線形代数学
1 No.5 2005. 5.182.2 行列の基本変形と掃き出し法 担当：市原
問題22 次の連立方程式の拡大係数行列をかき,行基本変形(掃出法)で解を求めなさい.
(1)
( x−2y= 9
−3x+ 8y=−1 拡大係数行列は
à 1 −2 9
−3 8 −1
!
à 1 −2 9
−3 8 −1
!
°2 +°1 ×3
−−−−−−−−−→
Ã1 −2 9
0 2 26
!
°1×12
−−−−→
Ã1 −2 9
0 1 13
!
連立方程式に戻すと (
x−2y= 9
y= 13 よって,
à x y
!
= Ã
35 13
!
(2)
x−y+z= 5 3y+ 2z= 7
−z+ 4x=−9
拡大係数行列は
1 −1 1 5
0 3 2 7
4 0 −1 −9
1 −1 1 5
0 3 2 7
4 0 −1 −9
°3 +°1 ×(−4)
−−−−−−−−−−−→
1 −1 1 5
0 3 2 7
0 4 −5 −29
°2 +°3 ×(−1)
−−−−−−−−−−−→
1 −1 1 5
0 −1 7 36
0 4 −5 −29
°2 ×(−1)
−−−−−−−→
1 −1 1 5
0 1 −7 −36 0 4 −5 −29
°3 +°2 ×(−4)
−−−−−−−−−−−→
1 −1 1 5
0 1 −7 −36 0 0 23 115
°3 ×231
−−−−−−→
1 −1 1 5
0 1 −7 −36
0 0 1 5
連立方程式に戻すと
x−y+z= 5 y−7z=−36 z= 5
よって,
x y z
=
1
−1 5
(3)
x−2y−3z=−6 2x−y+ 3z= 3
−3x+ 2y−3z=−2
拡大係数行列は
1 −2 −3 −6
2 −1 3 3
−3 2 −3 −2
1 −2 −3 −6
2 −1 3 3
−3 2 −3 −2
°2 +°1 ×(−2)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 −3 −6
0 3 9 15
−3 2 −3 0
°2 ×13
−−−−→
1 −2 −3 −6
0 1 3 5
−3 2 −3 0
°3 +°1 ×3
−−−−−−−−−−→
1 −2 −3 −6
0 1 3 5
0 −4 −12 −20
°3 +°2 ×4
−−−−−−−−−−→
1 −2 −3 −6
0 1 3 5
0 0 0 0
連立方程式に戻すと (
x−2y−3z=−6 y+ 3z= 5
よって,
x y z
=
−3t+ 4
−3t+ 5 t
(ただしtは任意の実数)
(4)
x−y+z−w= 4 x+y+z+w= 2
−x−y−z= 3
−x+y+z+w= 0
拡大係数行列は
1 −1 1 −1 4
1 1 1 1 2
−1 −1 −1 0 3
−1 1 1 1 0
1 −1 1 −1 4
1 1 1 1 2
−1 −1 −1 0 3
−1 1 1 1 0
°2 +°1 ×(−1)
−−−−−−−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 2 0 2 −2
−1 −1 −1 0 3
−1 1 1 1 0
°2 ×12
−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
−1 −1 −1 0 3
−1 1 1 1 0
°3 +°1
−−−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
0 −2 0 −1 7
−1 1 1 1 0
°4 +°1
−−−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
0 −2 0 −1 7
0 0 2 0 4
°4 ×12
−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
0 −2 0 −1 7
0 0 1 0 2
°3 +°2 ×2
−−−−−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
0 0 0 1 5
0 0 1 0 2
°3 ↔°4
−−−−−−−→
1 −1 1 −1 4
0 1 0 1 −1
0 0 1 0 2
0 0 0 1 5
連立方程式に戻すと
x−y+z−w= 4 y+w=−1 z= 2 w= 5
よって,
x y z w
=
1
−6 2 5
(5)
x−2y+ 3z= 4 2x+ 3y+ 4z= 1 3x+ 4y+z= 2 4x+y+ 2z= 3
拡大係数行列は
1 −2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 −2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
°2 +°1 ×(−2)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 7 −2 −7
3 4 1 2
4 1 2 3
°3 +°1 ×(−3)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 7 −2 −7
0 10 −8 −10
4 1 2 3
°3 ×12
−−−−−→
1 −2 3 4
0 7 −2 −7
0 5 −4 −5
4 1 2 3
°4 + °1 ×(−4)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 7 −2 −7
0 5 −4 −5
0 9 −10 −13
°2 +°3 ×(−1)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 2 2 −2
0 5 −4 −5
0 9 −10 −13
°2 ×12
−−−−−→
1 −2 3 4
0 1 1 −1
0 5 −4 −5
0 9 −10 −13
°3 + °2 ×(−5)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 1 1 −1
0 0 −9 0
0 9 −10 −13
°3 ×(−19)
−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 1 1 −1
0 0 1 0
0 9 −10 −13
°4 +°2 ×(−9)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 1 1 −1
0 0 1 0
0 0 −19 −4
°4 +°3 ×(19)
−−−−−−−−−−−→
1 −2 3 4 0 1 1 −1
0 0 1 0
0 0 0 −4
°4 ×(−14)
−−−−−−−→
1 −2 3 4
0 1 1 −1
0 0 1 0
0 0 0 1
連立方程式に戻すと
x−2y+ 3z= 4 y+w=−1 z= 0 0w= 1
これらの式を満たす実数は存在しないので,解なし.
