はめ込まれた曲面の 二重化の持ち上げ可能性

はめ込まれた曲面の

二重化の持ち上げ可能性

Liftability for Doubles of

Immersed Surfaces in 3-space

市原 一裕

Kazuhiro Ichihara

奈良女子大 学振特別研究員 (PD)

Nara Women’s Univ.

佐藤 進氏

(千葉大学大学院自然科学研究科)

(南フロリダ大学 学振海外特別研究員) との共同研究

Notation

¶ ³

M²: _{連結閉曲面}

µ ´

仮定

¶ ³

∀immersion_はgeneric

µ ´

持ち上げ可能性問題

¶ ³

R⁴

R³

M²

∃? g: _埋め込み

p: _射影

f: _はめこみ

>

-

?

µ ´

定義

¶ ³

上のような埋め込みg_が存在

def.

⇐⇒ _はめこみf _{は持ち上げ可能} そうでないとき ⇐⇒^def. _{持ち上げ不可能}

例 (Boy_の曲面)

¶ ³

f : RP ² # R³, _はめこみ

持ち上げ不可能

µ ´

Fact (Banchoff)

¶ ³

χ(M²) : _{奇数 ならば}

∀_はめこみ M^{2 # R3} _{は持ち上げ不可能}

µ ´

問題

¶ ³

χ(M²) : _{偶数 のときは、どうか？}

µ ´

持ち上がる例

２次元リボン結び目の射影図

持ち上がらない例(Giller’s sphere)

¶ ³

Boy_{の曲面の二重化}

S² # R³ は持ち上げ不可能

µ ´

はめこみの二重化

¶ ³

µ ´

問題

¶ ³

持ち上げ不可能なはめこみの

二重化は持ち上げ可能になるか？

µ ´

定理 1

(1) _{任意のはめこみ} RP ² # R³ の 二重化 S² # R³ は持ち上げ不可能

(2) ∀n < 1: _{整数 に対し、}

∃_はめこみf : M² # R³, χ(M²) = n s.t. f _{は持ち上げ不可能だが}

二重化は持ち上げ可能