線形代数Ⅱ 2007
期末試験問題（線形代数Ⅱ）
注意：途中退室を禁じます。教科書『線形代数とベクトル解析』の持ち込みは可ですが、
それ以外のノートやプリント等は不可とします。試験時間は５０分です。
１．２つのベクトルが
a = i + j + k, b = i + 2j + 2k
で与えられたとき，内積a･bおよび外積a×bを計算しなさい．また、このときaおよびb，
a×bを辺ベクトルとする４面体の体積Vを計算しなさい．ただし，i，j，kはそれぞれ右手 系デカルト座標系のx，y，z軸の正方向を向く単位ベクトル（基本ベクトル）である．
２．楕円面のパラメータ表示は次式で与えられる．
r (u, v) = [acosv cosu, bcosv sinu, csinv]
法線ベクトルNとその大きさ
N
を求めなさい．３．ベクトルvがスカラー関数fの勾配として表されるとき，次の式が恒等的に成り立つこ とを示しなさい．
curl v = 0
４．座標面（xy平面，yz平面，zx平面）と２つの曲面y = 1 – x2 ，z = 1 – x2 で囲まれた第 １象限（x > 0, y > 0, z > 0）の領域の体積を求めなさい．
ヒント xy平面上で２重積分を行うことを考えれば，立体の高さはzになる．
５．面 S はガウスの発散定理の仮定のように向きづけられているとして，発散定理を用い て次の積分を計算しなさい．
( ) ( )
[ ]
³³ − + +
S
dxdy y x z dzdx y x
y cos
22
3sin
26
2 ， S: x2 + y2 + z2 = 4線形代数Ⅱ解答例(2007)
１．定義に従って計算すればよい．
5 2 2 1 + + =
=
⋅
ba ，
j k
k j i b
a × = = − +
2 2 1
1 1
1
［各5点］４面体の体積Vは底面積をS，高さをhとすれば，V = Sh/3で与えられる．ここで，
2 2 2
1 × =
=
a bS
，h = a × b = 2
であるから，V = 1/3となる［10点］．
２．
ru = [–a cosv sinu, b cosv cosu, 0], rv = [–a sinv cosu, –b sinv sinu, c cosv] ［各5点］
だから，
N = ru×rv = bc cos2v cosu i + ac cos2v sinu j + ab sinv cosv k が得られる［5点］．Nの大きさ（絶対値，ノルム）は
( bc cos2v cos u ) (
2+ ac cos
2v sin u )2 + ( ab sin v cos v )2
=
N( b u a u ) a b v
v c
v
2cos
2 2cos
2 2sin
2 2 2sin
2cos + +
=
［5点］３．v = grad fより，curl vの各成分を計算する．例えば，x成分は
(curl v)x =
0
2 2
∂ =
∂
− ∂
∂
∂
= ∂
¸¸¹ ·
¨¨© §
∂
∂
∂
− ∂
¸ ¹
¨ ·
©
§
∂
∂
∂
∂
y z
f z y
f y
f z z f y
他の成分についても同様なので，curl v = 0は証明された［20点］（部分点は考慮した）．
４．z = 1 – x2 が立体の高さを与えるから，求める体積Vは
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
³ ³ = ³ ³ − = ³ − = ³ − = ³ − +
=
01 − − 01 10− 01 2 2 01 2 41 2 0
1 0 1 2
0
1 1 1 1 2
2 2 2
dx x x dx
x dx
y x dydx
x zdydx
V
x x x15 8 5 1 3 1 2 5
1 3
2
10 5
3
= − + =
»¼ º
«¬ ª − +
= x x x
［20点］（部分点は考慮した）５．ガウスの発散定理より
( ) ( )
[ y x y dzdx z x y dxdy ] y ( y x y ) z [ z ( x y ) ] dxdydz
S T
³³ cos
2− 2
3+ sin
2+ 6
2= ³³³
¯®∂ ∂ cos
2− 2
3+ ∂ ∂ sin
2+ 6
2 ¿¾½( ) ³³³
³³³ − + + =
=
T T
dxdydz dxdydz
y x y
x
2 2 22
6 sin 6
cos
最終的な３重積分は面Sで囲まれる立体の体積であるから，
π π 3 2 32 3
4
3=
⋅
［20点］（部分点は考慮した）．線形代数Ⅱ 2007
