高橋　和雄＊・池田　虎彦＊＊・井上　修二＊＊＊

面内力を受ける長方形板の振動解析

高橋 和雄＊・池田 虎彦＊＊・井上 修二＊＊＊

Free Vibrations of a Rectangular Plate Subjected to Inplane Force

by

Kazuo TAKAHASHI， Torahiko IKEDA and Shuji INOUE

  Linear vibratjons of a rectangular plate subjected to jnplane force are inves†igated．

Inplane force varjes linearly along the edge． Equatjon of motion of thill Plate is solved by the Galerkin method． Th6 boundary conditions of the platg consist of comblnatlons of the simply sllpported edge and the clamped edge． As numerical results， buckling． analysis of a rectangular plate is presented at flrst． Relatlons between natural frequencies and inPlane force are j1111strated for four types of boundary conditions．

1．まえがき

 面内変動荷重の作用のもとでプレートガーダー橋の 腹板と上フランジとの溶接部に疲労クラックが生じた り，腹板の振動による騒音が発生することが知られて いる1）〜4）。これらの原因と考えられる腹板の面外動的 安定性を検討するためには，まず静荷重を受ける場合 の腹板の固有振動数および固有振動形などの動特性を 明らかにする必要がある。しかし，腹板全体の固有振 動解析を行うことは計算機の容量などの点から困難が 伴う。そこで，本研究では垂直補剛材と上下フランジ で囲まれたプレートガーダー橋の腹板を一枚の独立し た長方形板として取り出してモデル化のうえ解析する ものである。理論解析には，静荷重による面内力を受 ける簿板の運動方程式にGalerkin法を適用して，

行列の固有値問題に変換する手法を採用した。

 数値解析にあたっては，単純支持と固定の組合せか らなる4種の境界条件のもとで，座屈および固有振動 解析を行ない，固有振動数に及ぼす境界条件および静 荷重の影響を明らかにするものである。

2．基礎式および境界条件

 プレートガーダー橋において垂直補剛材と上下フラ ンジで囲まれた部分を一枚の長方形板とみなす。Fig．1

σ0

y b

0

Fig． l Co−ordinates

a  x σ0

に示すように必一ッ座標系を導入し，謬一ッ平面に対 して直角方向にz軸をとる。記一〇，αの2二上に面内 応力が作用するものとする。平板の中央面に作用する 面内力は次のように与えられる。

N炉一・・ん（   ツ4−c   6），珊一・，N・・一・』（1）

 ここに，ん：板厚，∂：荷重辺の長さ，σo：ッ＝0に おける応九碗域融げ（    6Moσo＝ ゐ2），払・

曲げモーメント，d一一1，炉一1：三角形分布荷重，

4＝一1，6巴0：一様圧縮荷重この場合の長方形板の 運動方程式は次のように与えられる5）。

     ∂2ω

       ∂2ω

五（切一ρん一薇一＋Dがω＋2＞ズ砺一一〇 ^（2）

昭和59年4月28日受理

 ＊土木工学科（Department of divil Engineering）

＊＊土木工学専攻（Major in Civil Engineering）

＊＊＊福岡県庁（Fukuoka Prefectllral Office）

166 面内力を受ける長方形板め振動解析

 ここに，ρ，板の密度，D＝翫3／｛12（1一レ2）｝：板剛度，

E：ヤング率，ン：ポアソン比，ω：たわみ，、彦：時間，

働一（券＋舞y

 境界条件として次の4種類を想定する。

 case I：全周辺単純支持     ∂2ω

  ω「薪rO．    必＝0・a

      （3−a）

一丁｝一・ ツー・・b

 case皿：荷重辺単純支持，他辺固定     ∂2ω

  Ψ「癌〒0   灘＝0・a

      （3−b）

一器・ ・一・・b

 case皿：荷重辺固定，他辺単純支持   ∂ω

ω＝}一一＝0

   ∂2測

ω「》一＝o case W：全周辺固定    ∂ω

 測「∋ガ＝0

  ∂ω炉可『＝o

串＝0，a

y＝0，b

必＝0，a

ツ＝0，b

（3−c）

（3−d）

3．解  法

 式②の解を次のように仮定する。

 ω＝んΣΣ丁耀（のW「窺π（z，ツ）    （4）

   犠＝1 π＝1

 ここに，丁擢（の：未知の時間関数，W伽（￠，ッ）：

境界条件を満足する座標関数

式（4）の座標関数として，はりの座屈波形を用いるもの とすれば次のように与えられる6）。

 case 工：

 V7甥η＝sinηzπξsinππη case】1：

（5−a）．

V7拠π＝sinηzπξ｛cos（n−1）πη一cos（n十1）πη｝

case皿

（5−b）

vr物π＝｛COS（ητ一1）πξ一COS（刀z十1）πξ｝sinππη

case IV：

（5−c）

肩7翅π＝｛cos（ηz−1）πξ一cos（ηz＋1）πξ｝｛cos    （π一1）πη一cos＠十1）πη｝    （5−d）

式（4）を式②に代入すれば

  L（w）＝擁2ΣΣ丁耀ヲ7伽十DんΣΣ丁溜

       隅＝1π＝1       刀Z＝1π＝1

       （警＋2撫＋警）

      ＋翫膿、二丁一竪響 （6）

上式の右辺は零とならないのでGalerkin法を適用 する。すなわち

  ∫：∫≧（w）貼幽一・  （7）

 ここに，プ，5＝1，2，・…・・

上式の積分を実行すると，次のような一般座標7−催 に関する運動方程式が得られる。

認羅儂IA一学・・＋B−T一＋器

  C−丁二一・      （8）

 ここに，．A伽γε， B鵬γs， C粥73：Galerkin法の 積分項（case Iとcase】Vについては， ApPendix A参照）

丁伽＝4ωちA伽とおけば，式（8）は次のように行列表 示される。

 （．一α2［五］十［B］十λoγσo［C］）．X＝0     （9）

 ここに・α2＝ρんω2α4／Dπ4：振動の固有値，λ・・＝

σ0涜α2／Dπ2：座屈の固有値，σσγ：座屈応力，σ0＝σ0／

σoγ，［盆］，［B］，［0］：係数行列，−：A帽を要素と する列べクトル

 行列［孟］，［B］，［0コの性質から，case I，■の荷 重辺が単純支持の場合には彿とrの連成項は存在し ない。つまり，諾方向の波形は正弦波で与えられる。

この場合には，式（4）は次のように書き改められる。

  ω＝んΣTMπ（の「πMπ（∬，ツ）       α①     π＝1

  ここに，M：詔方向の半波数

 数値計算にあたっては，式⑨を行列の固有値問題に 変換し，行列の固有値および固有ベクトルを求める手 法を採用する。すなわち，

   ［孟］一1（［B］＋λ、。σ。［0］）X＝α2X  （11）

式（11）より形状パラメーターである辺長比μ＝6／αが与 えられれば，各境界条件のもとにおける固有値α2，個 有ベクトルXが求められる。これを式（4ぽたは⑳に代

60 k 50

40

30

、！

覧

、

、

、

、

、

、

、

、、ノ

、

  、、、

、  ，

case 工▽

ご．

case 工工

case 工

M＝1

、

、，

、

、

、、     case 工工工  、、、

、 1    、暢  ，  嶋陶軸隔 _{2r騨一■凸鼻}

20 0

M嵩2 ^皿昌3 M＝4 M冒5 ^皿＝6

1 2 3 _1／P 4

Fig．2 Critical value k vs aspect ratio l／μ

心すれば，固有振動形が得られる。

 式（11）に含まれる一λ・・を求めるためには，座屈解析 を行う必要がある。式（9）においてα2＝0，σ。一1と おけば，

（［B］十λ，・γ［0］）■＝0 ^（12

式（12は長方形板の座屈解析の基礎式である。行列［C］

の要素構成を検討したところ，対角線要素がすべて零 であるために，逆行列［C］一1の計算が不可能であるこ とが判明したので，λ・・の逆数1／λ・・を求める計算 法を採用した。

［B］ 1［σ］x＝1／λ 6γx ㈱

4，座屈解析

 4−1，c−2の純曲げを受ける長方形板の座屈係数 戻σ酌＝々π2D／ゲのと縦横比1／μとの関係をプロット

すればFig．2に示すとおりである。なお，級数の項 数は％π一10とした。case I，1の正方形板（μ一 1．O）の場合に本法の解は既往の解と合致した。 Fig．2 のM＝1，M−2，…は詔方向の半波数を示す。荷重 辺が単純支持の場合，すなわち，case Iとcase■の 場合には各Mに対して，いずれも等しい最：小座屈係 数を与える。これに対して，case皿およびIVの場合 には各Mについて最小値が存在するが，その値は縦 横比が大きくなるほど小さくなる。図のように縦横比 が小さい場合には荷重辺の固定の影響が大きい。逆に

縦横比が大きくなると，非載荷辺の固定の影響が大き い。これらの結果を一様圧縮荷重（4一一1，c・＝0）の場 合と比較すると同じ傾向を示すが，必方向の波数は純 曲げ（4−1，c−2）の場合が多い結果となっている。

5．固有振動解析

 純曲げ（4−1，0＝2）を受ける正方形板（μ一1．0）

の曲げモーメントM。と無次元固有振動数δとの関 係を示せば，Fig．3〜6に示すとおりである。また，

1次の振動固有値および座屈固有値がTable lに示 されている。図において横軸あは各次の固有円振動 数ω・3を静的荷重M。が作用しない場合の1次の固 有円振動数で基準化した無次元固有振動数である。ま た，図中の記号ひ，5）はω7・すなわち，」じ方向の 半波数r，ッ方向の半波数（次数）3の振動形をも つ固有振動数を意味する。ただし，caseIVにおいて 詔，ッ方向の波数が区別しにくい（3，1），（1，3），

（4，2），（2，4），（5，1），（1，5）のような振動形が M。一〇の場合について存在するので6），これらについ

Table l Constants，α11 and λ cr of      square plates

case

α

λcr 1 2．000 25．53

皿 皿

2．935 39．82

2．935 32．00

IV 3．650 47．99

168

1．0

Mo

0．5

0

面内力を受ける長方形板め振動解析

1＼

、 ＼ （1・1ミ

＼ ＼ 8

」 3

1   ＼

（2，ユ）       、 i1，2）

       ＼

@       、

i1・3）       、

8（2，4）     ＼

   2）

W

（1，1） （2，2） ノ       （3，1）

（2・3）拶3・2） ！）、       （4，1）、

（3，3）

P

2       4    、  6   ．   8  ω Fig．3 Moment Mo vs frequencyめfor case I

       （3，2）

10

．1ξ0

Mo

0．5

（1，1）

、

（2，ユ）

（1・2♪

、

＼

（3，誘

、

＼

＼

（2，2）

＼

（1，3）

＼

＼

響

。

、

＼

（2，3）

、

、

（3，3）

、（4，1）

ヒ

、

 1

1

1

，

1

罎，2）

．（1，4）

      」                （3，41

．（4，

     「 2，4） 1     1     「     蟹     蓼     響     1

射

    8

1

1．0

Mo

0．5

0 2       4       6       8 Fig．4 Moment Mo vs frequencyあfor case豆

⑳ 10

        1

@   （1，2）

i1，）

    、

i2，2）

（1，3）

@  （2，3） 、        3，

@   、

@         8

i3，1）

 、

@ 、

撃潤j 《4，1）6

、

      覧

@     1

@     昏

@     唇

@     I

@     l

@     醒

@     8

Q，4）1      9

@     3

i4，2）イ     3     1（・15

    ，

@  8

@  

i3，41）   f

@  「

@  1．

@ 夢

@ 3

@ 8

@ 8

@ 8

@ 8

@ k

@ l（4，3）  0  1

0 2      4    ． 6       8

 Fig．5 Moment Mo．vs frequencyδfor． case皿：

品 1．0

てはアンダーラインを忌1いて区別している。・図のよう にッ方向の半波数3ゴ1の場合，つまり，（r，1）

の振動形を・もつ固有振動数は曲げモーメントM。の増  1．0

面o

0．5

大につれて低下する。特に，座屈波形を与える（2，1）

・（case l，H， IV）および（1，1）（case皿）の固 有振動数は座屈荷重』M。一1で零とする6』しかし，ッ

         、

@     （1・璽

P，1r（2，づ

「  （2，2    ＼

@ 『、

ｼ      、

 （1，4

A《響）

@ 、、、   、、（3，2）、     、     、     亀

   1

@  1

@「

W／1

i4

        ll

̲ （3・4）1  51）  1

4，3）

i勢

0 2 4 6 8 10面

Fig．6 Moment Mo vs frequencyあfor case IV

○

，秀ミ1、

  隔 ノ 、＼

  ら  り、    ノ  、御口 

◎

  ココ へ

俗ll陥捌

 、一！！い

・こご・

繍l

l亀、、一ノ 8

父磁ク

 、   ！  ㌔●⊃

  コ（a）MO呂0．0 ^ロ （b）蜘冒0．5   ロ_{（c）蜘昭1．0} Fig．7 Variation of modal shapes of vibration

ユ．0

δo

0．5

（2，1）       1

@    （3，2）

、、、（4，お、  、   、   、

亀、ll

      ，3）

i1う4    ●

@        、

@        、

@         覧

@         1 艦（3，4》

（1，2）

（1，3）

12・3）、

@     、 ^』

亀覧

、（3，工） 、ぷ・1） ^1、

@、

、 11

（1，1）

（2，2

      、

浴@ 、

（3，3）、

@     1

@     、

      覧294）      覧

@     覧

0 2     4     6     8   面 ユO

 Fig．8  1nPIane stressδo vs frequencyδfor case I】：

．

170 面内力を受ける長方形板の振動解析

方向の波数が2以上は低下せず，ほぼ等しいか，逆に 増大している。この事実はcase I〜IVのすべてにつ いて成立するもので，純曲げを受ける場合の特性と考 えられる。なお，一様圧縮荷重（4＝1，c＝0）の場合 にはすべて低下している6）。

 固有振動数の変動が著しい（2，1）型の場合について 固有振動形のM。による変化を示せば，Fig．7に示 すとおりである。M。が増大すると，固有振動形は対 応する正方形板の座屈波形に近づく。つまり，引張側 では振幅が減少し，逆に圧縮側では振幅が増大する。

 Fig．8はcase五の三角形分布荷重（4一一1，6一・

一Dを受ける正方形板の面内応力δ。と無次元固有 振動数あとの関係を示したものである。この場合，

一様圧縮荷重の場合6）と同様に荷重の増大とともに振 動数が低下する。

6．まとめ

 本研究は面内静荷重を受ける長方形板の座屈および 固有振動解析を行ったものである。得られた結果を要 約すると，

（1）面内曲げ応力（純曲げ）を受ける正方形板の固有振 動数は荷重辺と直角方向の半波数が1の固有振動形を

もつ場合に曲げ応力の増加とともに減少する。しか し，一様圧縮荷重の場合と異なって固有振動数が増大 する振動次数がある。

（2）純曲げを受ける長方形板の固有振動形は引張側では 振幅が減少し，逆に圧縮側では振幅が増大する。

㈲面内三角形分布圧縮荷重および一様圧縮荷重を受け る長方形板の固有振動数は荷重の増大とともに減少す

る。

 鉄道橋のプレートガーダー橋の振動解析を行う場 合，列車自重の影響を無視することができないので，

これらの方法を用いて固有振動解析を行う必要があ る。今後，実験を行ない，プレートガーダー橋のモデ ル化の妥当性，本モデルの適用範囲を明らかにする予 定である。

        参 考 文 献

1）前田・大倉：プレートガーダーウエブの初期たわ   みと疲労亀裂発生の相関に関する研究，土木学会   論文報告集，第319号，pp．1〜12，1982 2）前田・大倉：三板の面外変形に起因する疲労亀裂   に与える初期たわみの影響，土木学会論文報告   集，第329号，pp．ユ〜12，1983

3） ］Kuranishi， S．， Fukaya，二S． and Shirna，

  T．：Vibration of an Initially Deflected   Web Plate Under Periodic Beam Bending，

  Proc． of JSCE， No．341， PP．229−232，1984 4）高橋・田川・池田・松川：面内曲げを受ける長方   形板の動的安定性，土木学会論文報告集，第341   号，pp．179〜186，1984

5） Timoshenko， S． P．， and Gere， G． E．：

  Theory of Elastic Stability，2nd edition，

  McGRAW−HILL BOOK CO．，INC．，1961 6）八巻・永井：周期的な圧縮荷重を受ける矩形板の   動的安定，東北大学高速力学研究所報告，第36巻，

  第351号，PP．147〜168，1975

7）福本：構造物の座屈安定解析，区報堂，1982

Appendix A

case I：

緬イ：・i・解πξ・in・πξ4ξ     ∫：・in・π・・i・・π・4・

B一一轣F（㎡＋が／幽in伽ξ・in・πξ4ξ      ∫1・in・π・・in・π・吻

C一一轣F㎡・in規πξ・in・πξ4ζ      ∫1（・一・η）・in・π・・i・・π・4・

caselV：

A一一邇{（ξ）カ（ξ）4ξル（・）ゐ（・）吻 B一イ：｛（一・）・c・・（一・）πξ一（窩＋・）・

   …（ηz十1）πξ｝方（ξ）4ξ・∫施（・）ゐ（・）吻

  ＋一灸∫：｛（魏一1）2COS（解一1）πξ一＠＋・）2

   COS（解十1）πξ｝！7（ξ）4ξ．

     ∫：｛（・一・）・C・・（・一・）π・一（・＋・）・

   COS（π十1）πη｝∫・（η）吻

  ＋ナ・∫ン・（ξ麗）4ξ∫：｛＠一・） …

   （π一1）πη一（π＋1）4cos（π＋1）πη｝∫・（η）吻

C一一轤P｛（一・）2c・・（一・）πξ一（剛）・

   COS（2π十1）πξ｝∫γ（ξ）6Zξ。

     ∫：（・一・η）ル（・）ゐ（・）吻

ここに，∫為（ξ）一COS（々一1）πξ一COS（々＋1）πξ