三角形 ∆n の重心を zn = xn +iyn とする．三角形 ∆n の3頂点のx座標の最小値を an, 最大値を bn とする．また，三角形 ∆n の3頂点のy座標の最小値を cn, 最大値を dn
とする．an と cn は単調増加，bn と dn は単調減少であり，
a1≤an < bn ≤b1, c1 ≤cn < dn ≤d1, lim
n→∞(bn−an) = lim
n→∞(dn−cn) = 0
であるから，an と bn はある共通の極限値 x0 に，cn と dn はある共通の極限値 y0 に収 束する．z0= x0+iy0 とおく．an ≤xn ≤bn かつ cn ≤yn ≤dn であるからzn も z0 に収 束する．自然数 k を固定すると n ≥ k のとき zn ∈∆n ⊂ ∆k であり，∆k は閉集合だか ら，zn の極限 z0 も ∆k に属する．特に z0 ∈∆⊂D であるから，f(z) は z0 で正則であ り，補題3.1より
f(z) =f(z0) +f′(z0)(z−z0) + (z−z0)φ(z), lim
z→z0
φ(z) = 0
を満たす複素関数 φ(z) が存在する．f(z0) +f′(z0)(z−z0) は1次関数であり Cにおいて 原始関数を持つから，定理4.1により任意の n について
∫
∂∆n
{f(z0) +f′(z0)(z−z0)}dz = 0 すなわち
∫
∂∆n
f(z)dz =
∫
∂∆n
(z−z0)φ(z)dz が成立する．φ(z) は ∆ で連続であるから|φ(z)| の ∆n における最大値 Mn が存在する．
∆n の3辺の長さの和を δn とすると（∆0 = ∆ としておく）任意の自然数 n について z0∈∆n であったから，z ∈∂∆n のとき |z−z0| ≤δn であり，命題4.5より
|I(∆n)|= ∫
∂∆n
f(z)dz =
∫
∂∆n
(z−z0)φ(z)dz
≤l(∂∆n)δnMn = δn2Mn = δ204−nMn
が成立する．これと(4)より
δ024−nMn ≥ |I(∆n)| ≥ 4−n|I(∆)| ≥0 すなわち δ20Mn ≥ |I(∆)| >0
を得る．z∈∆n のとき |z−zn| ≤δn →0 であることと z →z0 のとき φ(z) →0 となる ことから limn→∞Mn = 0 である．以上により I(∆) = 0 であることが示された．□ 定義 4.5 D を C の開集合とする．
(1) D が凸集合であるとは，D の任意の2点に対して，その2点を結ぶ線分が D に含 まれることである．
(2) D が（α に関して）星形であるとは，D の点 α が存在して，任意の z ∈D に対し てα と z を結ぶ線分が D に含まれることである．
凸集合 D 星形集合
α z
D
注意 4.1 (1) D が凸集合ならば D は D の任意の点について星形である．
(2) D が α について星形ならば，任意の z1, z2 ∈ D に対してz1, α, z2 を順に結ぶ折れ 線は D に含まれるから D は（弧状）連結である．
例 4.17 複素数平面 C，上半平面 H = {z ∈ C | Imz > 0}，開円板 U(α;r) = {z ∈ C |
|z−α|< r}，はすべて凸開集合，従って，その中の任意の点について星形開集合である．
D = C\ {x ∈R|x ≤0} はたとえば 1 に関して星形である．一方 C\ {0} は星形でない．
定理 4.3 f(z) が C の星形開集合 D で正則ならば，D で正則な関数 F(z) であって F′(z) =f(z) を満たすもの，すなわち f(z) の D における原始関数が存在する．
証明: D は α ∈D に関して星形であるとする．任意の z ∈D に対して Cz を α を始点，
z を終点とする線分として
F(z) =
∫
Cz
f(ζ)dζ
により D を定義域とする複素関数 F(z) を定義する．z0 = x0 + iy0 ∈ D とするとき F′(z0) = f(z0) を示せばよい．D は開集合だから，ある r >0 があって U(z0;r)⊂D と なる．従って |z−z0|< r のときz0 と z を結ぶ線分 lz は D に含まれる．α, z0, z を頂点 とする三角形 ∆ の周を ∂∆ （この順番に向き付ける）とすると，定理4.2より
∫
Cz0
f(ζ)dζ+
∫
lz
f(ζ)dζ−
∫
Cz
f(ζ)dζ =
∫
∂∆
f(z)dz = 0 が成立するから lz のパラメータ表示 z = z0+t(z−z0) (0≤t≤1)より
F(z) = F(z0) +
∫
lz
f(ζ)dζ = F(z0) + (z−z0)
∫ 1 0
f(z0+t(z−z0))dt よって
F(z)−F(z0) z−z0
=
∫ 1 0
f(z0+t(z−z0))dt
が成立する．f(z)はz0で連続だから，任意の正の実数εに対してある正の実数δ があって z ∈D かつ|z−z0| < δ ならば|f(z)−f(z0)|< ε が成立する．従って |z−z0|< min{δ, r} ならば
F(z)−F(z0) z−z0
−f(z0) =
∫ 1 0
f(z0+t(z−z0))dt−
∫ 1 0
f(z0)dt
≤
∫ 1
0
|f(z0+t(z−z0))−f(z0)|dt <
∫ 1
0
ε dt =ε が成立するから，F(z) は z0 で複素微分可能であり
F′(z0) = lim
z→z0
F(z)−F(z0) z−z0
=f(z0).
□
α z z0
D
Cz
Cz
0
lz
C D
定理 4.4 (星形開集合における Cauchy の積分定理) f(z) が Cの星形開集合 D で正則 ならば，D内の区分的になめらかな任意の閉曲線 C に対して
∫
C
f(z)dz = 0
証明: 定理4.3によって D においてf(z) の原始関数F(z)が存在するから，定理4.1によ り結論を得る．□
例 4.18 α を複素数の定数として，f(z) = eαz
z2+ 1 とおく．r を正の実数（定数）として，
Cr を円周 |z| = r とする．0 < r <1 ならば Ir :=
∫
Cr
eαz
z2+ 1dz = 0 が成立する．実際，
f(z) は D := C\ {i,−i} で正則である．D は星形ではないが，D′= {z ∈C| |z|< 1} は 凸集合だから星形であり D′ ⊂ D より f(z) は D′ で正則である．また 0 < r < 1 より Cr は D′ に含まれる．従って D′ と f(z) に定理4.4を適用して結論を得る．一方 r > 1 のときは Cr を含むような D の部分集合であって星形開集合であるものはとれないので，
Ir = 0 とは結論できない．
i
−i 0
1
Cr D′
C1 C2 D
α β
定理4.3と定理4.1から次の定理（定理4.4と同値であるが）も導かれる．
定理 4.5 f(z) を C の星形開集合 D で正則な関数とし，α, β を D の2点とする．C1 と C2 を α を始点，β を終点とするD内の区分的になめらかな２つの曲線とすると
∫
C1
f(z)dz =
∫
C2
f(z)dz
なお，定理4.4と定理4.5はD が単連結開集合，すなわち D 内の任意の閉曲線を D内 で連続的に変形して１点にできる（D のホモトピー群が単位元のみからなる）という条 件の下で成立する．（星形開集合は単連結であるが，逆は成立しない．）
問題 4.11 次の各々の線積分について，Cauchy（コーシー）の積分定理（定理4.4）が適 用できて 0 になることが結論できるか？理由も述べること．(0 と結論できない場合は積 分の値を求める必要はない．0 になる可能性があってもよい．）
(1)
∫
C
exp(z)dz (C は 円周 |z|= 1)
(2)
∫
C
ez
z2+ 4dz (C は 円周 |z|= 1) (3)
∫
C
ez
z dz (C は 円周 |z|= 1) (4)
∫
C
1
z4−16dz (C は4点 1, i, −1, −i を頂点とする正方形の周) (5)
∫
C
z
ez+ 1dz (C は4点 1−i, 1 +i, −1 +i, −1−i を頂点とする正方形の周) 問題 4.12 (発展) C を z = eit (0 ≤t≤π)でパラメータ表示される曲線（半円周）とす るとき，
∫
C
1
z2+ 3dz の値を求めよ．（ヒント：定理4.5を用いて積分路を変える．）