行列の演算
戸瀬 信之
ITOSE PROJECT
2011
年04
月19,26
日at
駒場2020
年06
月22
日 経済数学入門ベクトルの演算の性質（復習）
定理
1
(1) ~ a , ~ b , ~ c ∈ K n
に対して~ a + ~ b = ~ b + ~ a (1)
(~ a + ~ b ) + ~ c = ~ a + ( ~ b + ~ c ) (2) (2) ~ a , ~ b ∈ K n
とλ, µ ∈ K
に対してλ (µ~ a ) = (λµ)~ a (3)
(λ + µ) ~ a = λ~ a + µ~ a (4)
λ(~ a + ~ b ) = λ~ a + λ~ b (5)
和と定数倍
m × n
行列，すなわちm
行n
列の行列A = (~ a 1 · · ·~ a j · · · ~ a n ) =
a 1
a ... i
a ... m
= (a ij )
B = ( ~ b 1 · · · ~ b j · · · ~ b n ) =
b 1
b ... i
b ... m
= ( b ij )
に対して
和と定数倍 (2)
その和と差を
A + B =
~ a 1 + ~ b 1 · · · ~ a j + ~ b j · · · ~ a n + ~ b n
=
a 1 + b 1
a i + ... b i
a m + ... b m
= (a ij + b ij )
A − B =
~ a 1 − ~ b 1 · · · ~ a j − ~ b j · · · ~ a n − ~ b n
=
a 1 − b 1
a i − ... b i
a m − ... b m
= ( a ij − b ij )
和と定数倍 (3)
定数
α ∈ K
に対してA
のα
倍をα A = (α~ a 1 · · · α~ a j · · · α~ a n ) =
α a 1
αa ... i
...
α a m
= (α · a ij )
定理 2
m
行n
列の行列A，B，C
に対して，以下が成立します．(1) A + B = B + A
(2) (A + B) + C = A + (B + C ) (3) α(β A ) = (αβ) A
(4) (α + β) A = α A + β A (5) α(A + B) = αA + αB
A = (~ a j ) , B = ( ~ b j ) , C = (~ c j )
と行列A , B , C
のj
列を用いて定理2
を示します．証明
(1) A + B = (~ a j + ~ b j ) = ( ~ b j + ~ a j ) = B + A
から証明できます．ここで定理
1
の(1)
を用いました．(2) ( A + B ) + C = (~ a j + ~ b j ) + (~ c j ) =
(~ a j + ~ b j ) + ~ c j
= ~ a j + ( ~ b j + ~ c j )
= A + ( B + C )
から証明できます．ここで定理
1
の(2)
を用いました．行列 × 列ベクトル (1)
A = ~ a 1 · · · ~ a j · · · ~ a n
=
a 1
a ... i
a ... m
と
~ x =
x 1
x ... j
x ... n
(6)
との積を
A ~ x = x 1 ~ a 1 + · · · + x j ~ a j + · · · + x n ~ a n ∈ K m
行列 × 列ベクトル (2)
A~ x = x 1 ~ a 1 + . . . + x j ~ a j + . . . + x n ~ a n
=
x 1 a i1 + . . . + x j ... a ij + . . . + x n a in
...
=
a 1 ~ x
a ... i ~ x a m ... ~ x
行列 × 行列
X = (~ x 1 . . . ~ x k . . . ~ x ` )
がn
行`
列とします．注
A ~ x 1 , . . . , A ~ x k , . . . , A ~ x ` ∈ K m
が定義される．AX = A( ~ x 1 · · · ~ x k · · · ~ x ` )
= ( A ~ x 1 · · · A ~ x k · · · A ~ x ` )
=
a 1 ~ x 1 · · · a 1 ~ x k · · · a 1 ~ x `
... ... ...
a i ~ x 1 · · · a i ~ x k · · · a i ~ x `
... ... ...
a m ~ x 1 · · · a m ~ x k · · · a m ~ x `
行列 × 行列 (2)
特に
m = 1,
すなわちA = a = ( a 1 · · · a n )
のときaX = ( a ~ x 1 · · · a ~ x ` )
これを用いるとAX =
a 1 X
a i ... X a m ... X
行列 × 行列 (3)
aX = ( a ~ x 1 · · · a ~ x k · · · a ~ x ` )
= (· · · a 1 x 1k + a 2 x 2k + · · · + a n x nk · · · )
=
a 1 (· · · x 1k · · · ) + a 2 (· · · x 2k · · · )
... ...
+ a n (· · · x nk · · · )
= a 1 x 1 + · · · + a n x n
行列 × 行列 (4)— 行ベクトルを中心にして
まとめ
( a 1 · · · a j · · · a n )
x 1
x ... j
x ... n
= a 1 x 1 + · · · + a j x j + · · · + a n x n
a 1
a ... i
a ... m
X =
a 1 X a i ... X a m ... X
線型写像 (1)
F A ( ~ x ) = A ~ x
によって定る写像F A : K n −→ K m ~ x 7→ A ~ x (7)
について定理3
が成立します（FA
の線型性）定理
3
F A (~ x + ~ y ) = F A (~ x ) + F A (~ y ) (~ x , ~ y ∈ K n ) (8) F A (λ~ x ) = λF A (~ x ) (~ x ∈ K n , λ ∈ K) (9)
線型写像 (2)— 定理 3 の証明
~ x =
x 1
x ... n
, ~ y =
y 1
y ... n
と~ x
と~ y
の成分表示をします．するとF A (~ x + ~ y) = (x 1 + y 1 )~ a 1 + · · · + (x j + y j )~ a j + · · · + (x n + y n )~ a n
= x 1 ~ a 1 + · · · + x j ~ a j + · · · + x n ~ a n
+ y 1 ~ a 1 + · · · + y j ~ a j + · · · + y n ~ a n
= F A (~ x ) + F A (~ y )
F A (λ~ x ) = (λ x 1 ) ~ a 1 + · · · + (λ x j ) ~ a j + · · · + (λ x n ) ~ a n
= λ(x 1 ~ a 1 + · · · + x j ~ a j + · · · + x n ~ a n ) = λF A ( ~ x )
線型写像 (3)— 定理 3 の拡張
行列の積の形では
A(~ x + ~ y ) = A ~ x + A ~ y , A(λ~ x ) = λ (A ~ x ) (10)
と表されます．これをまとめて得られるA (λ~ x + µ~ y ) = λ A ~ x + µ A ~ y (11)
および
(10)
を繰り返して得られるA ( c 1 ~ x 1 + · · · + c ` ~ x ` ) = c 1 A ~ x 1 + · · · + c ` A ~ x ` (12)
も有用です．この公式(12)
はX = (~ x 1 · · · ~ x ` )
と~ c = t ( c 1 · · · c ` )
を用いて
A(X ~ c) = (AX )~ c (13)
写像の合成
2
つの写像f : X → Y
とg : Y → Z
があるとします．このときg ◦ f : X → Z x 7→ g (f (x ))
が定義できます．これを
f
とg
の合成写像と呼びます．さらに写像
h : Z → W
がある場合はh ◦ g ◦ f : X → W
が定義できますが，これはh ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
と，合成をどの順序で行っても変わりません．行列の積の性質 (1)
定理
4 A
とB
はm × n
行列，X
とY
はn × `
行列，Q
は` × g
行 列とします．このとき次が成立します．(1) (A + B)X = AX + BX (2) A ( X + Y ) = AX + AY (3) A (α X ) = (α A ) X = α( AX ) (4)（結合法則） (AX ) Q = A (XQ)
行列の積の性質 (2)— 証明の準備（その 1 ）
定理
4
の証明の準備としてA = (~ a 1 · · · ~ a n ) , B =
~ b 1 · · · ~ b n
と~ x ∈ K n
に対して( A + B ) ~ x = A ~ x + B ~ x (14)
を示します．実際(A + B)~ x =
~ a 1 + ~ b 1 · · · ~ a n + ~ b n
~ x
= x 1 ( ~ a 1 + ~ b 1 ) + · · · + x n (~ a n + ~ b n )
= x 1 ~ a 1 + · · · + x n ~ a n + x 1 ~ b 1 + · · · + x n ~ b n = A~ x + B~ x
と示すことができます．行列の積の性質 (3)— 証明の準備（その 2 ）
(10)
で以下の最初の等号を示しましたがA (α~ x ) = α ( A ~ x ) = (α A )~ x (15)
が成立することも定理4
の(3)
の証明で使います．実際，2番目の 等号は~ x = t (x 1 · · · x n )
として(α A ) ~ x = α~ a 1 · · · α~ a n
~ x
= x 1 α~ a 1 + · · · + x n α~ a n = α( x 1 ~ a 1 + · · · + x n ~ a n ) = α( A ~ x )
行列の積の性質 (4)— 証明 (1)
(1)
両辺の
k
列を比較します．( A + B ) ~ x k = A ~ x k + B ~ x k
から分かります（(14)参照）．
(2)
両辺のk
列を比較します．A (~ x k + ~ y k ) = A ~ x k + A ~ y k
から分かります（(10)参照）．
(3)
各辺のk
列を比較しますが(15)
はA (α~ x k ) = (α A )~ x k = α( A ~ x k )
を導きます．行列の積の性質 (5)— 証明 (2)
(4) (13)
を用いると~ q ∈ K `
に対してA (X ~ q) = (AX ) ~ q
が成立します．Qのt
列を~ q t
とするとA (X ~ q t ) = (AX ) ~ q t
ですが，これは示すべき式の
t
列が等しいことを意味します．これ を用いるとA(XQ) = A(X ~ q 1 · · · X ~ q g ) = (A(X ~ q 1 ) · · · A(X ~ q g ))
= ((AX )~ q 1 · · · (AX )~ q g ) = (AX )(~ q 1 · · · ~ q g ) = (AX )Q
