1
論 文】 日本建築学会構造系論文報告集第 438 号・
1992 年8月Journa
］o正Struct．
Constf．
Engng，
Alj，
ND、
438、
Aug．
，
1gg2浮 遊 式 海 洋 人
工
島
の
連 成 自由振 動 特 性
浮 遊
弾 性 円板
の流体
〜
構
造物 相
互作
用解析
その1
’
COUPLED
FREE
VIBRATIONAL
CHARACTERISTICS
OF
ARTIFICIAL
FLOATING
ISLANDS
FIuid
−
structureinteraction
analysis offloating
elastic circularplate
Part
1
濱 本 卓
司＊， 田
中彌
壽
雄
＊＊
乃 走
確
ffAMAMOTO
andYasuo
TANAKA
Coupled
free
vibrational characteristics of the 且arge−
scaled circular island which Isf1oating
』
Qnthe sea of finite depth and anchored byしension
−
legs to the seabed are investigated．
Hydrodynamicpress田 e acting on the wetted surface of the
istand
is obtainedin
crosedfQrm
on thebaSis
of alinear potential
flow
theory．
The
frequency
equation governing the motion of theisland
．
anchor．
water coupled systemis
derived
and solvedby
Rayleigh−
Ritz method．
Numerical examples arepresented
toillustrate
the
variation
ln
coupled
free
vibrational characteristicsdue
to the．
islandthickness
，
waterdepth
and anchor arrangement and sしiffness．
KeytOonis ：
floating
iSland，
fluid
−
structure interaction，
couptedfree
vibr4tion，
Rayleigh・
Ritz method，
Potentiat
ftow
theory，
elastic at’
rcorlar
Plate浮 遊 式 海 洋
人
工島，
流 体一
構 造 物 相互作 用，
連成自由振動，
レー
リー・
リッ ッ法，
ポテン シャル流れ 理論
，
弾 性円板 §L
序 海 上 都 市，
海 上 空 港，
海 上 プラン ト等の人 工 地 盤 とし て用い られ る大 規 模 浮 遊 式 海 洋構 造 物に お い て は，一
般 に その面 積に比して厚さ寸 法が小さ く なり，
剛 体 運 動の みで な く構 造 物 自体の変 形が顕 著と な る。 この た め，・
比 較 的 小 規模な 浮 遊 式 海 洋 構 造 物で は無 視 し う る 構 造 物の 変形と海 水との動的相互作用が， 動 的 応答挙動に大き な 影 響 を与え ること が 予想される。
本 報で は，
こ の よ う な 現象を 定 量的に把握 す ること を 目的と して，
構 造 物全体 を連続 体と見な し，
解析的アプロー
チに よ り海 上に浮 遊 す る弾性円形平板の連 成 自 由振 動 解 析 を定 式 化す る と と もに，
解 析 結果に基づ いてその振 動特性 を 明 らか にす る。
波浪 や 地震の よ う な動 的外力を受け る薄 肉 海 洋 構 造 物 と し て，
シェ ル壁の弾 性 変 形と海 水との動 的 相 互 作 用に 着目 し た 固定 式 海洋 シェ ル に関 する研 究が多く報 告され て い る。
濱 本・
田中1）“
4jは解 析 的アプロー
チ に よ り固定 式 海 洋 円筒シェ ル の連 成 自由 振 動，
波浪応 答，
お よ び 地 震 応 答を検 討し，
さ ら に海 洋 貯油・
貯 水タン クを対 象と し た 外 部 液 体一
シェ ルー
内 部 液 体の連 成 振 動 間waSL6
），
お よ び 海底 地盤 との動的 相互 作 用 を考慮し た液体一
シェ ル〜
地 盤の連 成 振 勤 問 題ηへ と展 開した。
遠 藤・
登 坂SP は固定 式 海 洋円筒シェ ル の水 槽 実 験を行い、
波 圧 分 布に 及ぼす 弾 性 変 形の影 響につ い て検 討 し てい る。 円 筒シェ ル以 外で特 定 形 状の海 洋シェ ル を対 象と し た解 析 的 研 究 とし ては，
球 形 シェ ル を 扱っ た 西 村・
神 薗9宅 円 錐 シェ ル を扱っ た西村・
新宮1°】が ある。
こ れ に対し， 登坂 H］お よ び西村12） は境界積分方程式 法に［
k
り任 意 形 状の 海 洋 シェ ル の 動的 挙 動 を求め る 方 法 を示 したe また，
Cheung ・Cao ・Wu13t
は有限帯板 法に無 限要素を導入 した 混合数 値 解析法 を開 発し
，
数 値結 果を円筒シェ ルの理 論解fi］と 比 較 し て その有 効 性 を確認 し た。
西 條・
小 寺｝4 ） は有 限 要素法に よ る軸対称シェ ルの連 成自由振動 解 析 法 を示し，
円筒シェ ル の結果］）と比 較し て シェ ル の回転 慣 性 項の影 響 を検 討した。
一
方， 別の タイ プの薄 肉海 洋 構 造物で ある浮遊式 平 板 構 造に関する研 究は，
長 方 形 平 面に限り，
平 板の弾 性 変 形と海 水との動 的 相互作 用に着 目し た研 究が行わ れ て い る。 Wen・
Shinozuka ⊥51は，
長 方 形 平面の 浮 遊式 海 洋 構 ＊ 武 蔵 工 業 大 学 工 学 部 建 築 学 科．
助 教 授・
博士 （工 学） 林 早稲田 大学理 ユニ学 部 建 築 学 科 教 授・
博 士 （工 学 ｝Assoc
．
PrQl．
，
Dept．
ol Arcbitecture，
Musashi Instlしute of Tech．
no ［ogy，
Di．
Eng．
Prof
．
，
Dept，
of Arcbi［ecture，
Waseda Univ．
，
D圧，
Eng，
造 物 を両 端 自 由の
一
次 元 梁とし て モデル化し， 海 水 領 域 に関す る二次 元ポ テンシャ ル問 題を解い て動 的 挙 動 を検 討 し た。 さら にWen16
〕 は，
構造物を周 辺 自 由の平 板と して モデル化し，
海水 領 域に関す る 三次 元ポ テンシャ ル 問 題を解くこ とに よ り 同 じ問題を再検討し た。 ま た二次 元 問 題で は あ るが，
岡 本・
増田・
加 藤171やBabu ・
Reddy18
）の よ うに構造物と海水 領域を と もに有 限 要 素 に よ り モ デル化す る方 法や，GeorgiadisL9
）の よ う に構 造 物を有限要 素に より，
ま た海 水 領 域を境 界 要 素に よ り モ デル化す る方 法 等 数 値 解 析 手 法の適 用 も見られる。
これに対し，
本 研 究で対 象 と するの は円形 平 面の大 規 模 浮 遊 式 海 洋 人工島である。
円形 平 面の浮 遊 式 海 洋 構 造 物は，
波 浪の 入射 方 向にか か わらず同じ動 的 挙 動を示す という 点で構 造 的に有 利な形 状であ る と と も に，
構造物 の 三次元挙動 を解析的に取り扱うこ と ができ，
今後 有 限 要素法や境 界 要素法の よ う な数値解 析手法により任 意の 平 面 形 状 を有する大 規 模 浮 遊 式 海 洋構 造 物の 三 次 元 動 的、
解 析 を行 う際の指 標と な り得る と考え ら れ る。
これ まで，
円 形 平 面の浮 遊 式 海 洋 構 造 物に関する研 究は，
Garret2°1，
伊 藤
・
木 原Zl ），
井 島・
田 淵・
湯 村ZZI，
Liou・
Penzien・
Yeung23
〕 らが あ るもの の，
いず れも構 造 物は剛 体と見 な さ れ て お り構 造 物の変 形を扱っ た研 究は行わ れ て い な い。
規 準モー
ド法に よ り波 浪お よ び地 震に対する応 答 解 析 を 行う場 合，
構 造 物の弾 性 変 形の みを考 慮し た連 成 自由 振 動 解 析！4 ）の 結 果 を 用い ると，
弾 性 変 形に関 するモー
ド ご との非 連 成 運 動 方 程 式を剛 体 運 動に関 連し た動 的 釣 合 式 と 連 立 させ て解 く必 要が生じ る25 脚。
こ れ に対し，
剛 体運 動と弾性変形 をと もに考 慮した連 成 自 由振 動 解 析2T｝ の結 果 を用い る場 合は，
モー
ドごとの非 連 成 運 動 方 程 式 の み を 用い て，
直 接 応 答を求める こ と が で き る28）。
こ の よ うな応 答 解析へ のつ ながりを考え て，
本 研 究で は後 者 の連 成 自 由振 動 解 析 を採 用 することに した。 ま ず，
静穏 な海 面 状 態の もとで，
剛 体 運 動と弾 性 変 形の連 成で自 由 振 動す る人工 島の下面に作 用す る動 水圧 を， 線 形ポテ ン シャ ル理 論に基づ き領 域 分 割 法 を適 用して解 析 解 として 求め る。
次にLagrange
方 程 式 を用い て，
こ の動 水 圧 を 振 動数に依存す る付加 質量 と して評価する ことによ り， 人工島〜
海 水〜
アンカー
連 成 系の固 有 値 問題 を定 式 化す る。
さらに解 析 結果に墓ついて，
人〕二島の剛 性，
人 工島 の設 置 水 深，
ア ンカー
の配 置 方法，
お よ びア ンカー
の 剛 性が 人 工島の連 成 自 由振 動 特 性に与え る影 響につ い て検 討す る。
§2．
解 析モデル と仮 定 静 穏な海 面 状 態に おい て連 成 自由 振 動する浮 遊 式 海 洋 人工島をF
重g．
1に示す。
人工島は巨 視 的な観 点か ら弾 性円板と し て モ デル化し，
アンカー
は テンション レグ形一
166
一
r．
θ 一 a η zh辱
，
P
−
7
−
N ≡
1冒
≡噛
’
H”
冒■
早
d d 多 ／Fig
．
1 Geome吐ric parameters of a flexible ci【cu 且ar noatmgisland
p
a
一
（a）WiIhou ［ anchor （b）Ring
anchor （c）Disしribu しed
anchQr
Fig
．
2Three
types of anchor system for a f【exLble circularfloating is【and 式と す る。 図 中
，
a は円板の半 径，h
は 円板の板厚，d
は静穏な海 面と海 底との 距 離 〔設 置 水 深 ），
d
は円 板 下 面と海 底との距離 （し た がっ て円板の吃水はd −
d）で あ る。 座 標系は， 円板の 中心 を海 底 面に投 影し た点 を原 点と す る 円筒 座 標 系 （r，
θ，
z） を 用い る。
繋 留 方 式 と して はFig．
2
に 示す よ うに，
アン カー
の ない 自由 浮体 の場合，
円板周 辺に リング状に アンカー
を配置し た場 合 （リング状ア ンカー
），
お よび円板下 面に一
様に アンカー
を分 布 配 置し た場 合 （分 布ア ンカー
〉の 3形 式を考え る。 大 規 模浮 遊 式海 洋 人工島の連 成 自由 振 動 解析の定 式 化 に際して導入 す る仮 定は以下のと お りであ る。
1） 人 工島の周 辺外 側に は摩 擦の ない リ ング状の ガ イ ド が配 置され て おり，
人工尉の横 揺れは生 じな い。
2） 人 工 島は等 質・
等 方性・
線 形 弾 性であり，
その厚さ は一
定で ある。 3） 海 水は非 粘性・
非圧縮 性・
渦な しであ る。 4） ア ンカー
に は常に引張力 が作 用し，
その挙 動は線 形 弾 性で ある。 5） ア ンカー
の質 量 効 果は無 視で き る。 6） 連 成 系の運 動は線 形 振 動 理 論に支 配さ れ る。
7） 海 底 面は水 平で，
海 水 領 域は無 限に広が っ て い る。
§3．
動 水 圧 と繋 留 力 人 工島〜
海 水一
ア ンカー
連 成系が自 由 振動す る と，
人 工烏下 面に は動 水圧 が 発生し，
さ らにアン カー
を構 成す る鉛 直 繋 留 索 （テン ドン）の張 力 が 作 用 す る。
こ の時，
人工島は上下 （ヒー
ブ｝お よび回転 （ピッ チ〉の剛 体運 動と面 外 弾 性 変 形との 連 成で振 動する。
ζ（7・
，
θ，
t）＝
ξ（t
｝十ω（t
）rCOS θ十ω（r，
θ，
t＞・
・
t・
L・
・
………・
…・
……一 …・
（1） こ こ に，
ζは円板の全変位，
ξは 上下剛体 変 位，
ω は回 転 剛 体 運 動の回 転 角，
w は面 外 弾 性 変 形で あり，
それそ れ以下の よ うに表 せ る
。
ξ（t｝＝
ξ』exp （i
σt）・
…・
…
……・
………
……・
・
（2a） ω（t）＝
ω。exp （i
σt）…・
……・
…・
……・
………．
（2b）an
co
w （
．
r，
θ，
tP
Σ］Σ］w砺rn（r）cos ηθexp （i
σt） n＝
o皿＝
1…一……・
…・
…・
………一・
・
（2c） こ こ に，
σ は連 成固有円振 動 数，t
は時間，
i
＝ ♂＝丁，
n は 円 周方 向フー
リエ 展開 波 数 ， m は半 径 方 向モー・
ド「
次 数，
命と ω 。 は それぞ れ ξ（t）お よ び ω（t）の振 幅，
ωnm （r）は θ・
・
Oに お け る nm 次 半 径 方 向 弾 性モー
ド形 である。
式 （ユ）は以 下の ように表 すこともでき．
る。
ζ＝
Σ］・
齢（r｝cos nθexp （i
σt）…・
・
…………
（3 ．
＞ n＝
0．
こ こ に，
m
tO ζ』（r）＝ ξ』十Σ］Wo近（r）
＝
Σ］90m
（r）・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4a）皿
＃
1．
皿
曽
1tO
ζ1（r）
＝．
ω。r十’
Σ wlen〔r）＝
Σ】ζlm（r）………
（4b ＞ 加；
I M＝
1の
tO
gn
（r）＝
Σ二 Wnm 〔r）＝
Σユ9nm
（r） （n＝
2，3，
4，
…
） 蹴i1
皿i1
・
・
rP・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
（4c＞ 式 〔4a〜
c）は，
各 円 周 方 向フ．
一
リエ 展 開 波 数 n ご とに，
剛 体モー
ドと弾 性モー
ドを分 離 し た表 現と，
剛 体モー
ド と弾．
性モー
ドを一
括 して扱う表 現と を示して い る。 す な わ ち，
．
Wrm （r）が 剛体モー
ドを除い た純 粋な nm 次半 径 方 向 弾 性モー
ド形で あ る の に対し，
鰍 （7）は 剛体モー
ドと弾 性モー
ドをと もに含む nm 次半径方 向モー
ド形 である。
連 成 自由 振 動 時に人工島 下面に発生す る 動水圧 は，
平 面 形 状 が 円 形であ る場合
に限っ て，
線 形 ポテン シャル理 論に基づき解 析 的な形で誘 導する こ と が で．
きる。
こ の際 海 面で の境 界 条 件が r＝
αの 円筒 状 境 界の内 側と外 側と で異な る た め，
Fig．
3に示す よ うに海 水 領 域を 人 ：ll島 直 下の内 部 領 域 （r ＜a）とそ．
れ以 外の外 部 領 域 （r ＞a） とに分 割し，
各 領 域の速度ポ テン シャ ル を それ ぞれ φlt 】1
．
−
Fluid
−
structure interface（z≡
d） Fr6e surface’
6 〔z≡
d）l
i．
l
ll
・1
・… rn・1：
・egi・・1
’
Regi・・ E・【・・ aし
翳
・i
甲
…
、， i三
tξ
lface
i
l
…
、．，。m 。1，eg 、。n Il
I （r ＞ a） I l I Seabedl
．
1
3
’
i
m
i
Fig
，
3 Fluid demain divided into two regionsお よび
ille
）と 表す。 外 部 領 域の速 度ポ テンシャ ルilceF
は 以下の境界 値問題 を満 足する。
・・ 礁
難
・÷
筈
・÷
．
奮
・響
一
・ ：0≦z ≦d ，
r＞α…
（5a．
）讐
・搾
罪
一 … 一 … 〉・……
（・b
）讐
一
…一
・・
r
・・…一
（・・）｝
聖
・圭（
響
一
姻
一
・・ r−
・ ………・
…
（・d
） こ こ に，
g は重 力 加 速 度である。
式 （5a）は渦な し・
非粘性・
非 圧 縮 性の流 体 場 を支 配 する ム妙♂α ‘6方 程 式，
式 （5b
｝は海 面に おける 自 由 表 面 境 界 条 件，
式 〔5c） は海 底 面に お ける固定 境 界 条 件，
式 （5d）は無 限遠 点 に お け る放 射 条 件 を表し てい る。
式 （5a〜d
） を 満 足 する解は次 式で与え ら れ るzgJ。
ゲ ー
測
恥鷄
i
・・sh （・・）・
罍
・。鰡
・ ・s ・副
・
cos n θ exp （iat）……・
・
…一 …・
一 ・
（6）こ こ に，
H
叡 κの は n 位の 第 2種ハ ン ケル関数Kn
（島7 ）は n 位の第2種 変 形ベ ッ セル関数，Bn
。とC
． は 未 定 係 数，
h お よび k丿 は以 下の超 越 方 程 式 を 満足 す る 波 数である。
σ ！
；
kg
tanh
（kd
）＝− h
，9 tan 〔h
丿d
）・
・
……・
（7
）一
方，
内 部 領 域の速 度ポテ ン シャ ル φ1‘
1は以 下の境 界 値問題 を 満足 する。
▽ tdi‘”
＝
O：O≦z ≦
d ，
r＜α…一 …
（8a
）籌
蕩
・・−
d
．
｝
・・……・
…・
一
（・b
）讐
一
…一
い く・・
・
・
・
・
・
・
… 一
∴
〔・・） 式 （8b ）は人工島下 面にお け る人 工 島と海 水との 運 動 の連続条件を表して い る。
式 （
8a −
c） を 満足 する解
は次 式で与え ら れ る。・…
一
嵐
［
・n 。（
一
：
）
n ・劃
・。鷹 ｝
・ ・s ・1
．・1
・識
黔
瑠
h
躑
・
∬
弼・（r）Jn
（・締 ・・｝
］
・・s・n・・exp （i
・t
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
7r7
甲
・
…曁
・
・
…一・
（9） こ こ に，
In（ls
r）は π位の第 1種 変 形ベ ッ セ ル関 数，
Jn．
C
λntr
）は n 位の第 1種ベ ッセ ル 関 数，
D
。 。とDns
は未 定 係 数，ls＝
sπノd，
λ肥
は Jn（ Ans）＝
0を 満 足 す る 正の s 番目あ 楓 λ畆＝
λ肥 ／α で あ る。
式 （9）の 第 1項と第 2項は式 （8b ）の 右辺 を0・
とおY
、て求めた同 次 解，
第一
167
一
3
項は式 （8a〜
c｝ を 満 足す る特 解に相 当 する （補 遺 1 お よ び補 遺 2参 照 ）。
式 （6）と式 （9）に おい て，
各 領 域の 速 度ポテ ン シ ャ ル は未 定 係 数を含む解 析 解と して求め ら れ た。 こ の未 定 係 数は，
両 領域の境界 （r＝ a）に おいて，
以下の 連続 条 件を課すこ とに よ り 決定することがで きる。 ∂φ〔e］＿
∂φ〔il ∂r ∂f響
一
・ φ［el＝
diU
］ ：0≦2≦d，
T＝
α……・
（ユOa ） ：d≦z ≦d、 「＝
α’
’
’
’
”
（10bl ：0
≦2≦d ，
γ＝
α・
・…
（10c
） 式 （10a，b
）は速 度 ポテン シャルの半 径 方 向 勾配の連続 条 件 （物理 的には前 者は海水の運動の連 続条件， 後 者は 人工島側面に お け る固 体境界 条 件に対 応す る｝，
式 （10c
｝ は 速度ポ テンシャ ルの連 続 条件 （物理 的に は圧 力の連続 条 件 ｝で ある。
式 （6）と式 （9） を式 （10a，b
）に代入 し，
両辺に cosh 〔k2
）を乗 じ，
2 に関し て区 間 ［0．
d］で積分 す る と次 式を得る。b
・B
・・− d
・D
・ ・＋鶉儀
s
肥P
融葱
争
一
7
一娠
）
……・
……・
……・
…・
………
（11） こ こに砺
十
…h
（・kd
）…dliin…………
（12
・）d
・一蓋
・i・h （爾
・
……・
・
・
・
・
………・
・
（12b ）・・
「
纛
・C・s ・・・・…hl
・U
）・
…・
…
・12・）Tns
＝
＝ 、歯
1
・ms
・・sh （廁一hsinh
（hd
）coth （λ妻sd ）｝・
・
…
……
（12d ｝L
・msイ
9
・m（・麟 紬…・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（12・）瓦 一
髣
灘哥
κ・
・
・
・
・
・
…一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
……・
∴・
…
（12f）一
∬A
（t
．a）1・s
＝
ln
（♂。
ω 恥’
… ’
’
’
”… … ’
… ”鹽
幽
’
”
（129 ）了。
一
鷺｛
瓢
、…・
………一 ……・
…・
・
…・
（・2h
・ 式 （12f，
g，
h
｝の’
は そ れ ぞ れ ∂／∂（hr
），
∂／∂（lsr
），
∂／∂（嬬 7）を表して い る。 式 （11）を導くに際 して，
以 下の直交関係を用い た。∬
・ ・sh （hz
）・ ・s （k
・・）dz −
………
（13） 式 （6）と式 （9｝を式 （10a
，
b
）に代入 し，
両辺 に cos （hjZ
）を乗じ，
Z に関 して区 間 ［O，
d
］で積 分 す る と 次 式 を得る。
鷹 ・−
d 版 ＋蠹
σ
説 恥 ・嵩
争
7
丁紘
一）
一 168一
（ノ＝ ユ2，・
・
・
〉・
・
・
…
『
・
・
一・
・
一・
・
・
・
…
一・
一
鹽
（14） こ こ に，
・
嚇
丿
… （・・・… ）・・…eil
’
……・
…
（15
・）dtt
，一
螽
・i
・（h
・a
）・
−
tt……・
……・
…・
・
（15b ）・愍
一
纛
・ ・S・・…i
・・…a
…ttt
……
… 15・・・熟
一
、 怒転
ll
・as
・ ・sh・（・・d
｝ 十k
∫sinh （島〔1
｝coth （λmSd
〕｝・
…
…・
（15d ）π・
一
黯
｝
・・
…・
一 ………・
…・
・
……
（15・・ 式 （15e ）の尸
は ∂／∂（hjr
）を表 して いる。 式 〔6
｝ と式 （9） を 式 （10c ）に 代入 し，
両辺に cos 〔1
。z）を乗じ， 2 に関して区 間 ［O，
d
｝で積 分す る と次式 を得る。
S
晶 ．唱
部 。一
ε蜘
。 （s−
・，
・，
・，…
｝………・
……・
…・
………
（16） こ こ に，
εo＝
2，
ε8＝
1 （s≧1 ）であ る。
式 （ll），
（14），
（16）は，
未 定 係 数Bn
。，
C．
・
（ノ＝
1，
2，…
），
D
． （8＝O．
L2
，…
） に 関 す る無限個の連 立 方 程 式 を 構 成す る。
し た がっ て，
実 際に連 立 方 程 式 を解くためには，
」と S に関す る 無 限 級数を計 算 精 度に見 合っ た適 切な項 数で打ち切る 必要が あ る。
こ の た めのj
の項 数 をM，
s の項 数をL と す る。
未 定 係 数 を 決 定し た後，
海 上で の 連 成 自 由 振 動 時に人 工島 下面に作 用 す る動 水 圧 p は，
以 下の線 形 Bernoulti式に よ り求ま る。・
一一
・瑠
L
−
・．
・ζ・
…・
……・
…・
……
・17） こ こ に，
ρw は海 水の質 量 密 度であ る。 アンカー
で繋 留 する と，
動水圧に加え て テン ドンの張 力が作 用す る。
リ ング状ア ン カー
の場 合，
円周 方 向 単 位 長さ当た り の張 力の 変動 成 分 は次 式とな る。
Pc（r＝
α，
θ，
t）＝− hc
（r＝
a，
θ｝ζ（r＝
α，
θ，
t）・
・
：・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
…
（r8） こ こ に，k
，Cr ・
＝
a，θ）は リン グ状ア ン カー
の 円 周 方 向 単 位 長さ当た りの剛 性で ある。一
方，
分 布ア ンカー
の場 合，
単 位面積 当た りの張 力の変 動 成 分は次 式と な る。 Pd（r，
θ，
t
）＝− h
，〔r，θ）ζ（r，θ。
t）・
・
t・
・
−t・
一…
（19） こ こ に，
鳳 7，
の は分 布ア ン カー
の 単 位 面 積 当たり の 剛 性で ある。
以 後，hc
（r＝
・
a，
の お よ び ha（r，
θ）は 空 間座標に独 立な定 数 と 見な し辰 （r＝
a，
の；
κ。，kd
｛r，
e）；h
， と する。 な お本 研 究で は，
リング状アン カー
の剛 性 に人工 島 周辺の長 さ を乗 じた全 剛 性と分 布ア ン カー
の剛 性に人ll
二島 下 面の面 積を乗 じた全 剛 性と が 同 程 度で あるものと し，
リング状アンカー
の剛 性は分 布アン カー
の剛 性に比 して遙か に大きい 場 合 を考え る。
§
4．
空 中での 円板の自
由 振 動 海 上での連 成 自 由 振 動 解 析に は Rayleigh−
Ritz法 を 用 い る。
こ の際，
人 工 島 周 辺における変 位 境 界 条 件お よび 応 力境界 条件を厳 密に満足 する空 中で の弾 性 自 由振 動 モー
ド形を求め， 剛体モー
ド と と もに適当な数だ け重 畳 す ることに よ り海 上で の連 成モー
ド形 を仮 定す る。
アン カー
の ない 自由 浮 体 状 態お よ びア ン カー
を人工島下 面に一
様に分布さ せ た状 態は周 辺自 由の境 界 条件に対応 し， アン カー
を 人 工 島周辺 に リン グ状に配 置した状 態は単 純 支 持の境 界 条 件に対 応する。
そ こ で，
厳 密 解 法に よ り両 境 界条 件の も とで空 中で の 自 由 振 動 解 析 を 行い， 弾 性 モー
ド形 を 求めて海 上で の連 成 自 由 振 動 解 析に備える こ と にする。
空 中での人 工 島の 自 由振 動は以 下の運 動 方
程
式に より 支 配 され る。D ・
7
・ 晦 ん器
一
・…・
一 ・
・
一 ………一
（・・） こ こ に，
▽，＝
▽「・
▽2 ， ▽ 2≡
∂ ヲ∂r：十 1／r・
∂／∂r 十 1／〆・
∂2／∂θ2，D ＝Eh
！ ／12（1一
レ 2 ）は円板の曲げ 剛性，
ρ。 は 円 板の 質 量密 度，E
はヤ ング 係数，
y はボアソ ン 比であ る。 周辺 自由の境 界 条 件は次 式で与え られ る。
M ．
； O、
： r＝
α一 …・
一
（21a ）1
∂Mre
＝
O ： r＝
α・
一…
tttt・
・
（21h ）γ
・
＝Q
・
＋7
∂θ こ こに，M ，
は半 径 方 向 曲 げモー
メ ン ト，
V
。は等 価 面 外 せ ん断 力，
Q
。
は面 外せ ん断 力，
M．
e は ね じ りモ＝
メ ン トで あ り，
面外弾 性変形 W と そ れ ぞ れ以下の関 係に あ る。
Mr
−− D
［
書
ン
＋v（
1 ∂w l ∂z ω7
∂r ＋ 。・ ∂θ・）
｝
・
・
…
『
・
・
・
・
・
・
…
7・
・
『
・
・
・
・
…
（22a ）M
・e−
（ユー
v）D（
÷
募
晶
一
寺
器）
・
……
〈・・b）Q
・一一
・篝
・ ・w………・
『
………
（22
・） 式 （22a，b，
c）を式 （21a，
b）に代入 して境 界 条 件を 面 外 変 位 w で表す。
穿
・・（
1 ∂w ］ ∂Zw7
∂r ＋7
∂θz）
一
・−t：
…・
一 ・
（… ）誰
・÷
｛
黎
一
（1＋ ・語
醐÷
窪
＋n・ （3
−
、）4
、ω一
・・
…・
………・
………
（23b ） r一
方，
周辺単 純 支 持の境 界 条 件は次式で与え られ る 。Mr
＝ 0：
r； α
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
：
…
（24 a）
ω∠
0
：r
＝
α・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
…
（24b ） 式 （
20
）を満足 す る一
般 解はw
＝Rnm
（r）COS nθexp （ianm t）…・
………
…
（25）と与え ら れ る
。
こ こ に，
Rnm
（r）＝
AnJn（knm
7・
）一
十一
Bnln（hrm
r）・
・
・
・
・
・
…
（26
a）驫
＝
P。h
σ孟m／D ………一 …・
・
・
………・
・
…
（26b
） で あ り，σは空 中に おける円板の nm 次 固 有 円振 動 数
，
An
とBn
は任意定数で あ る。
周 辺自 由の場 合
，
式 （25）と式 （26a） を式 （23
a，
b
） に代入 す るこ とによ り以下の同 次 方 程 式が得られる。［
1
：
：
：
：
：
］
宜
一
：
・
…・
…・
一 ………
（27） こ こ にCI1＝
臨 α2」餐（ic
。ma ）＋ レic
。m αノ1
（煽 α）−
vn1Jn （hnmα｝・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28 a） C12＝
娠 α2∬餐（娠 α〉＋レk
。ma ∬A
（娠 α）−
vn21n （hnm
α｝…・
・
……
……
…・
・
……
（Z8
b
） C21＝
h詫．a3JA”
（hnma
｝十κ蓋冊α 2 」孟（hnma
）一
鳶nma （1十2n2−
ntレ）J
露（hnma
｝、
十 n2（3
一
レ）Jn（i
歪nma ）・
・
・
・
・
・
…
∴
・
・
…
一…
（
28
c） C22＝
κ轟皿
α’1；’
（k。
ma ）＋hkm
α 21 萇（娠 α｝ 二knma
（1十2n2−
nZv）∬；（hnma
） 十η2（3一
レ＞ln
（knma
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28
d
） で あ り，
’
は ∂／∂（h。mr ）を表し てい る。
周 辺単 純 支 持 の場 合は，
式 （25＞と 式 （26a
）を式 （24alb ）に代入 す ること に よ り，
式 （27
）と同様の同 次 方程 式 を得る。 た だ し，
マ ト リッ クス の 要素CL
は以 下の ように な る。C
｛，
＝Cii・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
…
（29a ）C
｛2＝Ci2・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（2gb
！
ca
，＝Jn
〔hπ
m α）▼
’
・
’
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt
（29c
）Cl2
＝ln
（knm
α）・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
・
…
（29d
） 空中での円板の振 動 数 方 程 式は， 式 （27｝が非 自 明 解 を有す る必要十 分 条 件 とし て次 式で与えられ る。C
】ICz2− Ci2C21t
＝O…
：・
・
・
……・
・
…・
・
……・
…・
・
（30 ） 式 （30
）を trinl and e厂厂o厂法に よ り解く とhnm
が 求 まる 。 さ ら に，
式 （26b ）に より空 中での 固 有 円振 動 数 σ。m が 求ま り，
そ れに対 応 してAn
と Bn の振 幅 比が定まる。
こ の結果 を式 （26a ）に代 入する と，
各 境 界 条 件に 対 応 す る空 中で の弾 性 自由 振 動モー
ド形が得ら れ る。 §5．
海 上 での連成 自由 振動 海上にお け る nm 次の連 成 自 由 振 勤 時の モー
ド形を， 上 下お よび回転の 剛 体モー
ドと 空 中で の弾 性 変 形モー
ド との重ね合わ せ と して以下の よ うに仮 定する．
。
Nノ
転（r，θ）＝ Σ W。
。
、R．（r）cos ne・
一 ……・
（31） j＝
o こ こ に， W。mJ は未 定 振 幅 係 数，N
・
N
’
＋1は モー
ドの 重ね合せ数 （N ’
は弾 性モー
ドの み の重ね合せ数 ），R
． （r）は人工島の θ＝
0に お け る nj 次半径 方 向モー
ド形 で あ る。
i
＝
0の場 合は，
人 工 島の上下お よび回転の剛 体モー
ドを表し て お り以下の よ うに表せ る。
一
169
− 一
Roo＝
1・
・
…
7−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
一
・
・
・
・
・
…
（32 a）RiO
（r｝＝
！二・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（32
b
＞ a R．（r）；
O （n≧2）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（32c ＞ ま た， ノ≧1は入 工 島の弾 性 変 形による寄 与 を 表し てい る。
inm を nm 次 連 成 固 有円振 動 数と し，一
般 化 座 標に 臨 ，（t）＝
肱鮒 exp （iinm
t）を用い る と，
海上にお け る人工島の連成 自由振動は以下のLagrange
方程 式に支 配され る。妾
、器
（t
）一
、ゐ
・ 、磊
藷
r
砧・ （t）…・
・
………・
・
………・
・
（33） こ こ に，・＝
∂／∂t
，T
とS
は人工島の 運動エ ネルギー
とひずみエ ネルギー
で，
そ れ ぞ れ以下の よ うに 与えら れ る。・
一
学
・d
θ・・……・
……・
…
（34）D
s
＝
7
∂。
r ∂
e
∂ r r ∂θ 1 ∂2ζr ∂r∂θ
…
Q
。
mj （t）は人工島の運 動に よ る動 水圧p
とテ ン ドンの張… ド
bn
O
dn．
9n1∫
Y2
π（
蕊∂ζ）
t窟
2π
際
・÷｛
募
・招
釜
）
t−
・（1−
・）【
磐
（
÷
91
・鵠
茅
）
一
（
−
1
，訓 ］
・・・……・
…
（35） ［G
］＝ ［H ユ＝
一
一
，
門
Fr−一
一
一
一
一
一
一
一
冒
一
〒
一
一
一
力p
、 お よびPd
に関 連 し た一
般 化 力であり，
各 繋 留 方 式 に応じ て以 下の よ うに与 え ら れ る。
・
自由 浮 体の場 合 ：Q
・m・（・）イ
Y2
π … （r）・ ・S ・・rd ……
（36a ｝ ・ リン グ状ア ンカー
の場 合Q
・ ・Xt
）−
xax
：〃 ・R
．（．）・ ・S・n・・rd ・dr
・
∬
π 哄 （・）・ ・sn ・・d
・・
…
（36b ）・
分布ア ンカー
の場合 ；砧・炸
∫
Y2
〃 （・ ＋Pd）R
。（・）・ ・s n ・ rd ・dr
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
（36c ） な お，
式 （36a，
b，
c）の p は式 （ユ7）により，
式 （36b ） の p．
は式 （18）により，
式 （36c
｝の Pdは式 （19
）に より与えられる。
式 （31
）を式 （12e）に代 入 して，
式 （11），
〔14）お よ び （16） を整 理すると，
速 度ポ テンシャル の未 定 係 数B
．，Cw
（j
ニ
1，2，…，
M ），
Dns （s＝
0，
1，
2，…，
L
） を仮 定モー
ドの未 定 振 幅 係 数 臨 ‘ （i＝
1，
2，…，N
＞ に関 係 付け る以 下のマ ト リッ クス式 を得る。
［G
］IC
｝＝ ［H
］」W
卜・
・
7−・
r・
匸
・
・
・
…
r・
r
7r…
r…
（37） こ こ に，ド
ロ
ア
じ
ド
−u−ロ
ロ
−
コ
−T−−’
ロ
−−ロ
i
わ9
）：
dAi
） 蝸 ）…・
…・
・
。i
bk2
！
．
．
・
…qkZ
） ・絹
）・
・
・
・
・
・
…
i
°’
・
…．
、鱈，…
詠
・ 、髭
Y
・．．
．
．
．
．
．
1−
L−一
一
一
一
一
一
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
＿
一
＿
一
一
＿
＿
＿
一
s
几 ・is
認 ・
一 ……
s
？・is
弄
P
”昌
’
’
’
’
’
’
’
”
i
；i
s
混
is
鳬
先
）…・
・
・
……
1 ん几1hn2・
・‘，＿ ん轡
轡
、
・2ん
藩
・ん｛
淫
・．
0’
”
SA｛
Y
）1
−
d＿
”
帯
一
d／2・
・
．
．
；1
…s
鰡
）…
o
」
・
・
…
hnAF墾
．：
1
・癖
0 「 9nt、
9読
＞ 9能！ 9謂
）一
房／2・
・
・
・
・
…
r…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
（38a
）’
’
’
’
’
’
”
・
…
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（38b ）｛
CI
τ＝
［B
．．
Cn
】，Cnz，…，
CnM，
D
．，
1
）nl，
Dni，…，DnL
］・
一…
一一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（38c ）lPVIT
＝
［Wnmi’Wnm2
ド「
’
，WnmN
］鹽
’
’
’
’
’
’
”tt’
’
”t
（38
d
） な お，
マ ト リッ ク ス 〔G
］お よび ［H
］に お い て新 しく 定 義し た記 号は 以 下の よ うに与え られ る。
9．＝− 1
πsSns・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
『
一
・
（39 a） 9熟＝一
∬πsS 鴇・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
（39 b） J．
−
h。
、＝
Σ JnsRnst Tns・
… ・
・
……・
…………・
（39 c＞ s一
1 1，
＿
−
九鴇＝
Σ二JnsRnStTX’L
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（39
d
｝ s昌
IRns
，＝
X
“R ．
，（・臓 榊・
・
……・
…一
（39・） 式 （37〕より次 式を得る。lC
｝＝
［（；］−
1［H
］tW
卜・
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（40）一 170一
未 定 係 数ベ ク トル ｝
