NII-Electronic Library Service 日本 応 用 数 理学会論文誌 Vo1．20， No ．2，2010， pp。71〜113
第
二
種積
分 方
程
式
に
対
す
る
Sinc
選 点 法
の
改良
と
そ
の
理
論解 析
岡
山
友
昭
＊松尾 宇泰
＊杉原
正
顯
＊ ＊東京大学大学 院 情報
理
工学
系 研
究
科
概
要．本論 文で は，
Rashidinia
− ZaJtebnia（2005， 2007）に よっ て提 案さ れ たSinc
選 点 法 を 用い た 第二 種積分方 程 式の数 値 解 法に対 し， 次の 2 つ の成 果 を 報 告 す る，1）
Rashidinia
−Zarebnia
に よ るス キームを より実装に即 した 形に修 正 し， その ス キ ームに対 して厳密な収束証明 を与 え る．2
）元の ス キームで用い られ てい た一重指数関数型変換に 代 えて 二重 指 数関数 型変換 （DE
変換）を採用 したスキーム を提案し，理論解析と数値実 験に より， 収 束が格段に改善さ れ るこ とを 示 す．Modified
Sinc
−collocation
methods
fbr
integral
equations
of
the
second
kind
and
their
theoretical
analysis
Tomoaki
Okayama
＊Takayasu
Matsuo
＊Masaaki
Sugihara
＊＊
Graduate
School
of
lnforma
七ion
Science
andTechnology
，
University
ofTokyo
Abstract． In 七his paper the Sln（Fcollocation methods f｛）r integra1 equations of the second kind proposed by Rashidinia and Zarebnia in 2005 and 2007 are imprGved in the following
two senses ．1）The Rashidinia−Zarebnia scheme is modi 丘ed so that it can be implemented
under more practical conditions ． Then its convergence is proved in a rigorous manner ．
2）
Anew
scheme is developed by replacing the single exponential transforma 七ionin
theRashidinia−Zarebnia scheme with the double exponentia ユtransformation ． Then it is shown
both numerically and theoretically that the new scheme is far more accurate than the
（modified ）Rashidinia−Zarebnia scheme ．
1
．は じめ
に
本 論 文で は， 第二種Fredholm
積分方程式（
1
．1）
・（
・）
一 ・＠）
・小
呻
（
t
）・・ に加 え， 第二 種Volterra
積 分 方 程 式（
1
．2）
・（
・）
一 ・（
・）
・ ・∬
・（
聯
）
・・ 一1
一 a ＜ x ＜b
a く X くb
N工 工一Eleotronio LibraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
72 日本応用 数理学会 論文誌 Vot．20， No．2，2010
に対 する，
Sinc
選 点 法に よ る数値解法を考え る． こ こで λ は定数，g
（
x）
とk
（
x，t
）
は定 義 区間でなめ らかな既 知 関 数であ り， u（
x）
が求め るべ き未知関数である、これ らの 積分 方 程式に対 す る数値 解 法 として， まず 区分 多 項 式 近似や 三角多項式近似な
どに基づ く選 点 法が挙げら れ る
［
2
−4］
が， そ れ らの誤 差の 減少の程度は， サン プ リン グ数に対し高々多項式オ ー ダで あっ た， これに対し，
Rashidinia
−Zarebnia
［
12
，13
］
は，Sinc
関数 近 似に基づ く選 点 法， い わ ゆる
Sinc
選 点 法による数値解法 を提案し た．彼らは こ の 数 値 解 法は，O
（
exp（
− c1〜／TN
）
）
とい う誤 差の指 数 関 数 的減 少が実現で きる と主張し， 実 際 に数値実験に よっ て その収束性を確認し た． た だ しこ のRashidinia
−Zarebnia
ス キーム （以下，RZ
ス キーム）は，次の二 っ の点で まだ改 良の余 地がある．一つ は，RZ
ス キ ーム の 処 方 箋に はne
u の 情報が使わ れ て お り， 解析解が分か らない 場 合は正 当 な実装が不 可 能 な 点で ある（
第3
章で詳述）
． もう一つ は，RZ
ス キーム にい まだ十分な理論誤差評価が な されて い ない 点で ある．実際 ， そもそもFredholm
積分方 程式（
1
．1）
に対す るRZ
ス キーム［
12
］
に対 して は， これ まで全 く理論 誤 差 評価が与 え られて いない．Vol
七erra 積分 方 程 式（
1
．2
）
の 場合［
13
］
に は， 一定の誤 差解析 は さ れて い る もの の誤差 評価の 中に未評価の項が残さ れて お り， 厳密な意味で 収束 次 数 を 明 らか に した結果 とは言い がたい （この 意 味につ い ても第3
章で詳 述す る）．以上の 背景 を踏ま え， 本論 文の 目標は， 上 記の
RZ
ス キ ーム の難点 を克服する と とも に， さらに収束の速い 新しい ス キーム を提案するこ とに ある． よ り詳 しくは， 以下の通 り で ある． まずRZ
ス キーム に関して ，上述の難 点を以下の よ うに克服 する． 第一に ，ス キーム その もの につ い て は， 実際には未知関数 賜 の 情報を使わずに統 一的に ス キームが構築可能 とな るよ う， 修 正 可 能であるこ とを示 す． また実 装におい てだけで な く，理 論 解析に も適 した形 にRZ
ス キーム を修正す る．本論文で はこれを修 正Rashidinia
−Zarebnia
ス キーム （修正RZ
ス キーム）と呼ぶ ．第二 に， こ の修正RZ
ス キームをFredholm
積分 方 』 程 式 とVolterra
積 分 方程式の両方の 場合に 理論 的に評価し， その収束次数がRashidinia
−Zarebnia
の主張 し た0
（
exp（
− c1丙
▽）
）
で あ るこ と を厳密に示 す ．次に， 本論 文で は さ らに収 束 次 数 を改善するス キ ーム を提案する． （修正）
RZ
ス キー ム は ，tanh
変 換 と呼ば れ る一重 指数 関数型 の 変数変 換 と組み合わ せ たSinc
数 値 計 算 法［
15
，16ユ
に基づ き導 出さ れ た もの で ある が ，我々 は二 重指 数 関数型変換 （DE
変換 ）と 組．み合 わ せ るSinc
数 値 計算法［
6
］
に基づい たス キームが構 築 可 能である こ とを示 す （本 論 文で は これ を 「DE
−Sinc
ス キーム」 と呼ぶ）． 数 値 計算の様々 な分 野で， すで にDE
変 換の 有効性が確かめ られて お り［
6
，17ユ
，本論文の問題 設 定におい て もその有 効 性が期 待さ れ る．実際，Fredholm
積 分 方程 式とVo1
七erra 積 分方程 式の両方の場合に厳 密 な瑾論 解析を行い，収束次数が
0
（
exp←
c2N
／
正ogN ））
と，（
修正）RZ
ス キ ーム の場合よ りも格段に 向上 して い るこ とを示 す．以上 を ま と め る と， 本論 文の構 成は次の通 りで あ る．まず第
2
章で ， 本論文で用い るSinc
数値 計 算 法の 基 礎定理 につ い て ま と め る．続 く第3
章に おい て ， 先 行研究で ある 一 2 一 N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分方程式に対 する
Sinc
選点法の改良 とその理 論解析 73Rashidinia
−Zarebnia
6
導 出し たSinc
選点法 と彼ら に よ る誤差解析結果を簡 潔にま とめ， その検討すべ き点につ い て述ぺ る．第
4
章で は， 積分方程式（
1
．1
）
お よび（
1
．2）
の未知関
数 u の 情報が， 既 知関数g
とk
より得 られ るこ とを示 す ． こ の 第3
章と第4
章の議論に 基づ き，ag
5
章で修正RZ
ス キ ーム を導 出する．第7
章で修正RZ
ス キーム の誤 差解析 結果 を示 すが， その 誤 差解 析で用い る枠 組を第6
章でまと め て お く．さ らに第8
章と第9
章におい て は，DE
変 換 と組み合 わせた新 しい ス キ ーム とその誤 差解析につ い て 述べ ，修 正RZ
ス キーム よ りもさ らに収 束 性 が 改善す るこ とを示 す． その後，第10
章に おい て 数 値実験 結果を示し， 本論文に お ける理論解析の結果と整合して い るこ とを確認 する．最後 の 第11
章はまとめで ある．注意
1Muhammad
らに よる関 連 研 究［
8
］
が あ るが， これはSinc
選 点 法で はな くSinc
−Nystr6m
法に基づ く研究で あ り，Sinc
選点法に基づ くRashidinia
−Zarebnia
の結果に沿う本論文の論 旨か ら は外れる た め， こ こ で はこれ 以上言及しない ，本論文で行 う理論解析 を彼 らの 場合に拡 張するこ とも可能である が， それに関する叙述は別の機会に譲る． ◇
2
．準備
lSinc
数値
計
算
法
の
基
礎
定 理
（
2
ユ）
3
（
」 ，h
＞
（
ξ）
＝π
（
ξ／
ん一ゴ）
を基 底関数に用い た近似公式 ： N（
2
・2）
／
（
ξ）
芻Σ
！（
ゴん）
s
（
ゴ
，h
）
（
ξ
）
，ξ
∈R
ゴ＝−N 実軸全体R
で 定義された関数f
に対 し，Sinc
関 数sin π
（
ξ／
ん一ゴ）
をSillc
関数 近 似 とい う． た だ しh
は，2
＞ に対 し適切に定め ら れ る刻み幅で あ る．無限区 間 上の 近似 式
（
2
．2）
を， 方 程 式（
1
．1）
や（
1
．2）
の よ うな 有 限 区間の 場合に適 用 す る た めに， 次の 変 数変 換が しば しば用い られ る［
15
，16
ユ
． 定義2
．1
（
SE
変換）
実軸全体R
を有限 区間（
a，b
）
に写像 する変 数 変換 ：圃
x・一 ・
di
・E（
ξ）
与
・anh（
1
）
・摩
を一重 指数関数型変 数変 換 ， または，
Single
−Exponen
七ial
変換 と呼 び， 以 下 ，SE
変換 と略す．な お， 逆変換 は次の よ うに なる ：
（
2
，4
）
ξ一｛
（ls
・E｝
−1（
・）
…1
・・儒
）
・ ◇ 一 3 一 N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
74 凵本 応用数理学会 論文誌 Vel．2a No．2，．？．OI O この変数変換 毋 ＝ φSE
（
ξ）
を用い た関数近似の具体形は N（
2
・5
）
f
（
・）
…Σ
！（
φSE（
」h））
S
（
あん）
（
｛
φSE｝
−1（
x）
）
l x ∈（
・，b
）
ゴ＝− N で与 え られ る． こ の近 似 を本論文で はSESinc
近似と呼ぶ．上 記の
SE
−Sinc
近 似に おい て は， x → α，b
の とき N（
2
・6）
Σ
f
（
φSE（
ゴん）
）
S
（
ゴ，ん）
（
｛
φSE｝
−1（
x）
）
→0
ゴ＝−N で ある た め， 被近 似関数f
（
x）
が！（
a）
＝f
（
b
）
＝ ・O
を満た さ なけれ ば，高精度は望めない． ！（
α）
≠
0
またはf
（
b
）
≠0
の可 能性の ある場 合に は，f
（
x）
か ら， x ＝ a，b
で値／
（
α）
，f
（
b
）
をと る1
次関数 を 引いた関
数（
2
，7
）
7
−［
！］
（
x）
＝ノ（
x）
一［
！（
a）
ω α（
x）
一←f
（
わ）
Wb（
x）
］
，b
− x 記 一α（
2
．8）
ωa（
x）
＝＝ωb
（
x）
＝b
＿a ，b
− a を考え る＊1 ，Tf
はT
［
！］
（
a）
＝T
［
fl
（
b
）
＝o
を満たすの で ，Tf
に対 するSE
−Sinc
近 似 N −1（
2
・9
）
T
［
！］
（
x）
NΣ
T
［
ノ］
（
φ＄E（
ゴh
）
）
S
（
あん）
（
｛
φSE｝
『1（
x）
）
ゴ＝−N ＋1 が考 え られ る． こ の 近 似 式 を ！＠
）
に対 する近似式に戻せば， N −1（
2
．・・） ／（
勾 剛
・）
w ．（
x）
＋Σ
τ［
f
］
（
φSE（
ゴ卵
（
あん）
（
｛
φs日｝
”1（
・）
）
＋ ！（
b
）
w ・（
・）
ゴ肩一N 十1 が得 られ る．本論文で は， こ の近似を 「一般 化SESinc
近 似 」＊2 と呼ぶ ．次に誤差 評 価 を考 える． まず， 正の定数
d
に対 し，実 軸R
を含ん だ幅2d
の帯状領域を（
2
．11
）
9d
＝｛
ζ∈ （C
：Ilmgl
くd
｝
と書 く． この領域の φSE に よ る像（
2
．12）
φSE
（
勿）
＝｛
x ＝ φ SE（
ζ）
：C
∈9d
｝
の 上 に， 三 っ の 関数空間を導入する．ただ し， 後の 一般化 を考えて ， 定 義は， 実区間（
a，b
）
を含ん だ一般の領 域 （も し くは，Riema
皿n 面上の領域 ）上で与 える． ＊1 本論 文で は，後ろに （x）と変数が続く場合は，T ［f
］（x）のよ うに作 用 素 がか か る範 囲 を ［・］で 明 示 する． 後 ろに変 数が続か ない場 合は ［・1
を略し て Tf の よ うに表 す． ＊2Sinc 数値計 算 法の文 献で はこ の近似もSinc近 似 と呼 んでい るよ うである．しか し，こ こ では近似式 （2．5） と区別 す るた め にこの ような 用語を用い る． − 4 − N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分 方 程 式 に対 するSinc選点法の改良とその理 論解析 75 定義
22
複素平面 上 （も し くは，Riemann
面 上）
の有界な単 連 結領 域9
上で 正則で ， か つ9
上で連 続で あ る よ うな関 数 全体 をHC （
9
）
と定義す る． また関数ノ
∈HC
（
9
）
に対 し， ノル ム を次式で 定め る ：（
2
．13
）
酬
IHC
（g ）＝ mqgl］
f
（
z）
ト
・∈9
◇
関数空間
HC
（
9
）
は式（
2
．13）
で定め た ノ ルム に関してBanach
空間をなす ． 定義2
．39
は（
a，b
）
⊂9
をみたす複 素平面上 （もし くは，Riemann
面上）
の 有界な単 連結領域と し， また α は正の実数 とする． こ の とき，f
∈HC
（
9
）
であっ て， かつ ある定tw
Cf
が存在し て，（
2
・14）
lf
（
x）
1
≦Of
］
z 一α1
αlb
− zlα が任 意の z ∈9
に対し成 り立っ よ うな関数 ∫の全 体 をL
α（
9
）
と定 義 する．◇ 定義
2
．49
は（
a，b
）
⊂9
をみた す複素平面 上（
も し くは，Riemann
面上）の 有 界 な単 運結領 域 と し， また α は0
く α ≦1
をみたす実 数とす る． こ の と き，f
∈HC （
9
）
で あっ て， かつ ある定数0
が存在 して，（
2
．15
）
1
∫（
z）
＿！（
α）
1
≦Olz
＿α1
α，（
2
ユ6）
1
ノ（
b
）
一！
（
1）
1
≦OI
う一宕1
α が任 意の z ∈9
に対し成 り立っ ような関数 ∫の全体をM
α（
9
）
と定義す る．◇
L
α（
φ SE（
％）
）
は，SE
−Sinc
近似（
2
．5
）
が うまく働く関数空間で あ り， 次の収束定理が知 られてい る。 定理2
．5 （
Stenger
［
15
，Theorem
4
．2
．5D
d
は0
くd
く π を み たす実数とする，こ の とき，f
∈L
α（
φ SE（
％）
）
で あれ ば， 自然数N
に対 して刻み幅h
を（
2
．17）
・一〜
鴈
と定め る とiIV に よ らない 定 数C
が存在して， 次の評価が成 り立つ ： N（
…8
）
。髏
、 ∫＠）
一Σ
！（
φSE（
ゴん）
）
S
（
ゴ ，h）（｛
φ SE｝
”1（
x）
）
≦ ・〉万
・一磁 ・ 一 『 ゴ＝ −1＞ ◇ ま たM
α（
φ SE（
9d
）
）
は ， 一般化SE
−Sinc
近似（
2
．10）
が う ま く働 く関 数 空 間であ り， 次 の収束性
が得 ら れ る． 一5
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
76 日本応用数理学 会論文誌 Vol，20， No．2，2010 定 理
2
．6d
は0
〈d
〈 π をみ た す実数とす る， こ の とき，／
∈M
α（
φ SE（
9d
）
）
であれ ば， 自然 数N
に対 して刻み幅h
を πd
（
2
，19）
h
＝α
（
N
−1
）
と定め る と，N
に よ らない定数C
が存在して，次の 評価が成 り立つ ：（
2
．20
）
N −1 。碧
蟹
、炯
イ （
・）
呻
）
一Σ
T
［
！
］
（
φSE（
ゴん）
）
S
（
飼 （
｛
φSE｝
−1（
・）
）
−f
（
b
）
ψ
）
皿 一 」； −1＞ 十1 〈0
〜／7Vermrm
． ◇不定積 分に対 して は，
Haber
［
5】
が，SE
−Sinc
近 似を用 い た近 似 式（
2
…）
∬
伽
一だ
町一11rc）［
！幽
｛
di
・E｝
1（
・）
］
・・ぜ
胸陰
脚
）
）
｛
φSE｝
’（
ゴん）
s
（
ゴ，ん）
ω
レ
ー
嵐
！（
φSE（
ゴん）
）
｛
ipSE
｝
1（
・ ’h
）
ゴ
「 1 伽1
・（
聯
）
d7
を与 えて い る．さらに，Haber
は， 理 論誤 差解析を行い， 誤差が0
（
〉 「NT
e’「m
）
で与 え られるこ とを示 してい る． しか し， 実は次の定理の ように， 誤 差は0
（
e −v禰）
で あ るこ とが証 明 され る． なお，後の使用の た め に，0
の 中の定数の構造 も明示してある． 定 理2
．7 （
Okayama
eta1
．〔
9
，Theorem
2
．7
］
）
d
は0
くd
く π をみたす 実 数 とする． 関数 ！は，φSE（
％）
上 正則で あっ て， さ らに， ある定 数0
∫ と0
〈 α ≦1
をみたす定 数 α が存在して ， 任 意の z ∈ （psm
（
％）
に対 し（
222 ）
1
姻
1
≦Cfl
・一・1
α一’lb
− ・1
αn が成 り立っ とする． こ の とき， 自然 数N
に対 し刻み幅h
を式（
2
．17
）
で定め る と，（
2
・23）
厩
∫（
・）
・・一身
（
（bsE
（
・・）
）
｛
酬
ご
・
）
（
・）
・dT
≦
Of
cg
？
d（
b
− a）
2α 一1 e−v ’iiEiS
］9i
が成 り立つ ．た だ し0
品
はα とd
の み に よ る定 数であ る．◇ −
6
− N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分 方程 式に対する
Sinc
選 点 法の改 良 とその理論解析 77定積分に関して は，
SE
−Sinc
近似 を用い た近似式圏
∬
伽
イ
ニ
［
f
（
ip
・E（
7−）
）
｛
酬
］
dT
覗
レ
（
酬
雕
一
）
］
d7
N＝＝
h
Σ
f
（
φ
SE（
ゴん）
）
｛
φ
SE｝
’（
ゴん）
ゴ＝− N が得られる． し か し， これは， い わ ゆる 七anh 則 と言われ る もの に他 ならない ．tanh
則に 関して は， 次の ような誤 差評価が知 られて い る． 定理2
．8 （
Stenger
［
15
，Theorem
4
．2
．6】
）
関tW
f
は定理2
．7
の仮 定 を みたす とす る． この と き， 自然数N
に対し刻み幅h
を（
・・5
）
h
−〜
廨
と定め る と，1
＞ 『 に よ らない定 数C
が存在し て， 次の 評価が成 り立っ ：（
2
・2
・）
∬
脚
一穣
！
（
轟
）
）
｛
轟
）
・∂
ビ 羸◇
式
（
2
．25）
で 定め た刻み幅h
は， 式（
2
．17）
で定め た刻み幅h
と異なっ て い る が， 後に述 べ るSinc
選 点 法に基づ くス キーム で は， 定積分 近 似にお いて も刻み幅はh
に設定される． その場合の誤 差は次の よ うになる． この 結果は定理2
．8
の証 明より直ちに得られ る． 系2
．9
関数f
は定 理2
，7
の仮 定 をみた す とする． こ の とき， 自然 数N
に対 し刻み幅h
を 式（
2
．17
）
で定め る と，2V
に よ らない定数 （ブ が存在 して， 次の評価が成 り立つ ：（
一）
∬
伽
一・真
脚
）
）
勵
・）
・・ e−「m
・ ◇また後の 参照の た め に， 定理
2
．5
において 刻み幅を式（
2
．25
）
で定め た場 合の 誤差解析結 果 を示 す． これ も定 理2
，5
の 証明より直ちに得られ る． 系2
．10
関数 ！は定理2
．5
の仮定を み たす とする．こ の と き， 自然 数N
に対し刻み幅ん
を式（
2
．25）
で定め る と，N
に よらない定 数 （フが存在 して， 次の 評価が成 り立っ ： N（
228 ）
。驟
、 綱 一Σ
！（
φSE（
殉
）
S
（
」，n
）
（
｛
φ SE｝
−1（
x）
）
≦O
・”Vxd
°rN ／2・一 ｝
」＝ −N
◇ −
7
− N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
78 日本応用数 理学 会論 文誌 Vol．20， Ne．2，2010
以 上は
SE
−Sinc
近似に基づ く近似法で あっ た が， よ り収束を速めるた めに ， 次のDE
変 換を用 い る方法が提案されて い る［
6
］
． 定 義2
．11 （DE
変換）
実軸全体R
を有 限 区問（
α ，b）
に写 像 する変 数変換 ：（
・・29）
x ・ ・
b
・ ・（
ξ）
一≒
評
・anh（
号
…h
（
ξ）
）
・穿
を二 重指 数関数 型変数変換， または，
Double
−Exponen
七ial
変換 と呼び， 以下，DE
変換 と略す． なお， 逆変換は次の ように なる ：
鬮
ξ一｛
gbDE｝
一・（
・）
一［
美
周
＋1
・｛
美
ぼ
◇こ の 変数 変
Pt
x ・＝ipDE
（
ξ）
を用い た関 数 近似の具体形は N（
2
・31
）
！
＠）
・・Σ
f
（
φDE（
ゴん）
）
S
（
あん）
（
｛
φDE｝
−1（
・）
）
l x ∈（
a，・b
）
ゴ＝−N で 与えられ る ．こ の 近似を本 論 文で はDE
−Sinc
近似と呼ぶ． また， ／（
a）≠
o
または ！（
b
）
≠0
の可能性の ある場合に は，一般化SE
−Sinc
近似に対応して ， N −ユ（
2
・32
）
f
（
・）
・f
（
・）
ω・ω
＋Σ
T
［
f
】
（
φ DE（
ゴん）
）
S
（
」1
h
）
（
｛
φDE｝
−1（
・）
）
＋ ノ（
b
）
w ・（
x）
ゴ＝−N 十1 が有効で ある． これ を本論文で は一般化DE
−Sinc
近 似 と呼ぶ．次に ， こ の φ DE に よっ て
％
が写 された領 域 ：（
2
．33
）
φ
DE（
9d
）
＝ ＝｛
z ・ ・96DE
（
C
）
：く
∈ ％｝
これ は無 限 葉の
Riemann
面上 の領 域で あ る一 を 考 え る．φDE（
％）
上 の 関数 空間L
α（
diDE
（
％）
）
はDE
−Sinc
近 似（
2
．31
）
が う ま く働 く空 間で あ り， 次の よ うな 収 束定理 が知 られて い る．定理
2
．12 （
Tanaka
et al．【
18
，Theorem
3
．i］）d
を0
〈d
〈 π／2
をみた す実 数と し，ノ
∈L
α（
φ DE（
％）
）
と す る．さ ら にNo
＝L
α／（
2
の」
＋1
とお く．こ の とき ，1v
≧No
を満 た す 自然数N
に対 して刻み幅h
をlQ9
（
2
（IN
／
α）
（
2
．34 ）
h
＝N
と定めると， 定数0
が存在 して ，N
≧1
＞b
を満たす任意の 自然 数N
に対 し（
・35
）
黜
＠）
一身
（
削
）
・（
あ・）
（
｛
ip
・ ・｝
−1（
x）
）
・呵
b
轟
｝
−8
− N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分 方程 式に対する
Sinc
選点法の改良とその理論解析 79 が成 り立っ ． ◇ 注意2N
に 対 す る条件N
≧No
（
＝L
α／（
2の」
＋1）
はh
← （
IQ9
（
2dN ／
α）
）
／
N
）
＞o
とな る た めの条件で ある， 以下， こ の節の定理 に関し て同様の注 意が 当て はまる． ◇ 一般化DE
−Sinc
近似（
2
．32
）
に対しては， 次の収束定理 が成り立っ． 定理2
．13d
を0
＜d
〈 π／
2
を みたす 実 数 と し， ノ∈M
α（
φ DE（
％）
）
とする． さらに 珊 Fし
α1
（
2d）」
十2
と お く．この とき，N
≧No
を満たす 自然数N
に対し て刻み幅h
を1
・9
（
2d
（
N
−1
）
／
α）
（
2
．36
）
ん＝
N
−1
と定め る と， 定数0
が存在 して，N
≧1
＞b
を満たす任意の 自然数N
に対し（
2
．37
）
N −1 。碧
農
、掴
づ （
・）
W ・（
X）
一Σ
T
［
fl
（
φ DE（
ゴん）
）
S
（
ゴ・h
）
（
｛
φDE｝
−1（
X）
）
−f
（
わ）
卿
）
一 ｝ ゴ竺一」V十1 … xp｛
一πdN
log
（
2dN
／
α）
｝
が成 り立っ ．◇
不定積 分に 関 して は，
DE
−Sinc
近 似 を， 式（
221
）
と同様に不 定積分の近 似に応 用 した もの が，Muhammad
−Mori
に よっ て提 案されて い る［
71
．こ の近 似の誤 差の主 要 部は彼 ら 自身に よっ て考察されてい る が， こ こで は後の定理9
．4
の 証明の た め に， 定理2
．7
と同 様，よ り詳 細 な次の結果 を 引用 す る． 定理2
．14 （
Okayama
eもal．［
9
，Theorem
2
．13D
d
は0
＜d
＜ π／
2
をみた す実 数 と する． 関 数f
は， φ DE（
％）
上 正則で あっ て ， か つ ある定数Cf
と0
〈 α ≦1
をみたす 定数 α が存在 して ， 任 意の z ∈ φDE（
勿
）
に 対 し式（
2
．22
）
が成 り立つ とす る．さ らに，No
＝ ＝L
α／
（
2
の」
十1
と お く． こ の ときN
≧No
を満たす 自然 数2v
に対 して刻み幅h
を 式（
2
．34
）
で定め る と，1
＞ ≧No
を満たす任意の 自然数N
に対 し（
2・38）
愚
∬
伽
一葱
燗
・・）
）
脚
）
だ
・
）
（
・）
・d7
・
畷
（
b
− ・）
2α 一1 ’°g（
響
／
α）
・xp｛
1
。識
。）
｝
が成 り立つ ．た だ し0
認
は α，d
の み に よ る定数で あ る． さらに， 定 積分につ い ては， 以下の 結果が知 ら れて い る． 一9
一 ◇ N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathemat ⊥os
80 目 本応 用数理学 会論文 誌 Vol，2q No，2 ，2010 定理
2
．15
（
Tanaka
et a1．［
19
，Theorem
3
．1
］
）
関数f
は定 理2
．14
の仮 定 をみたす と し，No
＝L
α！
（
4d ）」
＋1
と お く，こ の とき，N
≧No
を満たす自然数N
に対して 刻み幅ん
を（
・・39
）
h
・・1
°9 （
SdllyN
／
α）
と定め る と， 定数0
が存在して，N
≧No
を満たす任 意のN
に対 し，（
2
．40
）
が成 り立っ ．f
。 bf
（
・）
・色
螽
脚
）
）
｛
〈PDE
｝
t（
殉
・∂
一｛
b
諜
）
｝
〈〉ここ で も， 刻み幅
h
は式（
2
．39
）
で定め られ， 式（
2
，34
）
のh
とは異なっ てい る．ただ し， 系2
．9
と同様に， 刻 み 幅 を式（
2
．34
）
で定め るこ とに す ると， 次の こと が成り立つ． こ の結 果は定理2
．15
の証 明より直ちに得られ る． 系2
．16
関数／
は定理2
．14
の仮 定 を満たす と し，Ne
＝L
α／
（
2
の」
＋1
と お く． こ の とき，N
≧No
を満た す自然数N
に対して刻み幅h
を式（
2
．34
）
で定め る と， 定数0
が存在し て，N
≧No
を満たす任意のN
に対 し， 次の評 価 が成 り立つ ：（
2
．41
）
ズ
伽
一旁
剛
）
｛
iPDE
膕
・呵
識
）
｝
・ ◇3
．Rashidinia
−Zarebnia
e
こ
よ
る
Sinc
選 点 法
本章で は， 読者の便のた めにRashidinia
−Zarebnia
に よ る結果［
12
，13
］
の要 約 を与 えた あ と （第3
．1
節， 第3
．2
節 ）， 改良すべ き点につ い て議 論 する（
第3
．3
節）
．3
．1
Fredholm
積 分 方 程 式
に対 す
るスキ
ー ム［
121
まず，
pa
u を u ∈L
α（
φ SE（
％
）
）
と仮定する．ま た u の端点の値で 以下の ように4
通 り に場合分け し， それに応じて ， 展 開係tw
u＿N ， ．．．，UN を用い て近似解 賜甓
を構成する。 場 合1u （
α）
＝ ＝・u（
b
）
＝0
の とき ： N（
3
ユ）
ψ）
lkS ullz（
x）
＝Σ
UjS（
i
h
）
（
｛
φSE｝
−1（
x）
）
・ ゴ＝−N 一10
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分 方程 式に対するSinc選点法の改良とその理論解析 81 場合
2u
（
a）
≠
0
， u（
b
）
＝・O
の と き ： N（
3
・2） ψ ）
剛駈
）
＝・ ・．NW ．（
・）
＋Σ
・jS（
洞 （
｛
φ SE｝
m’（
・）
）
・ ゴ；−N 十1 場合3u
（
α）
＝ ＝O
， u（
b
）
≠0
の と き ： N −1（
3
・3）
ψ ）
f・・uNZ（
x）
一Σ
u ゴS
（
ゴ，h
）
（
｛
φ SE｝
−1（
x）
）
＋ UN ・・b（
x）
・ ゴ＝ −N 場合4u （
a）≠0
， u（
b
）≠0
の と き ： N −1（
3
・4
）
ψ ）
F… ・kZ
（
・）
・・ u−NW 。（
・）
＋Σ
ゆ （
」，・h
）
（
｛
φ SE尸
ω ）
＋・NW ・（
・）
・ ゴ＝−N ＋1 た だ し， 上 記におい て ω a とω b はそれ ぞ れ式（
2
，8）
で定められ た関数で ある． 注意3
仮 定 u ∈L
α（
φ SE（
％）
）
の条件式（
2
．14
）
と場 合2
〜4
の条件は矛盾す る が ， 原論 文［
12
，131
で は その ように記述されてい る．◇ 次に， 上の近似解に基づい てス キ ーム を構成す る． ここで は簡単のため に ， 先に記 した
4
通 りの うち 場 合1
に限っ て説 明 する．場 合2
〜4
も同様に扱 わ れる．Fredholm
積分方 程式（
1
．1
）
の 解賜 が場合1
の条件 をみたすとし， 式（
3
．1）
の ように近似解 u野
を設定する． 本節を通じて ， 刻み幅h
は式（
225 ）
のh
とする．上記の 賜野
を方程式に代入 し， 選点を（
3
．5
）
忽
『
z ＝ gbSE（
ih
）
，i
： −
N
， −N
十1
， ．．．，1
＞−1
，1V
と2N
＋1
個定め， 方程 式を離散化する．ただ し積分は， 定理2
．8
に基づ いて（
・・）
・∬
聯
翌
（
鯛
・嵐
照
韓
騨
膕
と近似す る．さ らに関係 式瀦 （
鰺
z）
一 ・、に注意す ると，K
・・necker の デル タδ象
〉を用 い て ，（
21
＞ ＋1
）
×（
2N
＋1
）
行列 φ労
，21V
＋1
次元ベ ク トル9N
を（
3
・7
）
（
¢野）
、广 δ象
L
躙
・夢
z，鍍
つ｛
φ
s日｝
’（
ゴん）
， 琶，ゴー −N
，＿ ，N7
（
3
．8）
9N
＝［
9
（
即職 ）
， ．．。，9（
岬
）
］
T と定め れ ば， 結 局， 離 散 化 さ れ た 方 程 式 は， 式（
3
．1
）
に お け る未知係 数 ttN ＝［
u ＿N ，．，．，UN］
T に関 する連立1
次 方 程 式（
3
・9
）
φ
緊
尸
UN ＝9
亅v となる． この連 立1
次 方程 式 を解 くこ とで， 近 似解u翌
が決定する，こ の ス キーム に対す る理論誤差評価は与 え られて い ない． −11
− N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
82 H本応用数 理学会 論文誌 Vol．20， No，2，2010
3
．2
Volterra
積分方
程
式
に対 す る
スキ
ーム と
誤
差
解析
［
13
］
近似解 ukZ は， 前節 と同 じく，場 合
1
〜4
に対 して ，それ ぞれ 式（
3
．1
）
〜（
3
．4
）
で設 定 す る．ス キ ーム 導 出の 方 針 も前 節 とほ と ん ど同様で あ り， こ こで も場合1
に限っ て 説 明 す る． 場合2
〜4
も 同様に扱 わ れる．Volterra
M
分方程式（
12 ）
の 解u は場合1
の 条件をみた す とし ， 式（
3
．1
）
で近似解 u甓
を設定す る．た だ し， 本節を通じ刻 み幅h
は式（
2
．17）
で 定める，u甓
を方程 式に代 入 し，21
＞ ＋1
個の選 点 を式（
3
、5
）
で定め， 方程式を離散化す る．た だ し積分 は定理2
．7
に基づ き（
3
．10
）
・∬
一
（
鰍
皇
曙
購
）
｛
ip
・E呵
ン
（
聯
）
d
・ と近似する． こ こで， δ鍵
を（
3
・11
）
・
身
・・一譱
（
あ・h
）
・（
・）
・dT
−1
・ズ
鷺
亡）
・1
で定 義 し， ％野
（
鰺
z）
＝ 吻 の 関係に注 意 す れ ば，（
2N
＋1
）
x（
2N
＋1）
行列 ∫2
夥
を（
3
・12）
（
∫2
貯 ）
信ゴ＝ δ3
）一λhk
（
」じ緊
z，コじ｝
z）
｛
φSE｝
’（
ゴん）
δ髟
71
） ，i
，」＝ −N
， ．。．，N
で定め る と， 離散化された方程式は， 連立1
次方程式（
3
ユ3
）
∫
2
餅
UN ＝9N
となる． こ の 方程 式を解い て UN を求めれぼ， 近 似解 u胃
が定まる．また
Rashidinia
−Zarebnia
は， こ の ス キ ーム に対して は次の誤差解析を行っ て い る． 定理3
．1
（
Rashidinia
−Zarebnia
［
13
，Theorem
3
】
）
方 程 式（
1
．2
）
の 解 uは u ∈
L
．（
φSE（
％）
）
かっ u（
a）
＝ ＝ ・u（
b）
＝0
をみ た し， また関数k
は， 任 意の m ∈（
αlb）
に対 してk 〈
x ，・）
｛
φSE｝
’（
｛
φSE｝
−1（
・）
）
∈L
α（
φ SE（
％）
）
をみ たす とす る． この とき， 連 立1
次 方 程式（
3
．13）
を解い て式（
3
．1
）
で 賜臂
を定め る と，N
に依存 しない ある定数C
に よっ て， 誤差 は次の よ うに評価さ れ る ：（
3
．14
）
sup
l
姻
一・労（
・）
1
≦qK9
夥
） −1K ，Vil7e
−ma
． α＜x〈b ◇3
．3
Rashidinia
−Zarebnia
の結
果
に関す
る議 論
前節 まで に述べた
Rashidinia
−Zarebnia
の 結果に関して は， 実装上， お よび理 論解 析の 観点から， 改良の余地が ある． 本 節で は それ らを ま とめ た上， 次章以降で 与え る改良方 法 の アイ ディ ア を示 す ． − 12 − N工 工一Eleotronlo LlbraryNII-Electronic Library Service 第二種積分方程式に対 する
Sinc
選点法の改良とその理論解析 833
．3
．1
RZ
スキーム につ い て （第5 章
に関連）
RZ
ス キーム で は，me
u の 端 点の値に よっ て4
通 りに 場合分けして 近似解を設定す る が， 解 u は未知関数で あ る た め， こ の条 件の確 認は困難で ある． また， そ も そ も仮 定 u ∈L
α（
φ SE（
％）
）
と場 合2
〜4
の条 件が矛盾するこ と は，注 意3
で述べ た通 りで ある．そこ で ，
解
u の 端点の値に よっ て近 似式を変 更す る必要の ない ， 一般化SE
−Sinc
近 似（
2
．10）
に基づ く解の 近似 ： N −エ（
3
・15）
u（
x）
fuXEt（
x）
＝ 呶 切 。（
x）
＋Σ
uゴθ（
ゴ，ん）
（
｛
φ
SE｝
−1（
x）
）
＋ UNUJb（
x）
ゴ＝ − N＋1 を考え＊3 ， 一般 化SE
−Sinc
近似が高精度 となる条件u ∈M
α（
φ SE（
％）
）
を想定し て， ス キーム の設 計お よび理 論 を展開す る，な お ，
Fredholm
積 分 方程 式（
1
．1
）
の場 合に は刻み幅h
の 決定 式の修正を行 う．文 献［
12
］
で は， 方程 式（
1
．1
）
の場合は， 解 u の 近似と定積分の近似に用い られ るh
を共通 して式（
2
．25
）
で 定め てい る．この場合， 定積分の近似精度は定理2
．8
より0
（
e 冖ViiiEi51Ki
）
である が， 解 u の 近似精 度は系2
．10
より0
（
e ｝ 「tdαN ／2）
で ある た め， 全体の収 束速度は よ り遅い収束に引きずら れ，0
（
e −V
蕭 万）
となる．こ れ に対し本論文で は，h
はい ずれ も共 通 して式（
2
．17
）
で定め る． この とき， 定積 分の近 似 精 度は系2
．9
よ り0
（
e −ma
）
で ， 解u の 近似精 度は定理2
．5
よ り0
（
Vjg7
e −VilEiiiif
）
であ るの で， 全体の 収 束速度は0
（
〉万 e−v顳）
とな り， より速い 収束速度が得られる． 注 意4
なお， 文献［
12
］
で は， 本論文の系2
．10
と同じ条件で， 収束速度がO
（
e 一厠）
で あ るとい う定理［
12
，Theorem
1
］
が述べ られてい る が，1
れは誤 りである． 上記の刻み 幅と近似誤差の関係の誤解に より， 誤 りが 生 じた もの と思われ る．◇ 加えて ，
Rashidinia
−Zarebnia
の 定め た選 点（
3
．5）
を，（
3
．16）
曙
一｛
φα（
SE（
ih
）
（
i
i
＝＝ −一N
ハ厂b
（
i
＝N
）
）
・ ・， … ，N
− ・）
と取 り直 す ． 違い はi
＝ −NLi
＝N
にある．一般化SE
−Sinc
近 似（
2
．10
）
の 右 辺 を ∫舮 （
x）
と書 く と き，選 点が式（
3
．5）
の場 合4
＝ −N
＋1
，＿ ，N
−1
では ／舮（
尋
z）
＝f
（
可
z）
と補 間の性質が成 り立つ が，i
＝ ＝ −N
，N
で は 一般に ノ舮 （
殍
z）
≠ ノ（
殍
z）
で ある．それに 対し式（
3
．16）
の場 合 ，全て のi
＝ −N
， ＿ ，N
で ∫炉（
媛
E）
＝／（
婿
E）
と補 間の性 質が成 り立つ ． こ の性 質が理 論 誤 差 解析に おい て有効に用い られ る （補 題6
．5
参 照）． ＊3 こ の近似式は形は （3 ．4）の近似 式に他 な ら ないが， 解 u の端点の値に よっ て近似式 を 変 更 す る必 要のない 近似式と して意 味が異 なる の で，敢え て新 し く定義 してお く． 一13
一 N工 工一Eleotronlo LlbraryThe Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
NII-Electronic Library Service The Japan Soolety for 工ndustrlal and Applled Mathematlos
84 日本 応用数 理学 会論 文誌 Vo1．20， No．2 ，2010
RZ
スキームに対 し て以上の 改 良 を加 えた もの を， 以後 「修正Rashidinia
−Zarebnia
ス キーム」 と呼 び， 第5
章で詳述す る．3
。3
．2
積分方程式の解が属する関数空間につ い て ｛第4
章に 関連 ）RZ
ス キームで は， 積分 方程 式の解， すなわ ち， 未知関数 u が関数空間L
α（
φ SE（
％）
）
に 属する と仮定し，その α とd
の値 を用い て， 刻み幅h
を式（
2
．25
）
や式（
2
．17）
で定めて い る． しか しなが ら，u は これ から求めよ うとす る関数であ るので， 事 前に u を調べ て α とd
の値 を 知るこ とができる， とい う想 定は現実的で はない．その た め， 正 当に実装 す るこ と は事実 上 不 可 能で あっ た．これは一般 にSinc
数値 計算法に おい て しぼしば問題 となる 点で ある が， 積分 方程式（
1
．1）
，（
12 ）
の場合に は， 方程 式の解u がM
。（
φ SE（
9d
）
）
（後｝こ 出て くるDE
−Sinc
ス キーム で はM
α（
φ DE（
％）
）
）に属す る条件 を， 方程 式に含 まれる既 知 関 数k
（
x ，t
）
，g
＠）
に関 する条 件 と して与 えるこ と が で き る．こ の こ と を第4
章で 示 す ．3
．3
．3
収束定理 につ い て （第
7
章
に関連）誤 差解 析がなされて い るの は，
Volterra
積分 方程 式（
1
．2
）
にお け る， 場合1
に分類 され る場合 （つ ま り，た ま たまu（
a）
一・ u（
b
）
＝ ＝O
の 場合）とい う非常に限 られた範囲の みで あ る （定理3
．1
）． さらに言えば， こ の 誤 差解析は 以下の観点か ら不十分で ある．まず ， こ の定 理で は暗 黙の うちに
（
畷
z）
−1 の 存在が 仮 定されて い る が， これ はス キ ー ム の可解性と して別 途証明が必要な事柄で ある． ま た， 仮に（
∫2
野
广
1 が存在 し た と して も， 誤 差評価 式に含まれて い る「
K9
夥
）
−ill2 のN
へ の依 存性を明らかに しなけれ ば ， 厳 密な意味で収 束性を示 したこ とに はな らない． 彼 らは数値 実 験に おい て「
1
（
9
貯）
−ill2 を観 察 し，1
＞ に 対 し急激に は増 大 しない こ と から， 全 体 として0
（
exp（
−c1 〜厨）
）
で収 束 する と主張して い る が， これ はあく まで も数値実験に基づ く主張にす ぎない．本論文の第
7
章で は， これ らを解 決 し た上で， u（
a）
や u（
b
）
が0
と は限らない 一般 の場合の 誤 差解
析
の 定 理 を，Fredholm
積分 方 程式（
1
．1）
， お よびVol
七erra 積分 方 程 式（
12 ）
の両方の場合に示す ．
