はめ込まれた曲面の 二重化の持ち上げ可能性

はめ込まれた曲面の

二重化の持ち上げ可能性

Liftability for Doubles of

Immersed Surfaces in 3-space

市原 一裕

Kazuhiro Ichihara

奈良女子大 学振特別研究員

(PD)

Nara Women’s Univ.

JSPS Research Fellow

佐藤 進氏

(

)

§ 1.

§ 2.

§ 3.

1(1)

§ 4.

1(2)

Notation

¶ ³

M ² :

µ ´

仮定

¶ ³

∀immersion

generic

§ 1.

問題

¶ ³

R ⁴

R ³

M ²

∃? g:

p:

f :

>

-

?

µ ´

定義

¶ ³

上のような埋め込み

g

def .

⇐⇒

f

⇐⇒ ^{def .}

µ ´

例

(Boy

)

¶ ³

f : R P ² # R ³ ,

持ち上げ不可能

Fact (Banchoff)

¶ ³

χ(M ² ) :

∀

M ^{2 # R 3}

µ ´

問題

¶ ³

χ(M ² ) :

µ ´

持ち上がる例

２次元リボン結び目の射影図

持ち上がらない例

(Giller’s sphere)

¶ ³

Boy

S ² # R ³

µ ´

はめこみの二重化

¶ ³

問題

¶ ³

持ち上げ不可能なはめこみの

二重化は持ち上げ可能になるか？

µ ´

定理

1

(1)

R P ² # R ³

S ² # R ³

(2) ∀n < 1:

∃

f : M ² # R ³ , χ(M ² ) = n s.t. f

二重化は持ち上げ可能

§ 2.

f : M ² # R ³ ,

Fact (Carter-Saito)

f : M ² # R ³

⇐⇒ f (M ² )

註

¶ ³

f

⇒ f

いつ持ち上げ不可能になるか？

定義

¶ ³

C : f

C

⇐⇒ ^{def .} C

⇐⇒ ^{def .} C

µ ´

Fact

¶ ³

奇数型二重曲線が存在

⇒ f

µ ´

観察

¶ ³

奇数型二重曲線が単純閉曲線

⇒ f

定理

2

f

⇐⇒

(1) f

(2) f

沿った部分的交差情報を許容

§ 3.

1(1)

f : R P ² # R ³ ,

f

: S ² # R ³ , f

f

⇓ Claim

(1) ∃

1

C

s.t. C

R ³

(

)

(2) f ( R P ² )

N : C

R ³

s.t.

f ( R P ² ) ∩ N =

はめこまれたメビウス帯

∪

T := ∂N

f ( R P ² ) ∩ T

⇒ ∃D : T

link diagram

一方、

N

Ext(N )

F := ^R P ² − f ⁻¹ (N )

F :

⇒ D

⇒ D

0

ところが 矛盾

§ 4.

1(2)

n=3

n=2