工業数理基礎(J)［材料と容積］ 1
材料 材料
材料 材料と と と 容積 と 容積 容積( 容積 ( ( 微分 ( 微分 微分 微分 ) ) ) )
(大学入試センター試験2007) 年次 組 番・氏名第1問 問2 図のように、横x[cn]、縦y[cm]の長方形の鋼板がある。網掛け部分を切り 取り、点線で折り曲げて、ふたのない正四角柱の容器を作る。このとき、鋼板の寸法と容 器の容積の関係について考えてみよう。なお、鋼板の厚さは考えないものとする。
容器の底面積は キ [cm2]、容器の高さは [cm]であるから、
容器は－ ク [cm3]となる。ここで、使用する長方形の鋼板の面積を a[cm2]とし、a を一定とする。このとき、a=xyの関係が成り立つことから、容積をxの関数f(x)で表すと、
f(x)は次の式のようになる。
ク x 0 (2)
次に、f'(x)の増減を調べるため、式(2)をxについて微分し、整理すると次のようになる。
ケ 2 2 (3)
f'(x)の値の符号を考えることにより、f(x)は0 2 のとき単調増加、 2 のと
き単調減少であることがわかる。したがって、f(x)は 2 のとき最大値をとる。また、
a=xyであるから、f(x) が最大値をとるときのxとyの比率は、x:y=4: コ となり、この 比率のとき同じ面積の鋼板で最も容積の大きな容器を製作できる。このとき、切り取った 網掛け部分の面積は、鋼板全体の面積の サシ %である。
キ ～ ケ 0 4 1 16 2 64 3 4 4 16
5 64 6 4 7 16 8 64
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解説 正四角柱の容器を製作するのだから、鋼板5は正方形である。この正方形の1辺の 長さはxの であるから、面積は × となる。 キ 4
この容器の高さは問題に示されているように、 であるから「容積(体積) = 底面積
×高さ」より、次のようになる。
容積 × % & ' ク 8
また、a = xyの関係を利用すると上の式は問題の式(2)に示されている式になる。
' '
(2)
f(x)=x3をxで微分するとf’(x)=3x2となる。f(x)=xをxで微分するとf’(x)=1となる。よって、
式(2)を微分すると次のようになる。
ケ 1
% × × & % × & % &
( ( ( より
) * ) * 2 2
f’‘(x)の符号からf (x)の増減を考える。
x = 0のとき、 は負、 2 は負、 2 は正で、この3つの掛け算は、
負×負×正=正となる。これを「負負正=正」と表す。
x 0 1 2 2+ /3 3 4
f ‘(x) 負負正
=正
負負正
=正
負負正
=正
負零正
=零
負正正
=負
負正正
=負
f (x) 単調増加 最大 単調減少
容積が最大となるxは、 2
、
であるから、 より次のようにyを求め る。2 3
× 3 2 3 × 3
× 32
3 ) × 3* ÷2
3 ) × 3* × 3
2 3
2 3
: 2 ∶ xとyを で割る。
: 2 ∶ xとyに2をかける。
: 4 ∶ 3 xとyに2をかける。 コ 3
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網掛け部分の面積は鋼板5の3倍である。鋼板5の面積は次のようになる。
鋼板5の面積
) 0'* 10
' ×
網掛け部分 3 ×
鋼板全体の面積はa=xyであるから、網掛け部分は全体の1/4(25%)となる。 サシ 25 (別解) xとyの比が4:3であるから、x=4, y=3で考えると鋼板5の1辺の長さは1となり、
鋼板5の面積は1である。よって、網掛け部分の面積は3となる。全体は4×3=12であ るから、網掛け部分の割合は と求められる。 0.25, 0.25 × 100 25%。
