3.3 基本変形と逆行列 担当：市原

数学 1 ・数学演習 1 No.8 2005. 6.16

3.3 ^{基本変形と逆行列 担当：市原}

逆行列の基本変形による求め方

A =



 



18 9 1 12 8 2 8 4 1



 



の逆行列を求めてみよう

.

まず

,

18 9 1 12 8 2 8 4 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

1 0 0 0 1 0 0 0 1

とかく

.

行基本変形を全体に繰り返して

,

左側の行列を変形し

, 1 0 0

0 1 0 0 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

0 −1/4 1/2 1/5 1/2 −6/5

−4/5 0 9/5

とする

.

すると

,

実は

A

⁻¹

=



 



0 −1/4 1/2 1/5 1/2 −6/5

−4/5 0 9/5



 

 = 1 20



 



0 −5 10 4 10 −24

−16 0 36



 



となる

.

例題

16

基本変形を使って

,

次の行列の逆行列を求めなさい

.

P =



 



1 14 −5 0 3 −1 1 25 −9



 



Q =



 

 

 

1 0 0 −5 0 1 0 −1 0 0 1 −7 0 0 0 1



 

 

 

15

左ページの方法で逆行列が求められることは

,

次の定理からわかる

.

定理

12 (

行基本変形と基本変形行列

)

c

を

0

でない定数とし

, n

次単位行列を

I

_nで表すとき

,

次が成り立つ

.

第

j

行に

c

をかける

←→ I

_nの第

j

対角成分を

c

とした行列 を左からかける

第

j

行に第

k

行の

c

倍を加える

←→ I

_nの第

(j, k)

成分を

c

とした行列 を左からかける

第

j

行と第

k

行を入れ替える

←→ I

_nの第

j

行と第

k

行を入れ替えた行列 を左からかける

上の

3

種の

n

次正方行列を基本変形行列と呼ぶ

.

さらに次のことも成り立つ

.

定理

13 (

正則行列と階数

) A

を

n

次正方行列とする

.

このとき

,

A

が正則

⇐⇒

行基本変形によって単位行列

I

_nに変形できる

⇐⇒ rank A = n

（必要十分条件）

例題

17

行列



 



2 −1 0 1 0 −1

−1 2 1



 



^{が正則かどうか}

,

階数を用いて判定しなさい

.

16

数学 1 ・数学演習 1 No.8 2005. 6.16

3.3 ^{基本変形と逆行列 担当：市原}

問題

23

行列

A =



 



1 0 −1 3 2 1 2 1 0



 

 , B =



 



−1 0 −1 0 −2 1 0 −1 0



 

 , C =



 

 



1 0 −1 0

0 −1 0 0

0 0 1 1

−1 0 0 1



 

 



について

,

次の問いに答えなさい

.

(1)

階数を用いて正則かどうか判定しなさい

.

(2) A, B, C

のうち正則なものの逆行列を基本変形を使って求めなさい

.

学籍番号 氏名