靂一匠一望
2003年日本オペレーションズ。リサーチ学会 春季研究発表会離散的構造を持つ空間競争モデルにおけるBertrand−Nash均衡解の計算
01605850NTTコミュニケーションズ（株）＊松林伸生MATSUBAYASHINobuo
02004620慶応義塾大学
01605860慶応義塾大学
01400760慶応義塾大学
楠渾正史 UMEZAWAMasashi
増田靖 MASUDAY舶uShi
西野寿一 NISHINOHisakazu
皿 はじめに
本研究では、空間競争モデルとして古くから知 られているHotellingの複占モデルを発展させる。 同モデルにおける価格均衡（Bertrand−Na5h均衡） に関する研究は、特に経済学の分野で盛んに行わ れてきているが、計算の困難さゆえ、線分上での 解析【2】や企業の位置に対称性を仮定する【3Jなど、 限定された連続モデル上による解析が主であった。 これに対し、本研究では顧客が離散的に有限個の ノード上に分布していることを仮定した上で、全 ての均衡解を求めるアルゴリズムを提案する。そ して、利潤関数が有限個のpeakを持つ場合にはア ルゴリズムは線形時間で終了することを示す。 率でAとβが分け合うと仮定する。このとき、A とβの利潤関数はそれぞれ以下のようになる。 打力（tA，tβ）＝（亡A−CA）（∑た。qA恥（cたA＋tA）＋ α∑た∈Q。β恥（cたA＋fA））， 汀β（h，tβ）＝（亡β−Cβ）（∑粍Q89k（c柑＋亡β）＋ （1−α）∑k∈q購恥（c柑＋よβ））・3 B即七『amd閂Nas払均衡
才βが与えられたとき、穏（fβ）≡Cたβ−CたA＋ ￡β（た＝1，…，柁）と定める。島（fβ）＞‥．＞ 電（毎）となることに注意する。また、㌘（まβ）≡ n−aX（砥（tβ）≧cA）とする。同様にして、鴇（まA）， Jl七月）も定義する。すると、以下の関係が得られ る。（紙面の都合でAの側のみ記す。） Prop両tion3・lん電l‘」≧c一也nd（8≧cかm…dr鳥e一山山南ふy仏りi一間射i⊥ 乃占Jどユノ nbt（！3．1：Them lNo・ lTbere】Ationbe8叩en∼■and毎 l．（d） ‘1＜CJ 8 ￠ 〝 l．（ふ） CA≦‘■＜‘1 り，．・．り ￠ （f●十l，…，nl 1．（c） C月≦七月コち （1‥．，i′−1） （り （i′十1，…，¶I brきOmei’山，i●＞i’＞2 1・（d） c■≦q＜l月＜ら￣■ （1，…．i′−1） （i’．・・・，れ） 血ーきOmei−5．t．i●＞l′＞2 t・（e） C■≦l■＝‘1 8 lり 12．．‥．れ） 1・（／） CA≦lユ＜lA 8 〝2 モデル
同質なサービスを提供する2つの企業力とβを 考える。各々は限界費用cんCβを持ち、サービス の価格七月≧cんfβ≧cβを設定する。顧客は離散 的に托個のノード1，2，…，m上に配置されている とし、ノードたの顧客は、Aまたはβからサービ スを受けるために、正の移動費用cた力またはcたβ を支払うものとする。ここで、一般性を失うこと なくclβ−C川．＞‥・＞c几月一CれAを仮定する。い ま、鞠＝pた（tんtβ）＝TTlれ（cたパ＋tんCたβ−トtβ）と し、ノードたにおける需要関数（非負、連続、かつ 非増加な関数）を恥（pた）で与える。Aとβの商圏 を以下のように定義する。 Q月（亡んfβ）＝（神領＋tA＜cた月＋tβ），Qβ（f右tβ）＝川cたA＋上月＞cたβ＋tβ），
Q月β（七月，王β）＝（畔加＋亡月＝C用＋tβ）・ いま、た∈Qバβ（fんtβ）上の顧客はα：1−αの比 今、次のような一変数関数を定める。 石板）＝（fA−Cバ）∑主＝1恥（cたA＋土人い＝1，‥．，几， 升錘β）＝（【β−・C月）∑ご＝メ恥（c摘＋七月），ブ＝1，…，m， このとき、上記の関係を用いると、灯A（tんtβ）， 汀β（tんtβ）は下図のような区分連続関数として表 すことができる。（詳細はll】を参照。） 赫）・i▲lt．）i右） Ltt，） t． Fi即−り・＝小．lR）如か…Ib（nヨ4andi・（t9）モ】） −202− © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.次に、汀友と汀ものpea・kを定義する。
Definition3・1iisabeakoJ7Ti（h＝A，B，i去
1，…，乃）げ汀￡（わ ＞0α乃d班er℃e衰βね∂＞ 0βひC九兢d甘え（f）≧戒（りかαJgf∈（f−∂， 電及び砧（五＝1，・‥，m）を宛及び打左のpeakの 集合とする0さらに、斤左，tβと青も，t．を以下のよう に定める。 3・（Check2・（a）−iandiiiinTheorcm3．1 ）Fbreachi＾∈丁昔，ifi＾＜cnB−Cn＾＋cB， ∴and舶A）＝l讐監†加）lt∈帯，CβOrt＝
島），thenadd（（i＾，CB），（N，￠））toE． 4．IfE．＝軋thengotoStep2．Otherwise，gO t（）Step4． Step2 Fora11j＝1，・・・，n，iL：＝Cj＾−CjB＋c＾ とし、Steplと同様のプロセスを全てのfβ∈7法に 対し、実行。Step3R）ral叫んg8）∈亮×7甘1，J＝1，．‥，m−1，
doSteps3−1to3−4． 1．Forall宣＝1，．‥，mahdj±1，‥．，m， iL：＝CiB−Ci＾＋tBandち‥＝Cj＾一CjB＋t＾ 2・五●：＝maX（蝿≧c4），J●：＝min川毎≧CB）andconstruct71EBfbraui≦i●and
㍍んbralげ≦J・ 3・（Chec㌧2・・（c）−iinTheor㌣●3・1） If亀＜tA＜打1and砧＜t8＜な1， thengotoStep3−4．Otherwise，SkipStep 3−4． 4・（Check2・（c）−iiiinTheorem ． 島）and 柑1（iβ）＝苫‰（郁）lf∈巧ん0‖＝島），then add（（gんgβ），（（1，‥．，け，（J＋
1，∴・，可））to属！・Step4 Allelements ofE are equilibrium points， each representing both prlCeS and the market
areasofeachAand equilibriuminourmodel． 最後に、FINDEQの計算時間について以下の 定理にまとめる。 Theor？m4・1〝賀α乃d7笠α柁玩0肌α乃d紬 肌dl指lαp廟omねJれれかi＝1，‥・，m，Ue Cα花deとem削eひ納言乃pOJy托OmねJ亡fme銑e・eエ由ねnα げe叩盲加ゎumα托dβmdαJJe叩i舶h祝mphceβimひ九ic九 ふ0仇A肌dβeαmαpOβ五如ep†郎亡．
参考文献
【1】Matsubayashi，N・，Umezawa，M・，Masuda，Y・and Nishino，H・，EvaluatingallBertrand−Nashequl− 1ibriaindiscretespatialduopolymodel，Wbrk− ing Paper，Fhculty ofScience andTもchnology，KeioUniversity．
【2lD’Aspremont，C・， Gabszewicz，J・J−， and
Thisse，J．F．，OnHotelling’sStabilityinCompe−
tition，βcoれOme￡わcα，47（1979）1145−1150∴
t31Economides，N・，Nash Equil享briumin Duopoly withProductsDe丘nedbyTwoCharacteristics， 月αmdJ肌mαgげβco几Omiα，17−3（1986）431− 439． max（汀；（亡■）lc▲≦．亡▲≦㍍（tβ）） ‥l＝i● max（亮（土人）l打l（l8）≦亡一≦ら（亡8））i●−1≧i≧1， max（互（‘β）l？8≦‘8≦射人）．） ‥J＝メ・ max（克（tβ）lをl（t．）≦毎≦ち（‘．））：j・＋1≦ブ≦n．
以下の定理は、Bertrand＿Nash均衡点が存在す
るための必要十分条件を述べたものである・。 Theorem3．1 J．〝A肌dβα代わcαtedα￡兢eβαmeク0れtαndc＾＝CB＝C holds，then tl＝t；＝Cis the
肌卸眠印南加血㈹． 2■ 0伽n〃由e，（壬ユ，㍍）由 α几 e叩丑沌血m 好 （￡ユ，指）βαti頭eβ㈹eO／condi如耶「αノイcノ・ 「αノ f・QA（fユ，Cβ）＝Ⅳ，Q8（亡ユ，Cβ）＝仇 ii．tユ∈丁昔，
