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‘4次元のトポロジー’

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Academic year: 2021

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研究集会

‘4次元のトポロジー’

レジュメ はめ込まれた曲面の二重化の持ち上げ可能性

(2003/1/21, 16:00–16:45)

市原 一裕

AND

佐藤 進

ユークリッド平面

R 2

上に平面曲線が与えられたとき,それは必ず

R 3

内の適当な結び目の影となり得ま す. この現象を1次元上げたところで考えると,状況は変わってきます. つまり,

R 3

内に自己交差をもつ曲 面が与えられたとき,それが常に

R 4

内の曲面結び目の影となるとは限りません(ここで曲面とは正確には 連結な閉曲面のことです).

R 3

内の曲面が

R 4

内の埋め込みに持ち上がるための必要十分条件も, すでに 知られています

[2, 3, 4, 5].

持ち上げ不可能な曲面の典型的な例として, ボーイの曲面

[1](射影平面の R 3

へのはめ込み)が挙げら れます. これは,

R 4

に埋め込まれた射影平面を

R 3

へ射影すると,その影は必ずブランチ点(ホイットニー の傘)をもたなければならず,

R 3

内のはめ込みにはなり得ないからです. 同じ理由で,オイラー標数が奇数 である向き付け不可能な曲面の

R 3

へのはめ込みも,常に持ち上げ不可能であることが分かります.

それでは向き付け可能な曲面,例えば2次元球面で持ち上げ不可能な例は存在するのでしょうか. これに 関してギラー

[4]

は,ボーイの曲面を二重化することにより,持ち上げ不可能な2次元球面のはめ込みの例を 与えました.

ボーイの曲面自体も持ち上げ不可能でしたから,ギラーの構成法から次のような疑問が自然に生じます.

すなわち,

R 3

へのはめ込みが持ち上げ不可能ならば,その二重化も「常に」持ち上げ不可能となるのでしょ うか. 注意したいのは, このような二重化は

R 3

へのはめ込み(ブランチ点を持たない場合)に対して定義 されることと, もとの曲面が向き付け可能ならばそれ自身と二重化の持ち上げ可能性は一致することです.

したがって,もとのはめ込まれた曲面が向き付け不可能なときが本質的な問題となります.

以下では,向き付け不可能な曲面

M 2

に対して,

g M 2

によってそのオイラー標数が

M 2

のそれの2倍とな るような向き付け可能な曲面を表します. したがって

RP ] 2 = S 2 , nRP ^ 2 = (n 1)T 2 (n 2)

です. また, 扱うはめ込み

f : M 2 R 3

はジェネリック,すなわちその自己交差集合が2重点および3重点から構成さ れるものとし,その二重化を

f e : g M 2 R 3

で表すことにします. この報告における主結果は次のものです.

Theorem 1.

(i)

任意の射影平面のはめ込み

f : RP 2 R 3

(これ自身持ち上げ不可能)の二重化

f e : RP ] 2 = S 2 R 3

も持ち上げ不可能である.

(ii)

2以上の任意の整数

n

に対して, ある持ち上げ不可能なはめ込み

f : nRP 2 R 3

で, その二重化

f e : (n 1)T 2 R 3

が持ち上げ可能となるものが存在する.

References

[1] W. Boy, Uber die curvature integra und die topologie geschlossener flaschen, Math. Ann., ¨ 57 (1903), 151-184.

[2] J. S. Carter and M. Saito; Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space, Knot Theory, Banach Center Publications, Vol. 42, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1998, 29-47.

[3] , Knotted surfaces and their diagrams, Mathematical Surveys and Monographs, 55. Amer. Math. Soc., Provi- dence, RI, 1998.

[4] C. Giller, Towards a classical knot theory for surfaces in R

4

, Illinois J. Math., 26 (1982), 591-631.

[5] S. Satoh, Lifting a generic surface in 3-space to an embedded surface in 4-space, Topology Appl. 106 (2000), 103–113.

630–8506

奈良市北魚屋西町,奈良女子大学理学部情報科学科,日本学術振興会特別研究員

(PD) E-mail address: [email protected]

263–8522

千葉市稲毛区弥生町

1–33,

千葉大学大学院自然科学研究科

E-mail address: [email protected]

参照

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