はめ込まれた曲面の二重化の持ち上げ可能性

(1)

はめ込まれた曲面の二重化の持ち上げ可能性

市原一裕¹ 奈良女子大学理学部情報科学科佐藤進² 千葉大学大学院自然科学研究科

ユークリッド平面

R

²上に平面曲線が与えられたとき,それは必ず

R

³内の適当な結び目の影となり得ます. この現象を１次元上げたところで考えると,状況は変わってきます. つまり,

R

³内に自己交差をもつ曲面が与えられたとき,それが常に

R

⁴内の曲面結び目の影となるとは限りません（ここで曲面とは正確には連結な閉曲面のことです）.

R

³内の曲面が

R

⁴内の埋め込みに持ち上がるための必要十分条件も, すでに知られています

[1, 3, 4, 5].

持ち上げ不可能な曲面の典型的な例として,ボーイの曲面

[2]（射影平面の R

³ へのはめ込み）が挙げられます. これは,

R

⁴に埋め込まれた射影平面を

R

³へ射影すると,その影は必ずブランチ点（ホイットニーの傘）をもたなければならず,

R

³内のはめ込みにはなり得ないからです. 同じ理由で, オイラー標数が奇数である向き付け不可能な曲面の

R

³へのはめ込みも,常に持ち上げ不可能であることが分かります.

それでは向き付け可能な曲面, 例えば２次元球面で持ち上げ不可能な例は存在するのでしょうか. これに関してギラー

[4]

は, ボーイの曲面を二重化することにより,持ち上げ不可能な２次元球面のはめ込みの例を与えました.

ボーイの曲面自体も持ち上げ不可能でしたから, ギラーの構成法から次のような疑問が自然に生じます. すなわち,

R

³へのはめ込みが持ち上げ不可能ならば,その二重化も「常に」持ち上げ不可能となるのでしょうか. 注意したいのは, このような二重化は

R

³へのはめ込み（ブランチ点を持たない場合）に対して定義されることと, もとの曲面が向き付け可能ならばそれ自身と二重化の持ち

1日本学術振興会特別研究員

(PD)

2日本学術振興会海外特別研究員

(2)

上げ可能性は一致することです. したがって,もとのはめ込まれた曲面が向き付け不可能なときが本質的な問題となります.

以下では, 向き付け不可能な曲面

M

²に対して,

g M

²によってそのオイラー標数が

M

²のそれの２倍となるような向き付け可能な曲面を表します. したがって

RP ]

²

= S

²

, # ^

_n

RP

²

= #

_n−1

T

²

(n ≥ 2)

です. また, 扱うはめ込み

f : M

²

→ R

³ はジェネリック, すなわちその自己交差集合が２重点および３重点から構成されるものとし, その二重化を

f e : g M

²

→ R

³で表すことにします. この報告における主結果は次のものです.

定理.

(i)

任意の射影平面のはめ込み

f : RP

²

→ R

³ （これ自身持ち上げ不可能）の二重化

f e : RP ]

²

= S

²

→ R

³ も持ち上げ不可能である.

(ii)

２以上の任意の整数

n

に対して,ある持ち上げ不可能なはめ込み

f : #

_n

RP

²

→ R

³ で, その二重化

f e : #

_n−1

T

²

→ R

³ が持ち上げ可能となるものが存在する.

References

[1] P.M. Akhmetiev, Prem-mappings, triple points of orientable surface and Rohlin Signature theorem, Math. Zametki 59 (1996), 803–810 (in Russian); English translation: Math.

Notes 59 (1996), 581–585.

[2] W. Boy, Uber die curvature integra und die topologie geschlossener flaschen, Math. Ann., ¨ 57 (1903), 151-184.

[3] J. S. Carter and M. Saito; Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space, Knot Theory, Banach Center Publications, Vol. 42, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1998, 29-47.

[4] C. Giller, Towards a classical knot theory for surfaces in R

⁴

, Illinois J. Math., 26 (1982), 591-631.

[5] S. Satoh, Lifting a generic surface in 3-space to an embedded surface in 4-space, Topology

Appl. 106 (2000), 103–113.