行基本変形と小行列式

(1)

行基本変形と小行列式

戸瀬信之年月日

S LL ⁰5 ^Part ⁰ ²^.

E.EE

^心 ^で、T.EE心

-

で_H が _re _が _LI

-

ヨと、j

儲に

^。

1 鼷雝

(2)

次小行列

⇥ 行列 = ( )を考えます． < < であるとき

= 0 BB BB BB

@

· · · ·

1 CC CC CC A

) ⁰ =

✓ ◆

ビ

^行 ^るる^り^.

i,

7

⁰²

行

素変

の

が

形

(3)

次小行列

< < < < であるとき

= 0 BB BB BB BB BB B@

· · · ·

1 CC CC CC CC CC CA

) ⁰ = 0

@

1

:

A

G ₃

×3

3次正方行がよ、

た

J 3.

m3 3.

(4)

次小行列と行基本変形

ある次小行列式に対して

6

= と仮定する．

i

nn

t

i、キ 5 2 _.

(5)

次小行列と行基本変形行の交換

$ の場合

· · · ·

!

· · · ·

このとき

= 6=

I 〇〇〇〇

〇〇〇〇

% %

(6)

次小行列と行基本変形行の交換

$ の場合

· · · ·

!

· · · ·

このとき

= 6=

i, F i

, izz ⁱ3 ( i_、キi

て

)

o 〇〇〇

〇〇〇〇

の

(7)

次小行列と行基本変形行の交換

$ の場合と同様

⇥= ( 6= ) これは簡単なので省略

~

ー

← 各自 _考える

.

(8)

次小行列と行基本変形 + =

⁰

⇥

+ = ⇥ ( 6= ) の場合

· · · ·

!

· · · + · · · + · · ·

· · · ·

このとき

+ + = 6=

nits

して〇〇〇〇〇〇

1 的な方にい : し

so

(9)

次小行列と行基本変形 + =

⁰

⇥

+ = ⇥ ( 6= ) の場合

· · · ·

!

· · · + · · · + · · ·

· · · ·

i,r t = i

,^r ^× D .

(^と^、^r, iではそのまま )

〇〇〇〇〇〇

〇〇〇〇

p 〇〇〇

籅

(10)

次小行列と行基本変形 + =

⁰

⇥

+ +

=

ならば

+ =

から

= 6=

（ここの議論が本質的である）

1 1

^も^o ^だっ^たら

済

。

i.

_一

係黎

_玼、

〇

〇〇〇

〇〇〇〇

_」

Tener

t

(11)

定理

⇥ 行列があるとする．からに行基本変形されるとする．

!· · ·!

のある次小行列 ⁰に対してdet( ⁰)6= ならば，のある次小行列式 ⁰⁰に対してdet( ⁰⁰)6=

のすべての次小行列 ⁰に対してdet( ⁰) = ならば，のすべての次小行列式 ⁰⁰に対してdet( ⁰⁰) =

1 」

○

1

し行き_も瓿

グ

B ^→ ^-ⁱ ^→ A ^.

"

ヨ

が

_ぼ_ほ_。 ^一

ら

^ヨ _A^' _l_A^'は 0

行き

を

変形

(12)

定理の応用

~,~ 2 とするとき

~ ,~ ,ある 6= に対して 6=

( ~+ ~ =~とすると

⇢ + =

+ =

となるが 6= から = = が従う．

○

^で ^い

た

。成分

が成分

.mn

^renn

(13)

定理の応用

) ~ ,~から行基本変形が存在して

!· · ·!

0

@ 1 A

とできることから分かる．（なぜできるか示せるか？）

B

ff l

^、

1

^も ^。

→ A^' _l がキ 0 _.

-

論述できる

^か _?

(14)

定理

⇥ 行列があるとする．からに行基本変形されるとする．

!· · ·!

のある次小行列 ⁰に対してdet( ⁰)6= ならば，のある次小行列式 ⁰⁰に対してdet( ⁰⁰)6=

のすべての次小行列 ⁰に対してdet( ⁰) = ならば，のすべての次小行列式 ⁰⁰に対してdet( ⁰⁰) =

た、で

(15)

定理の応用

~,~,~ 2 とするとき

~,~,~が線型独立,ある, , に対して 6=

( ここでは対偶を示す．~,~,~が線型従属とする．すなわち

~+µ~+⌫~ =~

において 6= が成立するとしたら（µ6= ⌫ 6= の場合も同様）

=

µ ⌫

µ ⌫ = µ ⌫

=

→ で_{-_-}

だで

○

、

いし

だ

一、

" °

wefc ^O

TS いい

(16)

定理の応用

) ~,~,~が線型独立であることから行基本変形が存在して

!· · ·!

0 B@

1 CA

とできることから分かる．（なぜできるか示せるか？）

O は詐」

もできた ?

nnnn

(17)

別の理解

= (~ ~ ~)0 は以下の狭義の階段行列に行基本変形される．

@ 1 A

0

@

↵1 A

0

@

↵ 1 A

0

@

↵ 1

A 0

@

1 A

0

@

↵1 A

0

@

1 A

0

@

1 A

O

³ 0 ₂ 0 1 4日示せる^か ?

2

0 0 0 が〇

〇〇〇

nahs 語想さえ

² ^ここ^を

毇全

¹^次

た

^を^.

(18)

赤色

は

加筆

then

on h X

3 ある

3 次小行る

り式で 1 も

0.2 すべて

^の 3

次

^小

行

^るり

もとに

^o に

)

ある

² ^次 ^小 _行

よりも

^し

メッキ

^o

に

すべて

_の 2

次

^小

行

る

ともに

^" に ^O

ある成分

_も o

O

す

^べしの

成分

_が ₀

.

× =

心のが ) が次元定理

ー

!

den

In

X =

rank

(X

)

、

d _in

had

^」 ⁼ 3 ^-

nach

^CX

)

(19)

A

^:

mxu.fm (

^A

)

⁼

1 で

^E

心 ; AT I ]

と

^E

1 で n

lk

^い

t.it

^t.tv

が

^E

が

エ、 (

_A

)

⁼

{ HE 」で

^E

心 }

の

1 が

-

t と o に _つい_て

1

^し _て

いる

。

(20)

別の理解

0

@ 1

A ker( ) ={~} ~,~,~は ( ) = (~,~,~) 0

@

↵1

A ker( ) = ⇣ ↵ ⌘

~ ,~ ( ) = (~,~) 0

@

↵ 1

A ker( ) = ⇣ _↵ ⌘

~ ,~ ( ) = (~,~)

側

^が ^⇐

( ) は )

^が

> で^二のでtp EEL^が^、^E)

h : : aiiii.it

j f

〇% ^でも ²^次元^.

6

_も_この ^に^良^元^・ ²^次元^.

(21)

別の理解

0

@

↵ 1

A ker( ) = ⇣ _↵ ⌘

+ ⇣ ⌘ ⇣ _↵ ⌘

,⇣ ⌘ ( ) = ~ ~ 6=~

0

@

1

A ker( ) = ⇣ ⌘

( ) = (~,~) ~ ,~ 0

@

↵1

A ker( ) = ⇣ ⌘ + ⇣

↵

⌘ ⇣ ⌘ ,⇣

↵

⌘

( ) = ~ ~ 6=~ どこのに

、_

い

^ない p^た^。

( 新

^一

哈 )

^-^z

( 則

2^ここえ

ぶ

~ r u

D

Greer

^に²^を ^nnr ^に^ええ^.

○

^で ^、

が y^{= o}_, t⁼^。

信

^に ^ル

(f )

²^次

ミキ

(22)

別の理解

0

@ 1

A ker( ) = ⇣ ⌘

+ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘

,⇣ ⌘ ( ) = ~ ~ 6=~

0

@

1

A ker( ) = ( ) ={~}

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