離散的空間における BPS ブラックホールのモデル

離散的空間における BPS ブラックホールのモデル

岐阜工業高専 菅 菜穂美 山口大院理工 小林孝一朗 山口大院理工 白石 清 

 電荷と質量が特別な関係にあるソリトンは，弦理論におけるブ ラックホールやブレーンを表す解として調べられている。この ような解の多くは、調和関数すなわちラプラス方程式を満たす 関数で表される。一方，離散的構造を持つ場の理論は，紫外発 散を避けるモデルなど多様な局面で考えられている。われわれ は，グラフラプラシアンをブラックホールやブレーンを記述す る方程式の一部として用いることによって，離散的構造および 対称性をもつ重力ソリトン解を構築する。これらと物質場の相 互作用を考察し，また理論の離散化の意義について探求する。

目次

§1. Introduction

§2. BPS Black Holes

§3. グラフラプラシアン

§4. BPS BH の離散化

§5. 離散化 BH の微分断面積

§6. Summary and outlook

§1. Introduction

広義の修正重力理論 or other theories of Gravity を考察する動機

  マクロ・・・宇宙 (論) スケールで？(Dark contents?) (origin of Inflation?)

高階微分，高次 元，スカラー-テンソル，ベクトル-テンソル，

DBI 型，Horndeski 型，Lifshitz，以下むにゃむにゃ・・・

massive gravity←場の理論として興味深い・実証？

  ←→bigravity・・・solution・どんな時空？

  ←→multigravity ← Deconstruction (離散化〜多元場)      ←→余次元 (コンパクト化，ブレーン)

ここでは，空間の離散化について考える。

 強い重力場で何か見えてくる？・・・BH solution が重要

構造的に単純 (つまらないわけではない) なのは

BPS BH or soliton←"string motivated"

harmonic fns.が解を与える

∂ 2 V=0

↓

方程式の離散化

↓

       solution→何が見えるか (ただし背後の理論＝？)

§2.  BPS Black Holes

ここでは一番簡単なもの (G. W. Gibbons and K.-I. Maeda, NPB298 (1988) 741,等)。 

action:    

(string theory) α＝１，scale tr.,→

 The BPS solution     ・

    ・     ・

場の方程式は

∂ 2 V ＝0

(mod delta fns.) where 

に帰着する。

§3. グラフラプラシアン

グラフ 頂点が辺で連結された集合 

0 1

2

3 4

5

C

6

 Deconstruction S 1 →C N

§4. BPS BH の離散化

∂ 2 V ＝0

ここで V をグラフ G(V,E) の頂点上の (離散化された) 関数 V_k としラプラシ アンを

とした類似の方程式に置き換える。 ここで

a

G

C N

L＝Na

N→∞,  a→0で周長 L

S 1

グラフラプラシアンの固有値と固有モード

，  を用いて

G＝C N 

方程式

0 1

2

3 4

5

  ここ (k=0) に source

d＝3のとき

μ∝質量∝電荷∝BH の大きさ

§5. 離散化 BH の微分断面積

どのように見えるのか？

d＝３次元空間のスカラー場の方程式から

ボルン近似による散乱振幅： 

q : 移行運動量

(最善の近似とは言えないが)

● massless scalar field in the "bulk"

KK zero mode

(ω＝p) ^とすると

離散化， : zero mode を選ぶ。

有効ポテンシャル： 

α

d＝3，G＝C N

N=6       N=30

Bulk Scalar

μ/(Na)＝1        μ/(Na)＝10

"余次元"全体の大きさ (Na) が小さければ 離散スケールは見えにくい。

● massless scalar field in the "brane"

k

(ω＝p) とすると  

ここで

ととり，d=3,

α＝1

d＝3，G＝C N

Brane Scalar

μ/(Na)＝1        μ/(Na)＝10

"余次元"全体の大きさ (Na) が小さくても

N 依存性が大きい。

§6. Summary and outlook

離散化された ("余次元"が

C

スカラーの種類により，Ｎ依存性が異なる。

Bulk Scalar・・・"KK" zero mode は最低次では１／ｒ型 (BH の展開のゼロモード) と のみ結合するため，Ｎ依存性は小さい。

Brane Scalar・・・BH の全モードと結合，Ｎ依存性は大きい。       

Stringy BPS BH(

α＝1

"グラフの次元"に依存しない

課題

0 1 2 3 4 5

〜S¹/Z₂ , S¹+S¹+・・・など (S¹×S¹=T²)

・頂点の weight〜Warped Space

・フラクタル (C. T. Hill, PRD67 (2003) 085004)

・理論 (action?) は何か

       ＿人人人人人人人人人人人人＿        

＞     "理論は何か"!   ＜  Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y 

実空間の離散化，ソリトンなど

(academic, mathematical な興味)

♪あまりにーも おばかさん？

Thank you!