→ Fp π 佐武 ， K 既約表現V 存在 ，HomG(c-IndKG(V )⊗HG(V )χ, π)̸= 0 ．S(π) π 佐武 全体 表 ． 注意2.10 S(π) 右HG(V )加群HomG(c-IndGK(V ), π) 一次元HG(V )部分加群全体 一 致 ．π 認容的， 任意 開部分群K′ 対 dim πK′ <∞ 満
，HomG(c-IndGK(V ), π) ≃ HomK(V, π) 有限次元 ． ，HG(V ) 可 換 ，π 認容的 S(π) ̸= ∅ ． B⊂ P = MN 放物型部分群 ． ，部分佐武変換SM G :HG(V )→ HM(VN) SMG(φ)(m) = proj◦ ∑ n∈N(O)\N(F ) φ(nm) 定義 ．次 補題 証明 簡単． 補題2.11 SM ◦ SGM = SG 成 立 ．特 SGM 単射． 定義2.12 π G 既約表現 ．任意 χ∈ S(π) 任意 放物型部分群P = M N ⊊ G 対 ，χ HG(V ) ,→ HM(VN) 経由 ，π (K, B, T ) 関 超特異 言 ． ，任意 (K, B, T )（ K 極大 部分群 動 ，B, T Borel部分群 極大 動 ） 関 超特異 ，単 超特異 呼 ．
既 述 ，本論 目的 既約認容表現 分類 既約認容超尖点表現 分類 帰着 ． ，実際 既約認容超尖点表現 ，既約認容超特異表現 分類 帰着 ． ， 定理 系 ，超特異性 (K, B, T ) ， 超尖点的 同値 従 ．
3
誘導表現 放物型誘導表現
P = M N 放物型部分群 ．以下（部分）佐武変換 用 ，常 HG(V ) ⊂ HM(VN)⊂ HT(VU) 見 ．定理3.1（［Her, Theorem 3.1］） Stab(VU)⊂ WM ． ，G HM(VN)
作用 可換 同型 c-IndGK(V )⊗HG(V )HM(VN)≃ Ind G P(c-Ind M M∩K(VN)) 存在 ． 簡単 証明 述 ． Stab(VU) ⊂ WM 仮定 ． 写像 与 ． Frobenius相互律 ，次 成 立 ．
HomG(c-IndGK(V ), Ind G P(c-Ind
M
M∩K(VN)))≃ HomK(V, IndGP(c-Ind M
M∩K(VN)))
≃ HomP∩K(V, c-IndMM∩K(VN))≃ HomM∩K(VN, c-IndMM∩K(VN))
≃ HomM(c-IndMM∩K(VN), c-IndMM∩K(VN)) =HM(VN).
両辺 右HG(V )左HM(VN) 加群 注意 ．同型 作 方 左 HM(VN)加群 同型 ．一方，SGM 定義 上 同型 作 方 ，右HG(V ) 加群 同型 示 ［Her, Lemma 2.14］． ，HM(VN) 可換 ，次 ． 補題3.2 任意 G準同型c-IndGK(V )→ Ind G P(c-Ind M M∩K(VN)) HG(V )加群 準同 型 ． 1∈ HM(VN) 対応 準同型Φ′0: c-Ind G K(V )→ Ind G P(c-Ind M M∩K(VN)) 考 ．補題3.2 ， Φ0: c-IndGK(V )⊗HG(V )HM(VN)→ Ind G P(c-Ind M M∩K(VN)) 与 ．単射性 自 動的 従 ． 補題3.3 任意 G準同型c-IndGK(V )→ Ind G P(c-Ind M M∩K(VN)) 単射 ．特 （HM(VN) HG(V ) 局所化 ）Φ0 単射．
証明 与 Φ : c-IndGK(V )→ IndGP(c-IndMM∩K(VN)) 対応 元φ∈ HM(VN) ． 単射 ，V′ Ker Φ 部分既約K表現 ，V′,→ c-IndGK(V ) Ψ : c-IndGK(V′)→ c-IndGK(V ) 得 ，Φ◦ Ψ = 0 ．ψ∈ HG(V′, V ) Ψ 対応 元 ，ψ̸= 0．
，佐武変換 SG(ψ)∗ SG(φ) = 0． 等式 HT((V′)U, VU)≃ HT(VU)内 等式 ， 環 整域 ，SG(φ) = 0． φ = 0． 矛盾 ． 全射性 示 ．0 元v0 ∈ VU ，[1, v0] ∈ c-IndGK(V ) supp([1, v0]) = K [1, v0](1) = v0 元 ． ，直接計算 次 示 ． 補題3.4 StabW(VU)⊂ WM ．N (O) ⊂ N ≃ NP/P ⊂ G/P 見 ， Φ0([1, v0])(x) = { [1, proj(v0)] (x∈ N(O)), 0 （ 他）. ，proj : V → VN 自然 射影 ． f ∈ IndGP(c-Ind M M∩K(VN)) 与 ，f ∈ Im Φ0 示 ．f N (O)内 台 持 関数 G 元 作用 和 書 ． supp(f )⊂ N(O) ．N (O) 原点 基本近傍系 tN (O)t−1 (t ∈ T ) ，f 集合 台 持 上 定数 関数 ，N (O) 元 作用 和 ． f N (O)上 値 一定 関数 ． ，f ∈ Im Φ0 [1, proj(v0)] M 表現 c-IndMM∩K(VN) 生成 ，上 補題 従 ．
4
変換定理
定理3.1 Stab(VU) ⊂ W M 条件 ．特殊 場合 ， 条件 満 V 取 替 ． 次 述 変換定理 ．命題4.1（［Her, Corollary 6.10］,［Abe11, Theorem 4.1, Proposition 4.7］） V, V′ K 既約表現 ， α ∈ Π 存在 ， (ν, Θ∪ {α})，(ν, Θ) 対応 （α̸∈ Θ）．χ :Fp[X∗,+]→ Fp 1次元Fp[X∗,+]加群 ，放物型部分群P = M N ，χ HM(VN)⊃ HG(V )≃ Fp[X∗,+] 拡張 最小 ． （1） α̸∈ ΠM ．⟨ΠM, ˇα⟩ ̸= 0 χ(ταˇM) ̸= 1（⟨ΠM, ˇα⟩ = 0 αˇ M 関 支配的 ） ，c-IndGK(V )⊗HG(V )χ≃ c-Ind G K(V′)⊗HG(V′)χ． （2） P = B ． c-IndGK(V )⊗HG(V )χ 有限 長 持 ， 組成列全体 c-IndGK(V′)⊗HG(V′)χ 一致 ． 注意4.2 条件 ，StabW((V′)U) StabW(VU) 小 ． 注意 4.3 （2） ，χ HG(V ) → HT(VU) 経由 ，少 組成列 考 限 自由 V 変換 意味 ． 定理 3.1 用 ， c-IndGK(V )⊗HG(V )χ 組成列 適当 B 放物型誘導表現 一致 ． ，χ HT(VU) 拡張 ，c-IndKG(V )⊗HG(V )χ 長 無限 得 ． （1） 証明 概略 次 通 ． λ∈ X∗,+ ⟨λ, Π \ {α}⟩ = 0 ⟨λ, α⟩ ̸= 0
． ，補題2.3 φ∈ HG(V, V′) φ′ ∈ HG(V′, V ) supp φ = supp φ′ =
Kλ(ϖ)K 定数倍 除 一意的 存在 ．岩堀分解 用 計算 次 示 ．
補題4.4（［Abe11, Lemma 4.3］） supp(φ′∗ φ) = Kλ(ϖ)2K． 補題 補題2.8 SG(φ′∗ φ) = τ2λT − τ
T
2λ−ˇα ． 命題4.1
（1） 従 ．
命題4.1（2） 次 （1） 証明 議論 従 ．（ ，［CG97, Lemma 2.3.4］．） 補題4.5（［Abe11, Proposition 4.20］） c-IndGK(V )⊗HG(V )HT(VU) HT(VU)加群
自由 ．
注意4.6 Barthel-Livn´e［BL94, Theorem 19］ G = GL2 場合 c-IndGK(V )自身 HG(V )
加群 自由 示 ． 定理3.1 用 ，補題4.5 V 一次元 場合 帰着 ，簡単 議論 V 自明表現 場合 帰着 ．VΘ (1, Θ) 対応 K 既約表現 ． ，命題 4.1（1） 証明 議論 ，α ∈ Π \ Θ c-IndGK(VΘ) ,→ c-IndGK(VΘ∪{α}) 得 ．合成 ，c-IndGK(1)⊗HG(1)HT(1) ,→ c-Ind G K(VΠ)⊗HG(VΠ)HT(1)≃ Ind G B(HT(1)) 得 ． ，最後 同型 定理3.1 ．Bruhat分解G/B =∪w∈W BwB/B 用 ， X≥w = {f ∈ IndGB(HT(1)) | supp f ⊂ ∪ v≥wBvB/B} ．X>w 同様 定義 ，Y≥w， Y>w 上 写像 c-IndGK(1)⊗HG(1)HT(1) 像 X≥w，X>w 共通部分 ． 補題4.7（［Abe11, Lemma 4.19］） Y≥w/Y>w= ∏ α∈Π,wsα<w(τ T ˇ α − 1)(X≥w/X>w)． X≥w/X>w BwB/B上 局所定数関数全体 同型 ，特 HT(1)加群 自由 ．従 補題 Y≥w/Y>w 自由 ，補題4.5 従 ．
5
分類定理
B⊂ P = MN 放物型部分群 ，σ M 既約認容超特異表現 ，IndGP σ 考 ， 一般 既約 次 ．P = B，σ = 1 場合 考 ． ，任意 放物型部分群P ⊃ B 対 ，IndGP 1 IndGB1 部分表 現 ．（ 既約 得 ．） ，一般Steinberg表現SpP 次 定義 ． SpP = IndGP 1 / ∑ P⊊Q IndGQ1 .定理5.1（Große-Kl¨onne［GK］, Herzig［Her］） SpP 既約 ，{SpP} Ind G B1
一般 場合 述 ．Π1⊂ Π 部分集合 ，P1= M1N1 対応 放物型部分群，σ1 M1 既約認容超特異表現 ． ，σ1 中心指標 持 ． ωσ1: Z(M1)→ F × p ．α ∈ Π ⟨Π1, ˇα⟩ = 0 満 ． 条件 ，Im ˇα M1 中心 入 同値 ，従 ωσ1◦ ˇα 考 ．Πσ1={α ∈ Π | ⟨Π1, ˇα⟩ = 0, ωσ1◦ ˇα = 1} ． P = M N Π1∪ Πσ1 対応 G 放物型部分群 ．次 事実 示 難 ． 補題5.2（［Abe11, Lemma 3.2］） MΠσ1 導来群 自明 作用 σ1 M 拡 張 一意的 存在 ． Π2⊂ Πσ1 対 ，Q⊃ P ∩ M Π1∪ Π2 対応 M 放物型部分群 ．M 表 現σ σ = IndMQ(σ1) / ∑ Q⊊Q′ IndMQ′(σ1) 定 ，I = IndGP(σ) 置 ．結論 言 ， I 全 既約 ，Π2 動 ， IndGP1(σ1) 組成列全体 与 ． ，SpM,Q Q 対応 M 一般Steinberg表現 ，σ = σ1⊗ SpM,Q 書 容易 ． ，Sp 既約性 用 ， σ 既約 ［Abe11, Lemma 5.2］． 少 記号 整理 ．P = {Λ = (Π1, Π2, σ1)} 次 組Λ = (Π1, Π2, σ1)全体 ． • Π1⊂ Π. • P1= M1N1 Π1 対応 放物型部分群 ，σ1 M1 既約認容超特異表現． • Π2⊂ Πσ1． ，上記 構成 P = M N，σ，I PΛ = MΛNΛ，σΛ，I(Λ) 書 ．Λ = (Π1, Π2, σ1) Λ′ = (Π′1, Π′2, σ1′) 等 ，Π1 = Π′1，Π2 = Π′2 σ1≃ σ1′ ．
定理5.3（［Abe11, Theorem 5.10］） Λ∈ P 対 I(Λ) 既約 認容 ，Λ7→ I(Λ)
P G 既約認容表現 同型類全体 全単射 導 ． 注意5.4 少 複雑 構成 ，G = GLn 場合 放物型部分群 Levi部分群 GL 直積 事情 少 簡単 ． 証明 概略 述 前 ， 系 述 ．次 I(Λ) 既約性 従 ． 系5.5 B ⊂ P = MN 放物型部分群 σ M 超特異表現 ，IndGP(σ) 有限 長 持 組成列 {I(ΠM, Π2, σ)| Π2⊂ Πσ}（重複度自由）． 定理 全射性 任意 既約表現π 適当 超特異表現 放物型誘導表現 部分商 得 主張 ．従 上 併 次 成 立 ． 系5.6 放物型部分群P = M N M 既約認容表現σ 対 ，IndGP(σ) 長 有限．
I(Λ) 佐武 ，σ1 計算可能 ．一方，HG(V ) 構造 σ1 佐 武 中心指標ωσ1 決 示 ．特 #S(σ1) = 1 ，従 #S(I(Λ)) = 1 ． 次 ． 系5.7（［Abe11, Corollary 5.11］） 既約認容表現π 対 ，#S(π) = 1． S(I(Λ)) 具体的記述 ，既 述 次 系 従 ． 系5.8（［Abe11, Corollary 5.12］） π 既約認容表現 ．π (K, B, T ) 関 超 特異 ，π 超尖点 同値 ． ，超尖点性 (K, B, T ) 取 方 依 ，超特異性 (K, B, T ) 取 方 依 ． ，定理5.3 概略 述 ． I(Λ) 既約性 示 ．π⊂ I(Λ) 0 部分表現 ，π 認容的 S(π) ̸= ∅．一方既 述 #S(I(Λ)) = 1 ，
S(π) = S(I(Λ))．χ ∈ S(I(Λ)) ．V ⊂ π 既約表現 ，c-IndGK(V )⊗HG(V )χ →
π→ I(Λ) = IndPΛ(σΛ) ．命題4.1（1） 用 StabW(V
U) 小 ，χ 具体的 記述 ，P = PΛ 定理3.1 用 ． ， σ′= c-IndMΛ MΛ∩K(VN)⊗HMΛ(VN)χ c-Ind G K(V )⊗HG(V )χ≃ Ind G PΛ(σ ′) ． IndGPΛ(σ ′)→ π ,→ IndG PΛ(σΛ) 得 ． ，次 事実 注意 ．
補題5.9（Vign´eras［Vig08, Corollarie 7］） P = M N 放物型部分群 Levi分解 ．M 表現σ1, σ2 対 ，HomM(σ1, σ2)≃ HomG(IndGP(σ1), IndGP(σ2))．
従 ，上 射 合成 適当 σ′ → σΛ 得 ，σΛ 既約 全射． IndGPΛ(σ ′)→ IndG PΛ(σΛ) 全射 ，π = I(Λ) ． 単射性 示 ．既 述 #S(I(Λ)) = 1 ， 唯一 元 具体的記述 ， PΛ 特定 ． ，I(Λ) ≃ I(Λ′) PΛ = PΛ′ ．補題5.9 σΛ≃ σΛ′ ，σΛ 構成 Λ = Λ′ 示 ． 最後 全射性 #Π 関 帰納法 示 ．I(Λ) 既約性 得 系5.5 ，任意 既約認容表現π 適当 超特異表現 誘導 部分商 示 ．適当 V, χ 対 全射c-IndGK(V )⊗HG(V )χ → π 存在 ．χ 放物型部分群P = M N 対 HG(V ) → HM(VN) 経由 ． χ 取 替 P = G 得 ，π 超特異 ，示 ． P ̸= G 良 ． 定
理3.1 StabW(VU) 関 条件無 使 ，IndGP(c-Ind M M∩K(VN)⊗HG(VN)χ) ≃ c-IndGK(V )⊗HG(V )χ→ π ， 適当 M 既約表現σ 対 全射Ind G P(σ)→ π 存在 示 ［Her, Lemma 9,9］．帰納法 ，σ 適当 超特異表現 誘 導 部分商 ，π ． ，定理3.1 自由 使 ．V (ν, Θ) 対応 ，Θ 最 小 V ．（WΘ= StabW(VU) ，StabW(VU) 最 小 同値 ．）ΠM∪Θ ̸= Π ，ΠM∪ Θ 対応 放物型部分群 対 定理3.1 適用 ，帰納法
証明 簡潔 ． ΠM∪ Θ = Π 良 ．P′= M′N′ Π\ ΠM 対応 放物型部 分群 ． ，Θ 最小性 ，命題4.1（1） ⟨ΠM, Θ⟩ = 0， ⟨ΠM, ˇΠM′⟩ = 0 ． ， G≃ M × M′ ．（ 不成立 ，以下簡単 思 ．正当化 少 議論 必要 ． ，G GL 直 積 場合 M M′ GL 直積 ． ，Levi部分群 GL 直積 ，帰納法 進行 ．） 分解 応 π≃ π1⊗ π2 分解 ．χ HG(V )→ HM(VN) 経由 ，Hecke環 HG(V )≃ HM(V1)⊗HM′(V2) 分解 ，χ = χ1⊗χ2 分 解 ，χ2 HM′(V2)→ HT((V2)M′∩U) 経由 ． 注意4.3 π2 適当 M′∩ B 誘導表現 部分商 ，π P 誘導表現 部分商．帰納法 証明 完結 ．
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