有理化（中学校で習った）
分母から √
をなくすことを ゆう有 理 り 化 という。か
★ × ★ = ★ = ★
を利用する（ √
と 2 は ＋と ー のようなもの なので、同時に出てくるとキャンセルされます）
有理化（中学校で習った）
分母から √
をなくすことを ゆう有 理 り 化 という。か
√ ★ × √
★ = √
★
2= ★
を利用する（ √
と 2 は ＋と ー のようなもの
中学校の有理化（その 1）
√1 2
= 1× 2
√2×√
2 = 2 2 (√
2 × √
2 = 2 です)
中学校の有理化（その 1）
√1
2 = 1×√
√ 2
2×√ 2
=
√2 2 (√
2 × √
2 = 2 です)
√1
2 = 1×√
√ 2
2×√
2 =
√2 2 (√
2 × √
2 = 2 です)
中学校の有理化（その 2） 6√
2 5√
3
= 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2／6 √ 6 5 ×／3 1
= 2√ 6 5
中学校の有理化（その 2） 6√
2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√ 3
= 6 6 5 × 3
=
2／6 √ 6 5 ×／3 1
= 2√ 6 5
中学校の有理化（その 2） 6√
2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2／6 √ 6 5 ×／3 1
= 2√ 6 5
中学校の有理化（その 2） 6√
2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2／6 √ 6 5 ×／3 1
= 2 6 5
中学校の有理化（その 2） 6√
2 5√
3 = 6√
2×√ 3 5√
3×√
3 = 6√ 6 5 × 3
=
2／6 √ 6 5 ×／3 1
= 2√ 6 5
( ○＋□ )( ○−□ ) = ○
2− □
2( ○−□ )( ○＋□ ) = ○
2− □
2を利用する
有理化（高校で習う）
√ △
○＋√
□ =
△ (√
○−√
□) (√
○＋√
□)(√
○−√
□)
＋のときは−をかけ算する
√ △
○＋√
□ = △ (√
○−√
□) (√
○＋√
□)(√
○−√
□)
＋のときは−をかけ算する
有理化（高校で習う）
√ △
○−√
□ =
△ (√
○＋√
□) (√
○−√
□)(√
○＋√
□)
−のときは＋をかけ算する
√ △
○−√
□ = △ (√
○＋√
□) (√
○−√
□)(√
○＋√
□)
−のときは＋をかけ算する
高校の有理化（その 1）
√ 1
7 + √ 2
= 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その 1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
= 7 − 2
(√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その 1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2 =
√7 − √ 2 5
高校の有理化（その 1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
=
√7 − √ 2 7 − 2
= 7 − 2 5
高校の有理化（その 1）
√ 1
7 + √
2 = 1 × (√
7 − √ 2) (√
7 + √
2)(√
7 − √ 2)
=
√7 − √ 2 (√
7)2 − (√ 2)2
√7 − √
2 √
7 − √ 2
高校の有理化（その 2）
√ 2
6 − √ 2
= 2( 6 + 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その 2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その 2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2( 6 + 2)
6 − 2 = 2( 6 + 2) 4
高校の有理化（その 2）
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2 2(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) 4
√ 2
6 − √
2 = 2(√
6 + √ 2) (√
6 − √
2)(√
6 + √ 2)
= 2(√
6 + √ 2) (√
6)2 − (√ 2)2
= 2(√
6 + √ 2)
6 − 2 = 2(√
6 + √ 2) 4
高校の有理化（その 2）
= 2(√
6 + √ 2) 4
=
1／2 (√
6 + √ 2)
／4 2
=
√6 + √ 2 2
高校の有理化（その 2）
= 2(√
6 + √ 2)
4 =
1／2 (√
6 + √ 2)
／4 2
= 6 + 2 2
高校の有理化（その 2）
= 2(√
6 + √ 2)
4 =
1／2 (√
6 + √ 2)
／4 2
=
√6 + √ 2 2
高校の有理化（その 3）
√5 − √
√ 3
5 + √ 3
= ( 5 − 3)( 5 − 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2√ 15 5 − 3
高校の有理化（その 3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2√ 15 5 − 3
高校の有理化（その 3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2
= 8 − 2 15 5 − 3
高校の有理化（その 3）
√5 − √
√ 3
5 + √
3 = (√
5 − √
3)(√
5 − √ 3) (√
5 + √
3)(√
5 − √ 3)
= 5 − √
15 − √
15 + 3 (√
5)2 − (√ 3)2 8 − 2√
15
高校の有理化（その 3）
= 8 − 2√ 15 5 − 3
= 8 − 2 15 2
=
4／8 − 1／2 √ 15
／2 1
= 4 − √ 15
高校の有理化（その 3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4／8 − 1／2 √ 15
／2 1
= 4 − √ 15
高校の有理化（その 3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4／8 − 1／2 √ 15
／2 1
= 4 − 15
高校の有理化（その 3）
= 8 − 2√ 15
5 − 3 = 8 − 2√ 15 2
=
4／8 − 1／2 √ 15
／2 1
− √
高校の有理化（その 4）
√3 − √ 2 3 − √
5
= ( 3 − 2)(3 + 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
高校の有理化（その 4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
高校の有理化（その 4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2
= 3 3 + 15 − 3 2 − 10 9 − 5
高校の有理化（その 4）
√3 − √ 2 3 − √
5 = (√
3 − √
2)(3 + √ 5) (3 − √
5)(3 + √ 5)
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 32 − (√
5)2 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10
高校の有理化（その 4）
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
= 3 3 + 15 − 3 2 − 10 4
高校の有理化（その 4）
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 9 − 5
= 3√
3 + √
15 − 3√
2 − √ 10 4
