滋 賀 大 学 教 育 学 部 紀 要 自 然 科 学 ・教 育 科 学 No.44 pp,1-7, 1994
1
離 散分 布 にお け る信 頼 区 間
山 添 史 郎
Confidence Intervals for Discrete Distribution
Shiro YAMAZOE
1.は じ め に二 項 分 布 に お け る 発 生 確 率 ρに対 す る 信 頼 区
間 の構 成 方 法 はい くつ か が 知 ら れ 、 よ く利 用 さ
れ る 。 しか しこ の ♪の 信 頼 区 間 の 厳 密 な 解 につ
い て は殆 ど 解 析 さ れ て こな か っ た 。 筆 者 は一 定
の 基 準 の も と で 最 良 と な る♪の 両 側 信 頼 区 間 を
与 え た。【1K2,そ
こ で 与 え た 方 法 は 131CroWが
与 え た
信 頼 区 間 の 性 質 を明 確 に す る もの で あ り、 ま た
効 率 的 な 計 算 方 法 を与 え る もの で もあ る。 本 論
文 は 同 様 の 方 法 を他 の 離 散 型 分 布 に も適 用 し、
得 ら れ た 信 頼 区 間 の 意 味 を考 え よ う とす る もの
で あ る 。
2.二
項分 布 にお け る信 頼 区 間
二 項 分 布B応,♪)に
従 う確 率 変 数 をX,そ
の
確 率 関 数 を
∫(・ ・の 一 ω グ(1一 ρ … ・一 ・,1,…,・ と す る 。 こ こ で0≦ ρ≦1と す る 。 標 本 ・母 数 空 間 をR={(κ;ρ);κ=0,1,…,n,0≦ ♪≦1} と す る 。 こ の と き 、Rの 部 分 集 合Bが 信 頼 水 準 α の 信 頼 区 間 帯 で あ る と は P(Bκ ∋pip)≧ α を み た す こ と で あ る 。こ こ でF={ク;(κ,ρ)∈B' はBの κ切 片 で あ り,X=xを 観 測 し た と き に 与 え ら れ る 信 頼 領 域 で あ る 。 ま たBy={κ;(κ,♪) ∈B}を 仮 説 検 定 の 用 語 を 流 用 し て 許 容 域 と い う 。 ま ずSterne"'に よ る 信 頼 区 間 帯 はB,を ∫(κ;ヵ) の 値 の 大 き い 方 か ら 加 え て α を 越 え る ま で の κ の 集 合 とす る 。 こ のSterneに よ る 信 頼 区 間 帯 を ∫で あ ら わ す こ と に す る 。 こ のSは そ の 長 さ の 総 和 Σ 望一・(∫ の 長 さ)を 最 小 に す る も の で あ り 、 そ の 最 小 性 は そ の 総 和 が 有 界 で あ れ ば 常 に 成 立 す る 。 二 項 分 布 の 場 合,か く♪に お い て ∫(絹 ρ)の単 峰 性 か ら ∫ρは 連 続 し た 整 数 の 集 ま り と な る 。 し か しSterneに よ る 信 頼 領 域 ∫ は 必 ず し も一 つ の 区 間 と は な ら な い 。 Sterneの 信 頼 区 間 帯 の 構 造 は 次 の よ う に な る 。 整 数0≦ α≦ わ≦ πに 対 して F(・,b:♪)=∫(α;♪)+∫(α+1;ク)+…+∫(b;♪) と お く とF(α,わ;ρ)は ♪の 単 峰 な 関 数 と な っ て お り 、 そ の と き の 最 大 値 を 与 え る ♪の 値 は(〃(・一ρ)卜 計1一(1:1)/nlb)
か ら 求 ま る 。 ∫,=(α ρ,わ,)=fac,α ρ+1,…byと お く と き α・ =b・=0で あ り 、 ア(κ;♪)の ♪ に つ い て の 連 続 性 か ら α,、6rは ♪の 階 段 関 数 と な る 。 さ ら に そ の 変2
山 添 史 郎
化 は(α,わ)=la,a+1,…,わ}に お い て ♪を 増 加 さ せ た と き 、 次 の 許 容 区 間 は(α+1,わ),(a,6-1), (α十1,わ 十1), (a-1,b-1), (α一1,わ), (a,b十1)の6つ に 限 ら れ る. 二 項 分 布 の と き に は そ の 変 化 の う ち 、 ♪ 〈 吉 の と き は ε戸(α,δ)は ρ を 増 加 す る と 、 次 の 許 容 領 域 は(α+1,の,(α+1,わ+1),(α,う+1),(α 一 1,b)に か ぎ ら れ る 。 ♪〉 吉 の と き は(α+1ゆ), (a,6-1),(α+1,わ+1),(a,b+1)に か ぎ ら れ る 。 こ の こ と か らSterneの 信 頼 区 間 帯 を 作 る ア ル ゴ リ ズ ム が 得 ら れ る 。 こ こ で 注 意 す べ き は(α,わ)の 許 容 領 域 の 次 に (α,6-1),(α 一1,の が 使 わ れ る と き に 信 頼 領 域 ∫が 一 つ の 区 間 に な ら な い こ と の 原 因 と な る こ と で あ る 。 信 頼 区 間 の み で 構 成 さ れ る 信 頼 区 間 帯 を作 る た め のCrow"の 修 正 は ア ル ゴ リ ズ ム 的 に は 次 の よ う に な 、る 。 水 吉 と し 、Sterneの 信 頼 区 間 帯 に お い て 、 (α,b)の 次 の 許 容 区 間 が(a-1,b)、(α,b+1)を 選 ぶ と き はF(a,b;P)=α を み た す 大 き い 方 の 解 を 加 と す る と きF(α+た,わ+1+を;釦)≧ α を み た す 最 大 の 々を と り(α,b)の 次 を(α+々,わ+1 +勘)と す る 。 ρ〉 う一の と き は 二 項 分 布 の 対 称 性 を 用 い る 。Crowに よ る 信 頼 区 間 帯 をCと す る 。 Cで は び は つ ね に 一 つ の 区 間 と な り、 そ の 長 さ の 総 和 はSterneの と 同 じ 最 小 で あ る 。 こ の 修 正 に 対 し て 別 の 修 正 を 与 え た の が 前 の 論 文(2}であ る 。 同 じ くSterneの 信 頼 区 間 帯 に お い て ♪≦ 一杢一の と き ∫ρ=(α,b)の 次 が(α 一1,わ)で あ る と き(α,b+1)を 使 う と 修 正 す る 。 ρ〉 壱 に お い て は 同 じ く二 項 分 布 の 対 称 性 か ら 全 体 の 信 頼 表1 ポ ア ソ ン 分 布 のSterneに よ る信 頼 区 間 κ ア ∫の下 限 ∫の上 限 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 * * 0.0000 0.0512 0.3553 0.8176 1.3663 1.9701 2.6130 3.2853 3.7643 4.4601 5.3233 5.7559 6.6857 7.2949 8.1020 23.7618 8.8076 9。5984 10.3072 11.1171 11.7991 12.8174 13.2861 14.3402 14.9205 34.6650 15.8197 16.7678 3.7643 5.7559 7.2949 8.8077 10.3072 11,7991 13.2862 14.3402 15.8197 17.2978 18.3385 19。8137 20.8484 22.3219 23.3523 23.7951 24.8248 25.8521 27.3240 28.3488 29.8205 30.8433 32.3148 33.3361 34.3560 34.8075 35。8275 36.8463 ∫の下 限 ∫の上 限 26 27 28 29 30 31 31 32 33 謎 34 35 36 37 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 47 48 49 50 * * * * 17.2978 18.3385 19.0505 19.8137 20.8484 21.3646 44.2592 22.3218 23,3523 23.7951 47.6890 24.8248 25.8520 26。3064 51.2933 27.3240 28.3488 28.9660 29.8205 30.8433 31.6746 32.3148 33.3361 34.3560 34.8075 62.8147 35.8275 36.8463 37.6666 38.3178 39.3356 40.3525 41.8242 42.8404 43.8558 44.3122 45.3278 46.3426 47.3568 47.8147 48.8291 49.8428 50.8560 51.3152 52.3285 53.3414 54.3537 55.8266 56.8386 57.8503 59.3234 60.3348 61.3458 62.3565 62.8192 63.8301 64.8406 65;8507 注 信頼 水 準 α=0.95 *信 頼 区 間が2つ か らな る箇 所離散分 布 にお け る信頼 区 間
3 区 間 を作 り あ げ る 。 こ の 信 頼 区 間 帯 をDと す る 。 Dに つ い て もSterneの 信 頼 区 間 帯 と 同 じ 総 和 を ぢもつ 。 しか もす べ て の κに対 してDは 一 つ の 区
間 に な る 。 さ らに そ れ らの 性 質 を もつ 信 頼 区 間
帯 の 中 で は真 の パ ラ メ ー タ♪を 含 む 確 率 を最 大
に して い る 。
3.離
散 分 布 に お け る 信頼 区 間
前 項 で 述 べ た 信 頼 区 間 帯 の 構 成 方 法 を 他 の 離 散 分 布 に 対 し て も用 い る こ と が で き る 。 離 散 型 確 率 変 数Xの 分 布 を∫(κ;θ)=P(X= ズ),κ=0,1,…,θ ∈ ⑨ で 与 え ら れ て い る と し 、 標 本 母 数 空 間 をR={(κ,θ);κ=0,1,…,θ ∈0} と す る 。 こ こ で0は 実 数 の 一 つ の 区 間 とす る 。 Sterneに よ る 水 準 α の 信 頼 区 間 帯S⊂Rは 二 項 分 布 の 場 合 と 同 様 に 定 義 す る 。∫(κ;θ)の θ に 関 す る 連 続 性 、 す べ て の θ に お い て ∫(π;θ)の.単 峰 性 を 仮 定 す る 。 こ の と きSsは 一 つ の 区 間 と な り か つ θ の 階 段 関 数 と な る 。 ま た θ の 変 化 に し た が っ て ∫・=(α,b)は 次 に は(α+1,δ)、(α,b -1) 、(α 十1,わ 十1)、(a-1,b)の ど れ か に 変 化 す る 。 こ の 変 化 は (1) P(S9∋xlθ)≧ α (2)(1)の 条 件 の 下 に$eの 個 数 を 最 小 に す る (3)(1)、(2)の 条 件 の 下 にP(∫ θ∋XIB)を 最 大 に す る 。 を 順 次 上 の 条 件 を み た す よ う に ∫・ を 決 め る こ と に よ っ て 決 ま る 。 性 質(1)、(2>、(3)に よ りSterne型 の 信 頼 区 間 帯 、 よ っ て 信 頼 領 域 を 求 め る ア ル ゴ リ ズ ム が 与 え ら れ る こ と に な る 。 す な わ ち ∫・=(α,b)で あ る と き以 下 の よ う に し て 次 の 許 容 領 域 を 求 め る こ と が で き る 。 θ・をs・=(α,わ)で あ る 下 限 と す る 1.θ1をF(α,わ 一1;θ1)=α 2.e2をF(α+1,わ;B2)=α 3.B3をF(α,δ;B3)=F(α+1,δ+1;B3)〉 α 表2ポ ア ソ ン 分 布 のCrowに よ る信 頼 区 間 エ Cの 下 限びの上 限
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 * * * * * * * * 0.0000 0.0512 0.3553 0.8176 1.3663 1.9701 2.6130 3,2853 3.2853 4.4601 5.3233 5.3233 6.6857 6.6857 8.1020 8.1020 9.5984 9.5984 11.1771 11.1771 12。8174 12.8174 13.7653 14。9205 14.9205 16.7678 3.2853 5.3233 6.6857 8.1020 9.5984 11.1171 12.8174 13.7653 14.9205 16.7678 17.6330 19.0505 20.3353 21.3646 22.9445 23.7618 25.3997 26.3064 27.7347 28.9660 30.0171 31.6746 32.2773 34.0477 34.6650 36.0301この下限
ごの上限
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 * * * * * * * * 16.7678 17.6330 19。0505 19.0505 20.3353 21.3646 21.3646 22.9445 23.7618 23.7618 25.3997 26.3064 26.3064 27,7347 28.9660 28.9660 30.0171 31.6746 31.6746 32.2773 34.0477 34.6650 34.6650 36.0301 37.6666 37.6667 38.1653 39.7637 40.9437 41.7532 43.4532 44.2592 45.2804 47.0251 47.6890 48.7439 50.4201 51.2933 52.1500 53.7191 54.9901 55.5108 56.9862 58.7176 58.8382 60。2401 61.8995 62.8147 63.4876 64.9473 注 信 頼 水準 =o,95 *は そ の 上 の信 頼 区 間 と下 限 が一 致 す る4
山 添
史
郎
4.B4をF(α, h;B4)=F(α 一1,δ 一1;64)〉 α 5.B5をF(α,わ;BS)=α と し 、 θ`〉 θ ・と な る θ・の 中 で 最 も 小 さ い θ ・ を と り、そ の 点 で 許 容 区 間 を 変 え る こ と に す る 。 た だ しB5に お い て は F(a-1,6;θ ・)>F(a,b+1;B5) な ら ば(α一1,わ)に 、 そ う で な い な ら ば(α,わ+ 1)に 許 容 区 間 を 変 え る こ と と す る 。 こ の 方 法 に よ っ て 信 頼 区 間 帯 ∫が 決 ま れ ば 、 容 易 に 信 頼 領 域 を 求 め る こ と が で き る 。 しか しご 項 分 布 の 場 合 に もみ ら れ た よ う に 信 頼 領 域 邸 は 必 ず し も一 つ の 区 間 に な る と は か ぎ ら な い 。 以 下 ポ ア ソ ン 分 布 、 負 の 二 項 分 布 の 場 合 にSterneの 方 法 に よ る 信 頼 区 間 帯 が 信 頼 区 間 の み を もつ 信 頼 区 間 帯 に 修 正 し う る こ と を 示 す 。ポ ア ソ ン分 布 の 場合
確 率 変 数Xが 平 均 θ の ポ ア ソ ン 分 布 に 従 う と す る 。 す な わ ち ∫(κ;θ)=e- BsO /x! =0,1,2,… こ こ で θ ≧0で あ る 。 区 間 確 率 をF(a,6;θ)= Ds一。∫(κ;θ)と お く とF(α,わ;θ)は 単 峰 で あ り 、 そ の 最 大 値 は F(a-1, δ一1;θ)=F(α,δ;θ) を み た す θ ≠0で と る 。 す な わ ち θ=(わ ノノ(α一1)!)ユ!い 4+1) の 点 でF(α,b;θ)は 最 大 値 を と る 。 こ の こ と か ら ポ ア ソ ン 分 布 に お け るSterne型 の 信 頼 区 間 帯 ∫ を 作 る ア ル ゴ リ ズ ム が 決 ま る 。 す な わ ち 、 θ が 増 加 す る に 従 っ て ∫・=(α,δ)の 次 の 許 容 領 域 は(σ+1,わ+1)、(α,わ+1)、(α 一1 ,わ)の う ち か ら 選 ば れ る 。 ア ル ゴ リ ズ ム は 次 の と お り で あ る 。 1.&=(0,0) 表3 ポ ア ソ ン分 布 のYamazoeに よ る信 頼 区 間 Dの 下 限 Dの 上 限 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0.0000 0.0512 0.3553 0.8176 1.3663 1.9701 2.6130 3.2853 3.7643 4.4601 5.3233 5.7559 6.6857 7.2949 8.1020 8.8076 9.5984 10.3072 11.1771 11.7991 12.8174 13.2861 14.3402 14.9205 15.8197 16.7678 3.7643 5.7559 7.2949 8.8077 10.3072 11.7991 13.2862 14.3402 15.8197 17.2978 18.3385 19.8137 20.8484 22.3219 23.3523 24.8248 25.8521 27.3240 28.3488 29.8205 30.8433 32.3148 33.3361 34.3560 35.8275 36.8463 Dの 下限 Dの 上 限 26 27 28 29 30 31 32 33 鈎 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 17.2978 18.3385 19.0505 19.8137 20.8484 21.3646 22。3218 23.3523 23.7618 24.8248 25.8520 26.3064 27.3240 28.3488 28.9660 29.8205 30.8433 31。6746 32.3148 33.3361 34.3560 34.6650 35.8275 36.8463 37.6666 38.3178 39.3356 40.3525 41.8242 42.8404 43.8558 45.3278 46.3426 47.3568 48.8291 49.8428 50.8560 52.3285 53.3414 54.3537 55.8266 56.8386 57.8503 59.3234 60.3348 61.3458 62.3565 63.8301 64.8406 65.8507 注 信 頼 水準 α=0.95離 散分布 におけ る信頼 区間
5 2.Se=(α,わ)と す る と き F(α, b;θ)ニF(α 十1, b十1;θ) を み た す θ・の 点 で 、F(α;b;θ)〉 α な ら ば 、 そ の 点 で 許 容 域 は(α十1,わ 十1)に か わ る 。 3.上 の2.に お い てF(α,b;θ)≦ αで あ れ ばF(α,わ;θ つ ≦ α を み た す6sに 対 し てF(α 一1,わ;θ つ>F(α,b十1;θ つ な ら ば6で(α 一1,・ の 、 そ う で な け れ ば θ.で(α,う+1)に か わ る 。 Sterneの 信 頼 区 間 を 信 頼 水 準 α=0.95の と き の み 表1に 示 す 。*印 を 付 し た 箇 所 で 信 頼 区 間 が 2ケ 所 に 別 れ て い る6こ のSterneの 信 頼 区 間 帯 もCrows'ら は 修 正 し て い る 。 こ の 修 正 方 法 は ア ル ゴ.リ ズ ム で 示 せ ばSterneの ア ル ゴ リ ズ ム の 1.2.3に お い て 、3を 修 正 して 3'F(α+々,b+々 十1;θ つ 〉 α を み た す 最 大 の 々を と り(α,b)の 次 をBの 点 で(α +鳥 わ+々+ユ)に 許 容 区 間 を か え る 。 と す る こ と に な る 。 ま た 信 頼 区 間 帯DはSterneの 信 頼 区 間 帯 に お け る ア ル ゴ リ ズ ム の3を 3"θ 寧の 点 に お い て 許 容 区 間 を(α,わ+1) と す る と す れ ば よ い 。 こ の 修 正 をD型 と い う 。 上 記2つ の ア ル ゴ リ ズ ム に よ り信 頼 水 準 α の 信 頼 区 間 帯 を 構 成 す る こ と が で き る こ と は 容 易 に 示 さ れ る 。表4 ポア ソ ン分 布 にお け る信 頼区 間C,Dの
長 さの比較
ウ イ ア 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 8 12 16 20 26 33 39 46 52 59 64 73 78 83123456789101121314148556369.758195082235496277880318 111111122***************** **** * **積
累
さ長
の、 D 6 7 1 0 4 7 4 0 5 9 0 1 8 9 4 3 9 8 8 9 3 3 5 3 3 0 3 3 5 5744431899788667724853595774823 ● O ● ・ 畳 ● ● ● O ● ● ● ・ ・ ○ ・ ● ● O ・ O ● ● ○ り ● ○ ● ● 0 3 9 6 4 3 3 3 4 6 9 2 3, 8 8 9 8 2 9 7 7 3 1 4 0 3 2 4 7 8 5 1234567806607704104526500550 124791216192327354454磁758799H2438 1 1 1604943756423998060003099009002779998600800931030005099009005 . O ● ・ O ・ ・ ● 0 9 ・ ・ ○ ● ● ● ・ ● ■ ● ● 畳 ● ● ● 9 ● ● O ● 3 5 6 7 8 9 0 1 2 2 3 8 1 5 8 1 3 6 8 0 3 7 9 2 6 9 0 4 6 8 111111222333344445556666積
累
さ長
の 、 C 29 56 89 17 40 61 82 30 93 24 55 16 12 24 99 26 85 13 68 64 47 90 訓 51 03 24 61 69 37 86 ・ ・ . ● ・ ・ . O O ・ O ・ O O ・ り ・ ■ ● ・ ● ● O O O ● 0 9 ● ● 3 8 14 22 30 39 49 60 71 別 % 53 54 90 56 52 70 15 80 66 94 96 63 92 81 24 17 66 60 99 2469259264333468036 111223456789123 1 1 1973831084110258095314219520230223222246332472543315421327519 . ● , ○ ● ■ O ● ● ■ ● ● O ● . ● ■ O ● ● O ● O O ● ● O O ● ● 3 5 6 7 8 9 0 0 1 2 2 7 1 4 7 0 2 6 8 0 3 6 9 2 5 0 9 4 5 7 111111222333344445565666 ズ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 20 40 60 80 00 20 40 60 80 00 11111222223 注 信 頼 水 準 α=0.95 ア:*は び の方 が 短 い イ:そ こ まで の び が短 か い方 の個 数 ウ:そ こ まで のが が 短 か い方 の 個 数6
山 添 史
郎
負の二項分布 の場合
確率変数Xが 負 の二項分布 に従 うと し
∫(・・θ)一(彦+㌘1)・ ・(1一 ・)・, κ=0,1,2,… と お く。 こ こ で 盈=1,2,… か つ0≦ θ<1 で あ る 。 こ こ で 母 数 θ は 普 通 使 用 さ れ る θ を1 一 θ に か え て い る。 ∫(κ;θ)の んで の 単 峰 性 、 ま たF(α,δ:θ)=Σ2一 。ア(κ;θ)の θ に つ い て の 単 峰 性 は 容 易 に 示 さ れ る 。 ま たF(α,わ;θ)の 最 大 値 を と る 値 を θ・,F(α, b;θ)=F(α+1,δ +1;θ)を み た す θ ≠0をBと す る と 、 θ・は(腐1)・$一1一(・+1)(贈)・
・
を み た し、 θ 事く θ・で あ る 。 従 っ て 負 の 二 項 分 布 の 場 合 も ポ ア ソ ン 分 布 の 場 合 と 同 様 、Crow型 のC,ま た 同 様D型 の 信 頼 区 間 を 得 る こ と が で き る 。4.信
頼 区 間 の 比 較
離 散 型 分 布 の 信 頼 区 間 を"exact"に
得 よ う
とす る試 み が こ れ まで な さ れ て きた が 、 信 頼 区
間 の よ さ に どの よ うな 基 準 を用 い る か が 一 定 し
て い な か っ た 。 よ く使 わ れ る 一 つ の 基 準 はBを
信 頼 区 間 帯 とす る と き θ'≠θの と きP(ガ ∋ θ'
1θ)を 一 様 に 最 小 に し ょ う とす る もの で あ る。
この 要 請 は仮 説 検 定 で 考 え る と き一 様 最 強 力 検
定 を求 め る こ と と一 致 す る 。従 って 離 散 型 分 布
の 場 合 は必 然 的 に ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン化 が と も
な う。 二 項 分 布 に お け る ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン化
さ れ た 信 頼 区 間 はEudey"'に よ っ て 求 め られ て
い る。 しか し ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン化 され た信 頼
区 間 は ラ ン ダ ミゼ ー シ ョ ン化 さ れ た 仮 説 検 定 よ
り も扱 い に くい もの で 好 ま しい 信 頼 区 間 と は 考
え られ な い 。
二 項 分 布 の 信 頼 区 間 の も う一 つ の 基 準 は信 頼
区 間 の長 さの 総 和 を最 小 に しょ う とす る もの で
あ る。 この 要 請 を満 た す もの はSterneの 信 頼 区
間 で 、全 て の パ ラ メ ー タで 最 小 の 許 容 領 域 を も
つ 信 頼 区 間 帯 に よ っ て 構 成 さ れ る 。 こ のSterne
の 信 頼 区 間 帯 が もつ 性 質 は 信 頼 区 間 の 長 さ の 総
和 が 有 界 で あ れ ば 、 そ の 総 和 は 最 小 で あ り、 か
つ そ の 最 小 の 総 和 を もつ 信 頼 区 間 の 中 で は 真 の
パ ラ メ ー タ を持 つ 確 率P(げ ∋ θ1θ)を
最 大 に
す る 。Sterneの 信 頼 区 間 帯 の も つ 短 所 は そ の 信 頼 領 域3が 必 ら ず し も 一 つ の 区 間 と な ら な い こ と で あ る 。Sterneの 信 頼 区 間 帯 を 修 正 し て 、 常 に 信 頼 区 間 と な る 信 頼 区 間 帯 がCrowとYama-zoeに よ っ て 与 え ら れ て い る 。 二 項 分 布 に お い てCrowの 信 頼 区 間 帯 は な る べ く 真 で な い パ ラ メ ー タ を 含 む 確 率 を 小 さ く し ょ う と す る も の で あ り 、Yamazoeに お け る も の は 真 で あ る パ ラ メ ー タ を 含 む 確 率 を 最 大 に し ょ う と す る も の で あ る 。 本 論 文 で は 同 様 の 修 正 が ポ ア ソ ン 分 布 、 負 の 二 項 分 布 に お い て 可 能 で あ る こ と 示 し た 。 ポ アソ ン 分 布 に お け るSterne, Crow, Yamazoeの
信 頼 区 間 を 表1,2,3に 示 し た 。 こ こ で は 全 て の 信 頼 水 準 を α=0.95と し た 。 表1で*を 付 し た 箇 所 で 信 頼 領 域 が2ケ 所 と な っ て い る 。 表 2で*を つ け て い る の は 得 ら れ た 信 頼 区 間 の 下 限 が そ の 前 の 信 頼 区 間 の 下 限 と 一 致 し て い る と こ ろ で あ る 。 こ のCrowの 信 頼 区 間 に お い て は 許 容 区 間 が(α,の の 次 と し て(α+1,δ+2)を え ら ん だ 箇 所 で あ る 。 そ の た め 観 測 し た 値X= ∫を 変 化 さ せ た と き 、 信 頼 区 間Cは 少 し い び つ に 変 化 す る 。 筆 者 の 修 正 し た 信 頼 区 間 ザ は そ の よ う な 箇 所 は 当 然 あ ら わ れ な い 。 一 方 こ れ ら の 信 頼 区 間 帯 は 各 パ ラ メ ー タ に お け る 許 容 区 間 を 最 小 に は し て い る が 、 信 頼 区 間 の 長 さ の 総 和 は 発 散 す る た め 、 必 ら ず し も 小 さ い と は い え な い 。 す な わ ち 、 二 項 分 布 に お け る よ う に 最 小 の 総 和 を もつ と の 基 準 を 適 応 さ せ る わ け に は い か な い 。 少 し基 準 と して 弱 い が"一 様 に 最 小 の 長 さ の 許 容 域 を もつ"と い う 基 準 を み た す と い う こ と が で き る 。 信 頼 区 間 の 長 さ をCrowの 場 合 とYamazoeの 場 合 を 比 較 した の が 表4で あ る 。 右 端 に*を 附 し た の がCrowの 方 が 短 い 箇 所 で あ る 。 観 測 値 κ オ ニ が 小 さ い 問 はCがDよ り つ ね に 小 さ く 、 κが40 オ コ
を こ え て か らDがCよ
り短 い 場 合 が で て く る。
こ う な っ た理 由 はCrowの
方 で は 許 容 区 間 を大
き い方 にず ら して い る た め で あ る 。
参 考 文 献
〔1〕山 添 史 郎(1991).二 項 分 布 に 対 す るExactな 信 頼 区 間 と ア ル ゴ リ ズ ム.滋 賀 大 学 教 育 学 部離散 分布 にお け る信頼 区 間
7紀 要(自 然 科 学 ・ 教 育 科 学)第41号,1-13.
〔2〕Yamazoe, S.(1993).Confidence belts for the
binomial parameter. ∫ Japan Statist. ∫oc.
23,161-169.
〔3〕Crow, E. L.(1956).Cofidence intervals for a
proportion.8fo辮6ご アfカα43,423-435.
〔4〕Sterne, T. E.(1954).Some Remarks on confi・
dence or fiducial limits. Bfσ 規 θ`γ傭 α 41,
275-278.
〔5〕Eudey, N. W.(1949).On the treatment
of dis- continuous variables, Technical Report No,13,
University of California, Berkeley, Statistical
Laboratory.
〔6〕Crow, E. L. and Gardner, R. S.(1959).Con・
fidence intervals for the expectation
