図形について – 円周率の近似 –

学校教育基礎ゼミナール

I No.A 2008. 5.20

図形について – 円周率の近似 –

問題1 右下図を参考にしながら,以下の問いに答えなさい.ただし, BD=a, EA=b, BH=a⁰, BF=b⁰とおく.

(1)4EFBと4EOAが相似であることを示し, BE=bb⁰であることを示しなさい.

(2)4EFBと4BODが相似であることを示し, BE=a·EFを示しなさい.

(3)b⁰= ab

a+b を示しなさい.

(4)4FBHと4ABDが相似であることを示し,a⁰= s

ab⁰

2 であることを示しなさい.

(5)半径1の円に内接する正n角形の周の長さをp_n,外接する正n角形の周の長さをq_nとするとき,次の式を示しなさい.

p_2n=√pnq_2n, q_2n= 2pnqn pn+qn

問題2 円周率をπとするとき,p_n< π < q_nとなる.このことと前問で得られた結果を利用して,円周率の近似値を計算しなさい.電卓を使用しても良い. (これは, 紀元前3世紀のアルキメデスによる方法に基づいている)

学籍番号 氏名

学校教育基礎ゼミナール

I No.B 2008. 5.20

図形について – 円周率の近似 –

問題1 等比数列の和の公式より,|x|<1に対して,以下の等式を示しなさい.

1−x²+x⁴−x⁶+· · ·= 1 1 +x²

問題2 上で得られた等式の両辺を区間[0,1]で定積分しなさい.

問題3 前問で得られた式を用いて,円周率πの有理数による近似値を計算しなさい.つまり,A < π < Bとなる有理数A, Bを求めなさい. (これは, 17世紀のグ レゴリーとライプニッツによる方法に基づいている)

問題4 tanα=1

5, tanβ= 1

239 としたとき, 4α−βを計算しなさい. (Hint: tanの加法定理)

問題5 tanθ=xのとき,問題1, 2のようにして,以下が成り立つことを示しなさい.

θ=x−x³ 3 +x⁵

5 −x⁷ 7 +· · ·

問題6 前問で得られた結果を利用して,円周率πの近似値を計算しなさい. つまり,A < π < Bとなる実数A, Bを求めなさい. 電卓を使用しても可. (これは, 18世紀のマチンによる方法に基づいている)

学籍番号 氏名