• 検索結果がありません。

行列式の演算

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "行列式の演算"

Copied!
2
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

5

行列式の演算

行列式を計算するとき の 効率的な方法をど う 探すかを考え るために は、

行列式がど の よう な性質を持つかを良く 知る必要がある。

5.1 行列式の展開

前回3次の 行列で説明し た 事は、一般の n次正方行列の 行列式に も当 てはまる。

n次正方行列Aの 行列式|A|の 定義は余因子を使っ て

|A|=a11|A11| −a21|A21|+. . .+an1(−1)n+1|An1|

と定義し た が、こ れを|A|を第1列で展開し た 式と言う 。第1列の 代わ りに 第j列で展開する事もでき る。

|A|=a1j(−1)1+j|A1j|+a2j(−1)2+j|A2j|+. . .+anj(−1)n+j|Anj| た だし 、Aijは、元の 行列Aから第i行と第j列を除いた行列。

列でなく 行で展開する事もでき る。第i行で展開すると

|A|=ai1(−1)i+1|Ai1|+ai2(−1)i+2|Ai2|+. . .+ain(−1)i+n|Ain| が成り立つ。こ れは帰納法で証明でき るが、省略する。

5.2 行列式の性質

以下に 行列式の 満た す性質を挙げる。こ れらの 性質を使う と計算が簡 単に なる。

1. 正方行列Aの 行列式とそ の 転置行列AT の 行列式は同じ。つまり、

|A|=|AT|

以下、列に 対し て成り立つ計算はこ の こ とから行に 対し ても成り 立つ。

証明は |A|の 第1行で の 展開とAT の 第1列での 展開を見比べて 帰納法を使え ばいい。

17

2.

a11 . . . a1j+b1 . . . a1n

: :

an1 . . . anj+bn . . . ann

=

a11 . . . a1j . . . a1n

: :

an1 . . . anj . . . ann

+

a11 . . . b1 . . . a1n

: :

an1 . . . bn . . . ann

証明は左辺の 行列式を第j列で展開し てみればいい。

3. rを実数とし て、Aの 一つの 列をr倍すると、行列式はr倍に なる。

a11 . . . ra1j . . . a1n

: :

an1 . . . ranj . . . ann

=r

a11 . . . a1j . . . a1n

: :

an1 . . . anj . . . ann

こ れも左辺を第j列で展開するといい。

4. 二つの 列を入れ換え ると、行列式の 符号が変わる。いま、j < kと すると、

a11 . . . a1j . . . a1k . . . a1n

: :

an1 . . . anj . . . ank . . . ann

=

a11 . . . a1k . . . a1j . . . a1n

: :

an1 . . . ank . . . anj . . . ann

証明はちょっ と面倒だが、両辺をそ れぞれ第j列で展開し て、そ れ ぞれの 余因子に でてく る行列式を、もう 一度第k1列で展開し た 式をみるとよい。

5. 二つの 列ベクトルaj,akが等し いとき 、行列A= (a1, . . . ,an)の 行列式|A|の 値は0に なる。

j

`

k

`

a11 . . . a1j . . . a1j . . . a1n

: :

an1 . . . anj . . . anj . . . ann

= 0

18

(2)

証明は左辺で第j列と第k列を入れ換え ても行列が変わらないの で 、行列式は一緒だが、上の 性質4に より、符号が入れ替わるの で、|A|=−|A|が成り立つ。ゆえ に |A|= 0.

6. 一つの 列に 他の 列の 定数倍を加え ても行列式の 値は変わらない。

a11 . . . a1j+ra1k . . . a1k . . . a1n

: :

an1 . . . anj+rank . . . ank . . . ann

=

a11 . . . a1n

: :

an1 . . . ann

証明は、性質2、性質3と性質5を使え ばいい。

7. 正方行列Aが 正方行列B, C に よっ て、

A= B D

O C

!

また は A= B O E C

!

の 形に 分解されているとする。た だし 、O は成分がすべて0の 行 列を表わす。こ の とき 、

|A|=|B||C|

が成り立つ。

証明は B1×1行列の とき に はすぐに 分かる。あとは帰納法。

(教科書p.72参照)

8. A, Bn次の 正方行列とすると

|AB|=|A||B|

証明は、n次正方行列A, Bに 対し て

B −En

O A

=

En O A AB

を示す事で得られる。ただし 、Enn次の 単位行列。(教科書p.73 参照)

19

5.1 こ れらの 性質を使っ て次の よう に 行列式を計算する事ができ る。

2 0 5 4 0 1 1 3 7 2 0 0 1 2 0 0 0 −1 3 3 0 0 5 4 1

こ れに 性質7をつかう と、

=

2 0 1 1

1 2 0

−1 3 3 5 4 1

右側の 行列式で

21×2をすると

= 2·

1 0 0

−1 5 3

5 −6 1

1行で展開し て、

= 2·

5 3

−6 1

= 2·23 = 46

練習5.1 次の 行列式を計算せ よ。(教科書p.67問題3-2)

(i)

1 1 1 1 2 3 2 4 6

(ii)

2 5 2 0

−3 4 −2 7 1 0 1 8 5 2 −2 0

20

参照

関連したドキュメント

[r]

I Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary, Ronald de Wolf: Exponential Lower Bounds for Polytopes in Combinatorial Optimization. Gerards: Compact systems for

[r]

既発行株式数 + 新規発行株式数 × 1株当たり払込金額 調整後行使価格 = 調整前行使価格 × 1株当たりの時価. 既発行株式数

算定手法 算定式 有効 桁数 把握するデータ項目 番号.