問題 1

(1)

物理数学I演習中間試験 1

解答上の注意

1. 問題用紙4枚,答案用紙3枚.

2. 答案用紙にはそれぞれ氏名と学籍番号を明記すること.

3. 答案用紙は裏面を使ってもよい. その場合は「裏へ」と明記すること.

4. 答案の並びは問題番号の並びと違っていてもよい. 問題番号を明記すること.

5. 持ち込み不可.

問題 1

ある点 (たとえば原点)からの距離のみによって決まる力を中心力と呼ぶ. 中心力

F は位置ベクトルrを用いて一般に

F =f(r)r r

と表される.ここで f(r)はrのみによって決まる関数である. このとき中心力の場の中で運動する物体について,r×^dr

dt は時間によらす一定であることと,運動はある1つの平面内に限定されることを示せ.

2002年6月17日(小高正嗣)

(2)

問題 2

静止している直交座標系に対し, 第 3軸を軸として一定の角速度ωで回転する座標系の運動方程式を以下の手順で求めよ.

(1) 静止している直交座標系の基底ベクトルをe₁,e₂,e₃,回転する座標系の基底ベクトルをe⁰₁,e⁰₂,e⁰₃とする. このとき

de⁰₁

dt =ω×e⁰₁, de⁰₂

dt =ω×e⁰₂, de⁰₃ dt = 0, であることを示せ. だたし ω=ωe⁰₃である.

(2) 位置ベクトルr =xe₁+ye₂+ze₃ =x⁰e⁰₁+y⁰e⁰₂+z⁰e⁰₃ =r⁰について以下の関係が成り立つことを示せ.

dr⁰

dt = d⁰r

dt +ω×r⁰, d²r⁰

dt² = d²⁰r

dt² + 2ω× d⁰r

dt +ω×(ω×r⁰).

ここで

d⁰r

dt = d⁰x⁰

dt e⁰₁+ d⁰y⁰

dt e⁰₂+d⁰z⁰ dt e⁰₃, d²⁰r

dt² = d²⁰x⁰

dt² e⁰₁+ d²⁰y⁰

dt² e⁰₂+d²⁰z⁰ dt² e⁰₃ と表される回転系の時間微分である.

(3) 静止系での運動方程式

d²r dt² =F を回転系の表現に変換せよ.

(3)

問題 3

ベクトル場A,E,Hについて以下の問いに答えよ.

(1) rotAの第i成分をエディントンのイプシロンεijkを用いて表せ.

(2) ∇ ×(∇ ×A) = ∇(∇·A)− ∇²Aを証明せよ.

(3) x, y, z, tのベクトル関数E,Hが以下の式を満たすとする.

divE = 0, divH = 0, rotE=−1 c

∂H

∂t , rotH = 1 c

∂E

∂t .

だたし cは定数とする. このときE,Hは以下の微分方程式(波動方程式)を満たすことを示せ.

∂²E

∂t² =c²∇²E, ∂²H

∂t² =c²∇²H.

問題 4

(1) スカラー場ϕの勾配ベクトル場∇ϕの空間内の点Aから点Bにいたる経路 C 沿った線積分は

Z

C∇ϕ·dr =φ(B)−φ(A)

となることを示せ. ここでϕ(A)は点Aにおけるφの値を表す.

(2) rを位置ベクトルとするとき,面積分

Z

Sr·ndS

をSが以下の場合について求めよ.ただし法線ベクトルの向きはSの内側から外側にとる.

(i) 単位球面x²+y²+z² = 1.

(ii) 平面x=±1, y =±1, z=±,1で囲まれる立方体の表面.

(4)

問題 5

一階微分可能なベクトル場Aについて以下の問いに答えよ.

(1) Aが存在する空間内の閉曲面Sおよび Sによって囲まれた領域V を考える.

このとき領域V としてxyz 直線直交座標系における微小体積を考えることにより,ガウスの定理

I

SA·ndS =

Z

V ∇·AdV を証明せよ.

(2) Aが存在する空間内の閉曲線 C および Cによって囲まれた曲面 Sを考える. 曲面Sとしてxyz 直線直交座標系におけるxy平面に平行な面要素を考えることにより,ストークスの定理

I

CA·dr =

Z

S(∇×A)·ndS

が成り立つことを示せ. ただし法線ベクトルnの向きは Cの正方向(Cに囲まれた領域を右側に見る向き)に進む右螺の進む向きにとる.

問題 6

座標rを直交直線座標(x, y, z)に代わる3つの変数(u, v, w)で表す場合を考える.

u, v, wはともにx, y, zの関数である. u曲線とは，v, wを固定してuを変化させた時に座標rが描く軌跡のことを言う. その接ベクトル r_uは次式で与えられる

r_u = ∂x

∂ue_x+ ∂y

∂ue_y+ ∂z

∂ue_z v, w曲線およびその接ベクトルr_v,r_wは同様に定義される.

(1) 円筒座標と球座標についてそれぞれの接ベクトルを全て求めよ

(2) 円筒座標と球座標について,各方向のスケール因子(接ベクトルの大きさ)を求めよ.

(3) 円筒座標と球座標はともに直交座標系であることを示せ.