面内曲げを受ける長方形板の動的安定性
高橋 和雄＊・松川 徹
池田 虎彦＊＊＊・田川 賢
Dynamic Stability of a Rectangular Plate Subjected to Inplane Bending
by
Kazuo TAKAHASHI＊， Tooru MATSUKAWA＊＊
Torahiko IKEDA＊＊＊and Masaru TAGAWA＊＊＊
Abstract
Dynamic stability of a rectangular plate subjected to inplane bending such as a web plate of plate−girder bridge is presented。 Stability problem is analyzed by harmonic balance method．
Combination resonances are predominate for present problem．
1．まえがき
プレートガーダー橋の腹板に列車荷重などの動的な 荷重が作用すると腹板上部と圧縮フランジとの溶接部 に疲労クラックが生ずることや腹板の振動による騒音 が発生することが知られている．この原因はプレート ガーダー橋の腹板に曲げ変形が生ずることによるもの である．面外変形の要因としては初期変形Dや面外係 数励振振動2）（あるいは動的不安定現象）が挙げられ
る．このうち，初期変形の影響についてはかなり詳し い研究が行われているが，面外係数励振振動について はシュミレーション計算が行われているのみで，解析 的な取り扱いはまだ見受けられないようである．また，
本題に対して面外係数励振振動による不安定振動が存 在するかどうかは確認されていない．
そこで，本研究は面内曲げを受けるプレートガーダ ー橋の腹板の面外係数励振振動の存在の可能性を検討
したものである．解析にあたっては垂直補剛材と上下 フランジで囲まれたプレートガーダー橋の腹板を一枚 の独立した長方形板とし，これに面内静的および変動 曲げモーメント荷重が作用する構造系にモデル化した．
なお，境界条件は荷重辺を単純支持，他辺を単純支持 もしくは固定とした．
数値解析では固有振i動数に及ぼす静的曲げモーメン ト荷重の影響，面外係数励振振動の不安定領域に及ぼ す境界条件，静的曲げモーメント荷重および減衰の影 響を明らかにするものである．
2．基礎式および境界条件
Fig．1に示すような長方形板に耀座標系を導入 し，Z〃平面に対して直角方向をz軸とする．この長 方形板の面外方向の変位をω（■，〃，つとする．∬＝0，
αの2辺上にFig．1のように静的曲げモーメント掘。
昭和58年4月30日受理
＊土木工学科（Department of Civil Engineering）
＊＊研究生（Research Student）
＊＊＊y木工学専攻（Major in Civil Engineering）
210 面内曲げを受ける長方形板の動的安定性
と変動曲げモーメント44ごCOS≦勿の和からなる曲げモ ーメントMが作用すると，平板内の面内曲げ応力は 次のように表わされる．
黄一戦（1−2考）（脇＋猛…9 ） （1）
ここに，δ：荷重辺の長さ，9：励振円振動数，砿：
変動曲げモーメント荷重の振幅
y
・（
0
Tb
トー・一一ヨ 翼
h
Fig．1 Geometry and co−ordinate system
安定を失った直後の長方形板の基礎方程式は次のよう に表わされる．
Lω一・磯＋蜘一三（1−2考）
∂2卿
＝0 （2）
（ノ協。十〃εCOS9 ） ∂∬2
ここに，ρ：板の密度，〃：板厚，D＝Eガ／｛12（1一ソ2）｝：
二二度，E：ヤング率，レ：ポアソン比
境界条件として，次のような2ケースについて考え る．すなわち，
case I：全周辺単純支持 κ＝0，α 〃＝0，6
ω一穿一い一穿一・
case II：荷重辺単純支持，他辺固定 ω一廻一・卿一・誇一・
3．解 法
式（2）の解を次のように仮定する．
の
ω（∬，〃，の＝ぬΣ：ん。（の陥4。（■，〃）
π雷1
（3−a）
（3一∂）
（4）
ここに，7㌔．：未知の時間関数，隔．：境界条件を満足 する座標関数，〃＝1，2，……：κ方向の波数 式（4）の座標関数として静的曲げモーメント忽。が作用
しない長方形板の曲げ振動の基準関数を用いるものと すれば，罪伽は次のように定義される3）．
ル歪π1τ ． ηπ〃
（5−a）
case I ：P7：〃η＝sin
α Sln ∂ の
CaSe II・臨一・in MﾟΣα7｛ （ガー1COS δ）π
ガ＝1
一…（ガ＋剖 （5−b）
式（5−a），（5−b）を式（2）に代入して，Galerkin法 を適用する．
∬∬五（ω）賑（・，〃）三一・㌧ （6）
すなわち
ca・el・霧ム＋（脚／ノ肱＋ろ1揚摺
の
（ルゑ。十〃ごCOS、9 ）Σ蘇％一・ （7−a）
π＝l
ca・e II・鰐脇＋肱＋多舌振
の
（ルZo十ル1ごCOS9 ）Σ蘇丁肋一・ （7−b）
η＝1 ここに，μ＝δ／α：辺長比
ガ＝1 00 f＝1
一｛R2十（ゴ十1）2／μ2｝cos（1十1）πη〕
の
Σσゴ｛c・・（ブー1）πη一。・・（ノ＋1）πη｝吻 ゴ＝1
漉一ズ（1−2η）Σαク｛c・・（ノー1）πη一。・・（汁1）πη｝
ど＝1 お
Σα9｛c・・（ブー1）πη一。・・（ノ＋1）πη｝吻 ゴ；1
η＝〃／∂
式（7−a），（7−b）を無次元化のうえ，行列表示 すれば，次式が得られる．
〔且〕出（，）｝＋一豊（〔B〕＋冴。〔c〕）｛T。｝＋
ω
吉π，〔P〕、。sτ｛T。｝一｛0｝ （8＞
ω
ここに，〔且〕，〔B〕：対角行列，〔0〕＝〔D〕：定積分 1羨。，Zみに定数R2λ，，を乗じた対角行列，乃4。；忽。／
〃，，：無次元静曲げモーメント，！脇．：座屈曲げモー メント，乃4，＝乃4，／〃，，：無次元変動曲げモーメン 6〃cγ α2
：座屈固有値，の＝」2／ω1：振 ト，λc7＝
∂2 π2Z）
動数比，ω｛：長方形板の1次の固有振動数，｛TR｝＝
｛71RI T1〜2 TR3・…｝7，τ＝ωD，無次元時間 式（8）において行列〔0〕を含む項が係数励振項である．
式（8）の解を次のように仮定する4）．
詣∫1（・一2・）・i・脚・i・・π・4・
1晶一∫1〔Σα§｛c・・（げ一1）πη一。・・（ガ＋1）πη｝〕2吻
蕊一∫1Σαク〔｛1〜2十（ 一1）・／μ・｝c・・（彦一1）πη
｛TR｝一♂・｛一券玩＋Σ（伽・in雁＋δ韻耀）｝
加＝1
（9）
ここに，λ：未定定数，わ。，伽，砺：未知ベクトル 式（9）を式（8）に代入して，調和バランス法を適用すれば，
次のような6。，伽，伽を求めるための同次方程式が 得られる．
〔0〕｛X｝＝｛0｝ （10）
こ こ に， ｛X｝＝｛わ。b1わ2・… α1α，・… ｝τ〔0〕：係
数行列
行列〔0〕の性質から，行列〔D〕は次のような3個の行 列に分解される．
〔D〕＝臨。〕一λ〔〃1〕一λ2〔〃，〕 （11）
ここに，〔忽。〕，〔〃1〕，〔〃2〕：λの0，1，2次の係数行列
ここで，｛r｝＝λ｛X｝なる新しいベクトルを導入すれ ば，式⑩は2倍サイズの固有値問題に変換される．
〔〔0〕〔佐1〕門田醐〕｛5｝一λ｛｝｝（12）
式（12）は非対称行列の固有値問題の基礎式である．得ら れた固有値λの実数部鳥（λ）の値がすべて負ならば，
式（7）の一般解に含まれる6λτが時間とともに収束する ために安定，逆に一つでも正ならばθλτが発散するた めに不安定である．
4．面内曲げを受ける長方形板の面外不安定振動の性質 式（8）の微分方程式の不安定領域には次の2種類があ
る．
の＝2砺／々：単純共振 （13）
の＝（ω、±ωブ）／々：結合共振（÷：和形，一：差形）
ここで，々＝1：主不安定領域，々≧2：副不安領域，つま り，加振振動数が固有振動数の2倍の整数分の1付近 に生ずる単純共振と，加振振動数が2個の固有振動数 の和または差の整数分の1付近に生ずる結合共振があ る．式（13）の不安定振動のうち，どれが重要であるかは 式（8）の微分方程式の係数行列〔1）〕によって定まる．本 題の曲げモーメント荷重砿を受ける場合と，一様圧 縮荷重σ，3）の場合に対して，行列〔0〕の要素構成を示 せば次のとおりである．
一
ﾈげモーメント荷重孤 一齬l圧縮荷重の
〔D〕
Od120d14…
рQ10d230…
nd320d34…
рS10d、30…
@i ： i i ｱこに，山＝dブゴ
鷲紹：：：／00d、，0…000d44…： i i ： i
式（14）のように曲げモーメント荷重の場合，対角線要 素轟＝0であるから，単純共振は重要でない．しか し，砺‡0の要素が存在するから，基準座標の間に連 成が生ずる．したがって，結合共振が存在する．また，
ゐ＝臨であるから，結合共振の＋の符号の和形のみ が存在する．行列〔0〕の要素のうち，412，ゴ14，ゴ21，・…
半0であるから，結合共振については（ωダ＋ωダ）／々，
（ωダ＋ωめ／々，（ωダ＋ωめ／々，・…など〜とブの和が 奇数の結合共振が存在する．しかし，たとえぼ，（ωμ
1．0
阿。
0．5
0
（3，2） 3 4
、
i2，1） ＼
＼ ＼ ＼
＼ 1
（2，3）
8
@
@
i4・3〕
@ 1
（1，2）
i1，1）
（3，1ナ
（2，2）
@ （1，3）
＼ 置
＼ ＼
（3，3）
̲ 、
@ 1
k2，4） 1
@ 1
@ I
@ f 1
、 、1（4・1）
8 1
、 〔1，4）
t 1
2，0 4．0 6，0 8．0
）
10．0
垣
Fig．2 Natural frequencies of a square plate：case II，μ＝1．0
212 面内曲げを受ける長方形板の動的安定性
＋ω望）／々，（ωダ＋ωグ）／々などのノ＋ノの和が偶数の結 合共振は含まれない．これに対して，一様圧縮荷重σ，
の場合には，ゴゴ沖0，4が＝0より，基準座標間に連成作 用はなく，したがって結合共振は存在しえず，単純共 振のみが存在する．このように負荷形式によって現わ れる不安定現象が著しく異なると言える．
5．固有振動解析
不安定振動解析に先立って，固有振動数に及ぼす静 的曲げモーメント荷重4。の影響をcase IIの正方形 板に対して示せば，Fig．2に示すとおりである．図にお いて横軸の＝ωぎ／ω｝は各次の固有振動数ωぎを静的 曲げモーメント荷重掘。が作用しない場合の固有振動 数ω｝で基準化した固有振動数である．図中の記号
（〃，s）はω望，すなわち，エ方向の半波数M，〃方向の 半波数∫の振動形をもつ固有振動数を意味する．本例 では■方向の半波数十＝2が最低次の座屈荷重を与え
る．図のように■方向の半波数sが1の場合（〃，1）
の固有振動数ω押は静的曲げモーメント荷重忽。の増 加とともに減少する．特に（2，1）型，（3，1）型，（4，1）型 の固有振動数の減少が著しい．座屈波形に相当する（2，
1）型の場合には，〃。＝1での＝0となる．荷重方向す なわち■方向の半波数に比べてそれと直角方向の波
数が相当大きい場合，（1，3）型，（1，4）型，（2，4）型など では固有振動数は変化しない．しかし，他の振動形で はわずかではあるが，固有振動数は増加している．こ のことは一様圧縮荷重σ。の場合には見受けられない 曲げモーメント荷重福。を受ける場合の固有の特性と 思われる．固有振動数の変化が著しい（2，1）型の場合 について，振動形の変化を示せば，Fig．3のとおりであ る．静的曲げモーメント荷重1匠。が増大すると，正方形 板の振動形は座屈波形に近づいてくる．つまり，引張 側では振幅が押えられ，逆に圧縮側では振幅が増大す
る．
◎
ノ
／／ 、＼、
ノ／／一＼＼、
＼＼、 ／ 1 ＼ ／
／！ 、＼＼
＼ノ／ノ1、、
＼＼ノ／・
＼、＿ノ
ノ
砺舗hll鳳 1川
い、＼ ノノ ，
ll蛇眠り・
＼ ／
、＿ノ
∠＝＼く＝フ ∠㌧ ％
（a） Mo＝0 （b） Mo＝0．5 （c） Mo＝1．O
Fig．3 Modal shapes of a square plate：case II，μ＝1．0，〃コ2
0，5 河t
O．4
0．3
0．2
0．1
ω1 2ω2 ω1・ω1 ω号・ω菱 ω1・ω1
0 2。0 4、0 6．0 890
畠 Fig．4 Unstable regions of a square plate：case II，μ＝LO，忽。＝0．0
10。0
6．面外不安定領域 （1）境界条件の影響
Fig．4および5はcase IIとcase Iの正方形板（μ
＝1．0）の面外不安定領域を乃4。＝0に対して示した ものである．図中において横軸の＝』2／ω1は無次 元加振振動数を，縦軸ルf，は変動曲げモーメント荷 重の無次元振幅である．図中の右下りの斜線部が 結合共振を，右上りの斜線部が単純共振の不安定 領域を意味する．これらの斜線部において面内変 動曲げモーメント荷重〃この作用下において面外振動 が生ずる．式（2＞の微小変形の仮定の運動方程式のもと ではこの面外振動は発散するが，振幅が増大すると板
の中央面に生ずる面内力によって振幅は有限の大きさ
となる．
式（14）の行列式の対角線成分はゼロであるが，連成項 を介して，一例にも単純共振が存在する．これらの図 より明らかなように曲げモーメント荷重ル1，の場合，
結合共振が単純共振よりも重要である．結合共振の幅 は座屈波形が対応するエ方向の半波数M＝2の不安 定領域ω1＋ω1が最も広い，Fig．4，5よりcase Iと case IIでは単純共振の場合が固定の場合よりも不安 領域の幅が広い．
（2）荷重条件の影響
曲げモーメント荷重孤と一様圧縮荷重のの2っ の負荷条件の相違による不安定領域の変動を比較する
0．5
面t
O．4
｛〕．3
0．2
0．1
ω1 ω1＋ω呈 2ω2
ωi・ω塗 ω1・ω1
ﾖ1
0 2．0 4．0 6．0 8．O
H9．5 Unstable regions of a square plate二case I，μ＝1．0，妬＝0．0
10。0
0。5
すt
O，4
0．3
0，2
0，1
ω1 2ω5 2ω1 ω茎 2ω…
@ 2ω呈
2ω1
ﾖ塁 2ω菱 2ω聖 2ω塁
0 2。0 490 、 6。0 8．0 10．0
面
Fig．6 Unstable regions of a square plate sub痂ected to uniform inplane forcing：case II，μ＝1．0
214 面内曲げを受ける長方形板の動的安定性
ために，case IIの一様圧縮荷重σ，を受ける正方形板 の面外不安定領域をFig．6に示す．式㈲で示したよう に，Fig．6の一様圧縮荷重ク，の場合，単純共振の主お よび副不安定領域のみが存在する．Fig．5とFig．6の比 較から明らかなように不安定領域の幅は一様圧縮荷重 σ，の方が曲げモーメント荷重〃，の場合よりも広い．
（3）静的曲げモーメント荷重〃。の影響
Fig．7はcase IIの正方形板の静的曲げモーメント 荷重π4。＝0．3の不安定領域を示すものである．静的曲 げモーメントの大きさ〃。＝0．3はFig．2に示すよう に固有振動数に及ぼす影響が小さい領域である．Fig．
4，7の比較から明らかなように静的曲げモーメント π。は単純共振に影響を及ぼし，2ω1，2ω2などの主不
安定領域が現われてくる．しかし，幅の広い結合共振 の不安定領域はほとんど影響を受けない．
（4）減衰力の影響
不安定領域に及ぼす減衰力の影響を明らかにするた めに，式（8）に線形の減衰項を加え，各基準座標ごとの 減衰定数1〜〜の形に整理する．Fig．8は減衰定数：121＝
砺＝0．01の場合の不安定領域を示したものである．減 衰の効果は幅の狭い不安定領域を安定領域に変える．
本題の曲げモーメント荷重を受ける構造系の不安定領 域では結合共振が支配的であるから，減衰の大きさに よって不安定領域が広められることがあるので，注意 を要する．
ω…＋ω塁／2
巫t 0．5
0．4
0，3
0．2
0．1
0
2ω1 2ω1
2ωi 2ω1
E1＋・1 。1・ω1 ω1・ω1
2．0 4．0 6．0 幽 8．0
冨 Fig．7 Unstable regions of a square plate：case II，μ＝1。0，ル10＝0．3
10．0
0．5
画t
0。4
0。3
0。2
0．1
ω董
2ω2
ωi・ω呈 ω董・ω塞 ω墨・ω1
Q 2，Q 4．0 6．0 8．0 − 10．0
Fig．8 Effect of damping on unstable regions of a square plate：case II，μ＝1．0，1匠。＝0．0
7．ま と め
本研究は静的および変動曲げモーメント荷重を受け るプレートガーダーの腹板の一部である長方形板の動 的安定問題を解析したものである．本研究で明らかに なったことをまとめると次のとおりである．
（D 静的曲げモーメント荷重を受ける正方形板の固有 振動数は荷重辺と直角方向の半波数が1の場合に静 的曲げモーメント荷重の増大とともに減少する．し かし，一様圧縮荷重の場合と異なって固有振動数が 増大する振動次数がある．
（2）曲げモーメント荷重を受ける長方形板の面外不安 定領域は結合共振が支配的である．この事実は単純 共振のみが存在する一様圧縮荷重の場合と根本的に 異なる．
（3）静的曲げモーメント荷重の影響は単純共振の不安 定領域を広める効果をもつ．
（4）減衰力の影響は幅の狭い不安定領域を安定にする 効果をもつ．
本研究によって曲げモーメント荷重を受ける長方形 板に面外不安振動が生ずることが明らかにされた．本
解析モデルはプレートガーダーの腹板の一部を想定し たものである．今後実橋において計測することや模型 実験をすることによって確認する必要がある．数値解 析にあたっては松園正人氏（現小松建設工業㈱）の援 助を得た．数値計算には長崎大学の情報処理センター のFACOM 180 AD IIを使用したことを付記する．
参考文献
1）前田・大倉：プレートガーダーウエブの初期たわ みと疲労亀裂発生の相関に関する研究，土木学会論 文報告集，第319号，pp．1〜11，1982
2）倉西・嶋：曲げによるプレートガーダーウエブの 振動についての研究，第37回土木学会年次学術講演 会概要集，第1部，1−61，pp．121〜122，1982
3）八巻・永井：周期的な圧縮荷重を受ける矩形板の 動的安定，東北大学高速力学研究報告，第36号，第 351号，pp．147〜168，1975
4）K．Takahashi二Instability of Parametric Dyna−
mic Systems with Non−uniform Damping， J．
Sound and Vibration， Vol．85， pp．257〜262，1982
216
