線形代数学2 No.1 2005. 9.21
1. ベクトル空間 1.1 ベクトルの一次従属・一次独立
担当：市原問題1 一次独立か,一次従属かを判定しなさい．
(1) 1
2
!
, −1
1
!
1次関係式c1
1 2
!
+c2 −1 1
!
= 0
0
!
=より,
( c1−c2= 0 2c1+c2= 0
この連立方程式を解くと,c1= 0, c2= 0.よって, 1 2
!
, −1
1
!
は一次独立.
(2) 0 B@
1
−1 2
1 CA,
0 B@
−1 1
−1 1 CA,
0 B@
0 0 2
1 CA
−2 0 B@
1
−1 2
1 CA−2
0 B@
−1 1
−1 1 CA+
0 B@
0 0 2
1 CA=
0 B@
0 0 0
1 CAより,
0 B@
1
−1 2
1 CA,
0 B@
−1 1
−1 1 CA,
0 B@
0 0 2
1
CAは一次従属.
(3) 0 BB BB
@ 1 1 0 0
1 CC CC A,
0 BB BB
@ 0 1 1 0
1 CC CC A,
0 BB BB
@ 0 0 1 1
1 CC CC A,
0 BB BB
@ 1 0 0 1
1 CC CC A
0 BB BB
@ 1 1 0 0
1 CC CC A−
0 BB BB
@ 0 1 1 0
1 CC CC A
+ 0 BB BB
@ 0 0 1 1
1 CC CC A−
0 BB BB
@ 1 0 0 1
1 CC CC A
= 0 BB BB
@ 0 0 0 0
1 CC CC A
より, 0 BB BB
@ 1 1 0 0
1 CC CC A ,
0 BB BB
@ 0 1 1 0
1 CC CC A ,
0 BB BB
@ 0 0 1 1
1 CC CC A ,
0 BB BB
@ 1 0 0 1
1 CC CC A
は一次従属.
問題2 一次独立な3本のベクトルの組の例をつくりなさい.
例えば，
0 BB BB
@ 1 1 0 0
1 CC CC A ,
0 BB BB
@ 0 1 1 0
1 CC CC A ,
0 BB BB
@ 0 0 1 1
1 CC CC A
問題3 ベクトル 0 BB BB
@ 4
−5 6
−7 1 CC CC
Aを基本ベクトルを用いて表しなさい.
0 BB BB
@ 4
−5 6
−7 1 CC CC A=
0 BB BB
@ 4 0 0 0
1 CC CC A+
0 BB BB
@ 0
−5 0 0
1 CC CC A+
0 BB BB
@ 0 0 6 0
1 CC CC A+
0 BB BB
@ 0 0 0
−7 1 CC CC A
= 4 0 BB BB
@ 1 0 0 0
1 CC CC A−5
0 BB BB
@ 0 1 0 0
1 CC CC A+ 6
0 BB BB
@ 0 0 1 0
1 CC CC A−7
0 BB BB
@ 0 0 0 1
1 CC CC
A= 4e1−5e2+ 6e3−7e4
