面内曲げを受ける長方形板の動的安定性DYNAMIC STABILITY OF A RECTANGULAR PLATE SUBJECTED TO INPLANE FORCING
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(2) 180. 高 橋. 田 川 ・池 田 ・松 川. 曲 げ モ ー メ ン トMt Mが. C0S ρt の 和 か らな る曲 げ モー メ ン ト. 作 用 す る と, 平 板 中 央 面 内 の 力Nx. は 次 の よ うに. 表 わ され る.. 式(5.. a),. (5.b). 式(5.a),. Nx=-(1-2-)(1110+Mtcos こ こに, b:. t2t). (1). (5.b). 通 常 中央 面 に面 内 力nxに. の作用下では平板 には. よる 応 力 が 生 ず るの み で あ る. を 式(2)に. 代 入 して,. Galerkin. IL(w)URS(x, y)dxdy=0 こ こ に,. 変 動 曲 げ モ ー メ ン ト Mtcosgt. 荷 重辺 方 向 の 波 形 は. 法. を 適 用 す る.. 荷 重 辺 の 長 さ, 9: 励 振 円振 動 数, Mt:. 変 動 曲 げ モ ー メ ン トの振 幅. に 示 す よ う に,. い.ず れ の ケ ー ス も正 弦 波 で 与 え ら れ る.. R=1,. 2,. s=1,2,. (6). …. す な わ ち, case. I:. が, 不 安定 領 域 で 面外 変 形 が 生 ず る. 安 定 を失 った 直 後. TM3-t-(M2I, 2+s2) 2TM3. す な わ ち 分 岐 点近 傍 で は平 板 の 面 外 変 形 は 微 小 で あ る か ら, 微 小変 形 理 論 が適 用 で き る. した が って, 安 定 を失. 12hJtI2(Mtcos. っ た直 後 の長 方 形 板 の 曲 げ振 動 の 基 礎 方 程 式 は面 内 力 を 受 け る長 方 形 板 の運 動 方 程 式 を 用 い て 次 の よ う に表 わ さ れ る(文 献6),. case. Slt), ITM, a=0. II:. P. 324Eq‑(8‑25)). Nrvv. 4Tl. L(u)=phZ+DV4w-2(1-v) (Mo+Alt. IMns3TMn. +anM(M0Mt. (2). cos Set)2=0. Ins2TMn. cos Sgt)S. Ins4TMn=0 (7.b). こ こ に, ρ: 板 の 密 度, h:. 板 剛 度,. E:. ヤ ン グ 率,. 板 厚, D=Eh3/{12(1‑レ2)}:. レ: ポ ァ ソ ン 比,. 7=1ax2+. こ こ に, μ=α/b: 辺 長 比(縦 横 比), 1ns1, 1ns2, PMns3, Pns4: Galerkin. 法 の積 分 項(Appendix. 上 式 にお い て左 辺 第1項 境 界 条 件 と して, 次 の よ うな2ケ. ー ス に つ い.て 考 え. I:. x=0,. a,. y =0,. w=aw/ay2=0. b. は係 数 励 振. 次 式 が 得 られ る.. [A]{TM}+h([B]+MQ[C]){TM}. (3・a). 荷 重 辺 単 純 支 持, 他 辺 固 定. ω=a2w/ax2=0. x=0,. +1Mt[C]cosr{TM}={0}. ω=aw/ay=0,. α,. y=0,. b. (3・b). こ こ に, 参 照),. [A],. LB],. MO=M0/MCr:. =λcr. π2D/6:. 3. 解. お よ び第3. 含 む 項 は復 元 力 項, 残 りの 第3項. 式(7・a), (7・b)を 無 次 元 化 の うえ, 行 列 表 示 す れ ば,. 全周辺単純支持. ω=ax2=0. case II:. は慣 性項, 第2項. 参 照). 項 で あ る.. る. す な わ ち, case. 項 のM0を. A. 係 数 行 列(Appendix. λcr: 座 屈 固 有 値,. 無 次 元 変 動 曲 げ モ ー メ ン ト,. δ=9/91:. 無 次 元 加 振 振 動 数, 911=α11(π2/b2)D/ph:. 式(2)の. 解 を次 の よ うに 仮 定 す る.. w=hZ. TMn(t)WMn(x,. x方 向 の 波 数1の. y). (4). B. 無 次 元 静 曲 げ モ ー メ ン ト, Mcr. 座 屈 曲 げ モ ー メ ン ト,. ルft=Mt/Mcr:. 法. [C]:. (8). 長方形板の. 場 合 の 最 低 次 固 有 円 振 動 数,. の 振 動 の 固 有 値,. {TM}={TM1,. TM2…}T,. α11: 1次 τ=211t:. 無 次 元時 間. こ こに, TMn:. 未 知 の 時 間 関 数,. 満 足 す る座 標 関 数, M=1, 式(4)の M0が. 座 標 関 数W伽. WMn:. 2, …: x方. 境界条件 を. 式(8)の. 解 を 次 の よ う に 仮 定 す る4).. 向 の波 数. {TM}=ezb0(am. と して 静 的 曲 げ モー メ ン ト. sin nir+bm cos mr). 作 用 しな い.長 方 形 の 曲 げ 振 動 の 基 準 関 数 を用 い る. もの とす れ ば, WMnは caseI: case II:. WMn=sin. 次 の よ うに 定 義 され る7). Sin,. (5. a). (9) こ こに, λ: 未 定 定 数, bo, am, bm: 式(9)を. 式(8)に. 未 知 ベ ク トル. 代 入 して, 調 和 バ ラ ンス 法 を適 用 す. れ ば, 次 の よ うなb0, am, bmを. 求 め る た め の 同 次 方程. 式 が得 られ る.. WMn=sin. [D]{X}={0}. a/COsi/fr-COsl11. こ こ に,. (5.b). 数行列. {X}={60,. (10) 61, わ2,. α1, α2, …}T,. [D]:. 係.
(3) 面内曲 げを受 ける長方形板 の動的安定性 行 列[D]. の性 質 か ら行 列[D]. 181 ば 次 の とお りで あ る.. は次 の よ うな3個 の. 行 列 に分 解 され る.. 式(14・a)の (11). [D]=[M0]‑λ[M1]‑λ2[M2]. こ こに, [Mo],. [M1],. [M2]:. λ の0,. よ うに 曲 げモ ー メ ン トM,. 要 素Cij=0で,. 1, 2次 の係 数. か つ[孟],. [B]も. ら, 基準 座標 は 直 接 項Cijに. 行列. の 場 合, 対 角. 対 角 行 列 で あ るか. よ っ て は連 成 せ ず, Cij(i. j) の 間 接 項 を介 し て連 成 す る こ とに な る.. こ こ で, {Y}=λ{X} ば, 式(10)は2倍. な る新 しい ベ ク トル を導 入 す れ. サ イ ズ の 固 有 値 問 題 に変 換 され る.. [0] [M2‑1]. 式(12)は. X. [1]. =λ. 153〜154参. Y. 成 が生 ず る. ま た,. (12). +の 符 号 の和 形 の み が存 在 す る. 行 列[C]. Cij=C方. 値 が す べ て負 な らば,. (ω2M+ω1M)/た. の和 が 奇 数 の結 合 共 振 が 存 在 す る.. に 不 安 定 で あ る. 式(8)に. (ω1M+ω3M)燐,. 含 まれ るパ ラ メー ター で あ る. 変 動 曲 げ モ ー メ ン トMtの. の要 素 の う. か ら, 結 合 共 振 に つ い て は(ω1M+ω2M)/k, た, (ω2M+ω3M)/k,. た め に安 定, 逆 に一 つ で も正 な らばeτ が 発 散 す る た め. 励 振 振 動 数wと. 介 して連. で あ る か ら, 結 合 共 振 は. ち, C12(C21), C14(C41)3 C23(C32), C25(C52)=0. 一 般 解 に含 まれ るeτ が 時 間 と と も に収 束 す る. 組合せ によ. と. 照). 一 方, Cij=0の. 要 素 が存 在 す る か ら, 基 準 座 標 は 間接 項Cijを. 非 対 称 行 列 の 固 有 値 問 題 の 基 礎 式 で あ る.. した が っ. り定 ま る単 純 共 振 は重 要 で な い(た. え ば文 献7)のpp.. X. Y. [M0]一[M2‑1][M1]. 得 られ た 固 有 値 の 実 数 部RE(λ)の 式(9)の. て, 直 接 項Cijよ. (ω2M+ω4M)擁. である. (ω1M+ω4M)/. な どの よ うにiとj しか し, た とえ ば. な どのiとjの. 和 が偶. 数 の結 合 共 振 は存 在 しな い. これ に対 して, 一 様 圧 縮 荷. っ て, 長 方 形 板 の 面 外 振 動 は 安 定 も し くは 不 安 定 とな. 重qtの. 揚 合 に は式(14・b)の. る. 不 安 定 な 状 態 に お い て 長 方 形 板 に面 外 振 動 が生 じ,. (i=j). よ り, 基 準 座 標 問 に連 成 は な く, 各 自由度 ご と. 時 間 と と もに振 幅 が 増 大 す る こ とに な る.. に分 離 す る こ と が で き る. つ ま り, 各 基 準 座 標 は1自 由. よ うに, qij=0,. Cij=0. 度 系 と して 取 り扱 うこ と が で き る. した が っ て, 結 合 共 4. 面 内 曲 げ を 受 け る 長 方 形 板 の 面 外 係 数. 振 は 存 在 し得 ず, 単 純 共 振 の み が存 在 す る. こ の よ うに. 励振振動の性質. 負 荷 形 式 に よ っ て, 現 われ る不 安 定 現 象 が異 な る と い え る. 変 動 曲 げモ ー メ ン トMTに. 式(8)の 微 分 方 程 式 の不 安 定領 域 に は 次 の2種 類 が あ. 域 は通 常 の1自. る4). の=2ωim/k. の 付 近 に 生 ず る単 純 共 振. (+: こ こに, k=1:. (13). な お, 静 的 曲 げモ ー メ ン ト.M0が. 和 形,. ‑:. 差形). 主 不 安 定 領 域, k:≧2:. 無 次元 固有 円振 動 数(M: x方. 行 列[0]はcase る. 一 方,. 副 不 安 定 領 域,. 向 の 波 数, i:. の 整数 分 の1(1/k)付. (ωiM± ωjM) の 整 数 分 の1(1/k)付 で あ る. 式(13)の る か は式(8)の. お よび 係 数 励 振 の 項 の 係 数 行 列[C]. 復 元 力 の項 の 係 数行 列[β] を介 し. 基 準 座 標 間 の 連 成 が 直 接 項 を も っ た形 で 生 じ て く 作 用 す る場. 合 に は 単 純 共 振 お よび 結 合 共 振 が同 時 に生 ず る こ と が予. または差. 想 され る.. 不 安 定 振 動 の うち, どれ が重 要 で あ. 5. 固 有 振 動 解 析. 要素 不 安 定振 動 解 析 に 先 立 って, 固 有 振 動 数 に及 ぼ す 静 的. 静 的 曲 げ モ ー メ ン トM0=0の の 曲 げ モ ー メ ン トMtを. 長 方 形 板 を対 象 に本 題. M0を. (14・a). bij=cji. Cll. O. O. O. O. O. C22. 0. 0. 0. 0. 0. C33. O. O. 0. 0. 0. C44. 0. 9. 0. Q 0. c551. 影響 を明 らか に す る. す な わ ち,. お い てMT=0と. お け ば, 静 的 曲 げ モ ー メ ン ト. 受 け る長 方 形 板 の 運 動 方 程 式 が得 られ る. caseII の 正 方 形 板(μ=1. 0)に 対 す る計 算結 果 は,. 一様圧縮荷重 切. 0. C21 0 C23 0 C25 O C32 0 C34 0 C41 0 C43 0 C45 O C52 0 Cg, 0. 式(8)に. の要 素 構 成 を示 せ. 曲け モ ー メ ン ト ル均 C14. 曲 げ モ ー メ ン トM0の. 受 け る場 合 と, 一 様 圧 縮 荷 重. qtを 受 け る場 合 に対 して, 行 列[C]. 0. 全 要 素 が ゼ ロ以 外 の 数 値 を もつ.. 近 に生 ず る 結 合 共振. 微 分方 程 式 の 係 数 励 振 行 列[0]の. C12. 同 じで あ. +M0[C]. 構 成 に よ っ て定 ま る.. O. caseIIは. 作 用 す る場 合 に は,. 場 合 に は式(14・a)と. る. した が って, 静 的 曲 げモ ー メ ン トM0が. 近 に生 ず る単 純 共 振 と, 無. 次 元 加 振 振 動 数 δ が2個 の 固有 振 動 数 の 和,. Iの. あ るか ら式(8)の. て,. っ ま り, 無 次 元 加 振 振 動 数: の が 固有 振 動 数 の2倍(2. [c]. 方程式. M0=0で. 次. 数). wM). 由度 系 で表 わ され るMathieuの. の 不 安 定 領 域 と著 し く異 な る こ と が予 想 され る.. ∂=(ωiM± ωjM)/kの 付 近 に 生 ず る結 合 共 振. wM:. よ る長 方 形 板 の不 安 定 領. 図‑2. に 示 す とお りで あ る. な お, 計 算 に. あ た って は 式(5・b)の (14・b). 級 数 の 項 数 を10と. した が, この 結 果 は 文 献7)の. 表 一2と ま. っ た く 一致 した. 図 に お い て 横 軸 の=9M ρ11は 各 次 の 固有 円振 動 数. ρsMを 静 的 曲.
(4) 182. 高 橋 ・田 川 ・池 田 ・松 川. 縮 荷 重 す0の 場 合 ηに は 見 受 け られ な い 曲 げ モ ー メ ン ト M0を. 受 け る場 合 の 固有 の特 性 と思 わ れ る. 固有 振 動 数. の 変 動 が 著 しい(2, 1)型 の場 合 につ い て, 固有 振 動 形 の M0に. よ る変 化 を示 せ ば, 図一3の. 曲 げモ ー メ ン トM0が. とお りで あ る. 静 的. 増 大 す る と, 固有 振 動 形 は対 応 す. る正 方 形 板 の 座 屈 波 形 に近 づい て くる. つ ま り, 引 張力 側 で は振 幅 が減 少 し, 逆 に圧 縮 側 で は振 幅 が増 大 す る.. 図‑2. 6. 面 外 不 安 定 領 域. 正 方形板の無次元固有振動数 砺 班 に及 ぼす 静的曲 げモ‑メ ン トM0の. げ モ ー メ ン トM0. 影響 (1). が 作 用 し ない 場 合 の 固有 円振 動 数911. で 基 準 化 した 無 次 元 固 有 振 動 数 で あ る. ま た, 縦 軸M0 は 無 次 元 静 的 曲 げ モ ー メ ン トで あ る. 図 中 の記 号(M, は ωsM, す な わ ち, X方 数)sの. 向 の 波 数M, Y方. 数 値 解 析 に あ た っ て は式(14. s). 向 の波 数. M=2. る(文 献6)のp‑378,. 向 の 波 数(次. 求 め た. す な わ ち, TM1+TM2,. ツ 方 向 の 波 数s=1の. 場 合 の(M,. 照).. の性 質. TM3+TM4,. TM2+TM5. の よ うな 結 合 共 振 を生 ず る行 列 要 素 を用い て 安定 判 別 を. が最 低 次 の座 屈荷 重 を 与 え. Fig. 9‑20参. a) の行 列[C]. か ら連 成 項 が あ る 自由度 の み を対 象 と して不 安 定 領 域 を. 振 動 形 を もつ 無 次 元 固 有 振 動 数 を意 味 す る. 本. 例 で はX方. 計 算 自 由度 に つ い て. 行 う. この よ うな取 扱 い で式(14・a)を. 図 の よ うに. 全 体 系 で解 析 し. た 結 果 と ま っ た く同 じ結 果 が得 られ る. 結 合 共振 は2っ. 1)の 振 動 形 を もつ 固. の 自 由度 間 の連 成 振 動 で あ る か ら, 2つ の 自由度 の み に. 有 振 動 数 ω1‑M は静 的 曲 げ モ ー メ ン ト π0の 増 加 と と も. 注 目す れ ば よ い も の と考 え られ る. ま た, 単 純 共振 は1. に減 少 す る. 特 に(2, 1)型,. つ の 自 由度 の不 安 定 振 動 で あ る か ら対 応 す る行 列 要 素 の. (3, 1)型,. (4, 1)型 の 固 有. 振 動 数 の 減 少 が 著 しい. 座 屈 波 形 に相 当 す る(2, 1)型 の. み を取 り出 せ ば よい. 以 上 の よ うな計 算 方 法 を用い て,. 場 合 に は, M0=1で. 1次 の 固 有 振 動 数 の10倍. の=0と. な る. 荷 重 方 向 す なわ ち. 記方 向 の 波 数 に 比 べ て そ れ と直 角 方 向 の 波数 が 相 当 大 き い 場 合, (1, 3)型,. (1, 4)型,. (2,4)型. 型, (3, 2)型,. (2, 3)型,. (3, 3)型. 領 域 を求 め る こ と にす る. ま た, 本 論 で は, Mt=0.. な どで は 固 有 振. 動 数 は 変 化 し ない. し か し, 他 の振 動 形(1, 2)型,. ま で の振 動 数 の 範 囲 で不 安 定 5で. (2, 2). 不 安 定 領 域 の 幅 が0. 1以 上 の もの をプ ロ ッ トし, 0. 1以 下 の 幅 の 狭 い 不 安 定 領 域 は省 略 す る もの で あ る.. な どで は わ ず か で は. あ るが, 固 有 振 動 数 は増 加 して い る. この こ とは 一 様 圧. (2). 正 方 形 板 の面 外 不 安 定 領 域 図‑4. お よび5は. 形 板(μ=1.. 0)の. case I. と case II の正 方. 面 外 不 安 定 領 域 をMo=0に. 対. して 示 した もの で あ る. ま た, 各 ケ ー ス の無 次元 固 有 円 振 動 数 ωsMお. よび 式(8)の. 定 数A11お. よ. び λCrを 表 一1に 示 す. 図 中に お い て 横 軸 δ= 9/911は 無 次 元 加 振 振 動 数 を, 縦 軸 ルftは 無 次元 (a). Mo=0.. 図‑3. 0. (b). Mo=0.. 静 的 曲 げ モ ー メ ン トM0に. 5. (c). 変 動 曲 げ モ ー メ ン トの 振 幅 で あ る. 図 中 の右 下 が. M0=1.0. りの 斜 線 部 が結 合 共 振 を, 右 上 が りの斜 線 部 が単. よ る正 方 形 板(2, 1)型 の 固 有. 純 共 振 の 不 安 定 領 域 を意 味 す る. 不 安 定 領 域 に示. 振 動形の変動. 図‑4. 変 動 曲 げ モ‑メ. ン トMTを. 不 安 定領 域(caseI,. 受 け る正 方 形 板 の. M0=0). 図‑5. 変 動 曲 げ モ‑メ 定 領 域(case II,. ント砥 M0=o). を受ける正方形板の不安.
(5) 面 内曲げ を受け る長方形板 の動的安定性 表‑1. 183. 正方形板の無次元固有振動数 定 数 α11お よ び2cr(M0=0.0). し た記 号(ωiM+ωjM)/h,. 2ωiM/hは. ω8M お よ び. そ れ ぞ れ 結 合 共 振,. 単 純 共 振 の種 類 を意 味す る. これ らの 斜 線部 に おい て 面 (a) out-of-plane. 内変 動 曲 げ モ ー メ ン ト ルftの作 用 下 に おい て 平 板 には 面 外 振 動 が生 ず る. 式(2)の. vibration. 微 小変形の仮定の運動方程式. の も とで は この面 外振 動 は 発 散 す る. しか し, 注2)で 述 べ た よ うに, 平 板 で は 幾 何 学 的 非 線 形 項 の 存 在 に よ っ て, この振 幅 は 有 限 な 大 き さ とな る. 本 論 文 の微 小 変 形 理 論 に よ る解 析 で は, この 振 幅 の 大 き さ を決 定 す る こ と が で きない. 本 論 文 の 解 法 と は異 な っ た取 扱 い を必 要 と. (b) inplane. す るた めに, この 問 題 につ い て は別 の機 会 に報 告 す る. 式(14・a)の. (1) Time. forcing. response. of. cnmbir.. ation. resnce(. 行 列 の対 角 線 要 素 は ゼ ロで あ る が, 連 成. 項 を介 して, 本 例 に も 図 に示 す よ うに ω12,ω22な どの単 純 共 振 の 副 不 安 定 領 域 が存 在 す る. これ らの 図 か ら明 ら か な よ うに単 純 共 振 の不 安 定 領 域 は結 合 共 振 の場 合 よ り も か な り狭い.. した が っ て, 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る長. 方 形 板 の不 安 定 領 域 は結 合 共 振 が単 純 共 振 よ りも重 要 で あ る. 次 に結 合 共 振 の幅 に注 目す れ ば, ω1M+ω2M, +ω3Mの. ω2M. (0). out-of-plane. vibration. よ うに 固有 振 動数 が 接近 して い る場 合 に は結 合. 共 振 が存 在 す る が, ω1M+ω2Mの. よ うに 固 有 振 動 数 が離. れ てい る場 合 に は 結 合 共 振 は 生 じない. case I. と case. IIの 区別 な く, 結 合 共 振 の 不 安 定 領 域 の 幅 は ω12+ω22 (case I), ω13+ω23(caseII)の. よ うに固 有 振 動 数 の比. が 接 近 してい る 場 合 に広 くな る. 座 屈波 形 を与 え る. M =2の. (b) inplano. 場 合 が 必 ず し も最 も広 くな らない こ と に注 意 を要. (Z) ii vc irspon00. す る.. 図‑6. 図‑6(1), の(w,. of oi;npic. Mt). (2)は. 図 一5の 不 安 定 領 域 内 の点(1),. に つ い て, 式(8)を. 直 接Runge‑Kutta.. vibration resonant. 不安 定振動 の時間応 答. (2) Gill. 法 を用い て 数 値 積 分 す る こ と に よ っ て得 られ た不 安 定 振 動 の 時 間 応 答 で あ る. 曲 げモ ー メ ン トtを. 受 け る長 方. 形 板 の 場 合, 結 合 共 振 が支 配 的 で あ る か ら, 結 合 共 振 の 図‑7. 発 散 が早 く, 逆 に幅 の狭 い単 純 共 振 の発 散 は緩 や か で あ る. ま た, 図‑5. 不 安定領域の精度. の 間 に境 界 線 が 存 在 す る. 図 の よ うに時 間 積 分 に よ る境 の ω12+ω22の 結 合 共 振 の安 定 と不 安 定. と の境 界 線 をRunge.. Kutta‑Gill 法 に よ っ て検 討 した結. 果 を 図一7に 示 す. 図 中 に おい て ×印 の座 標(w, は面 外 振 動 が 図一6(1)の. Mt). 十 分 な 精 度 を有 す る こ とが 確 認 され る.. Mt). よ うに 発散 す る不 安定 な 点 で. あ る. こ れ に対 して ○ 印 の座 標(W,. 界 線 は本 法 に よ る解 析 解 と一 致 して お り, 本 法 の 結 果 は. は面 外 振 動 が. 発 散 しな い安 定 な点 で あ る. この不 安定 な 点 と安 定 な 点. (3)負. 荷条件の影響. 曲 げ モ ー メ ン ト ルftと 一 様 圧 縮 荷 重 々tの2っ の 負 荷 条 件 の 相 違 に よ る不 安 定領 域 の 変 動 を比 較 す るた め に,.
(6) 184. 高 橋 ・田 川 ・池 田 ・松 川. くる. この 事 実 は4.. の不安定領域の性質で述べ たよ う. に 基 準 座 標 の 連 成 が 復 元 力 の 項 お よび 係 数 励 振 の項 か ら 直 接 項 を介 して も生 ず る こ と に対 応 して い.る. 次 に結 合 共 振 に注 目す る と, 最 も幅 の広 い. ω13+ω23 型 の 不 安 定 領 域 が静 的 曲 げ モ ー メ ン トの 影 響 を受 け て狭 くな っ て い. る. 表‑1,. 2の 比 較 か ら明 らか な よ うに, M0=0.. 3の 場. 合 ω13 と ω23 の2つ の 固有 振 動 数 が 離 れ て き た こ とに よ る もの で あ る. 図‑8. 一 様 圧 縮 荷 重qtを. 受 け る正 方 形 板 の. 不 安 定 領 域 (case. case II の一 様 圧 縮 荷重qtを. 受 け る正 方形 板 の 面 外不. 安 定 領 域 を 図一8に 示 す. 式(14・b). で示 した よ うに,. 図 一8の 一 様 圧 縮 荷 重 すtの 場 合, 単 純 共 振 の主 お よび 副 不 安 定 領 域 の み が 存 在 す る. 結 合 共 振 は存 在 しな い. こ の結 果 は 式(14. る. 図‑5,. b)の 結 果 か ら予 想 され る と お りで あ. 8の 比 較 か ら明 らか な よ うに負 荷 条 件 に よ っ. て不 安 定 領 域 が著 し く異 な る とい え る. (4)静 図‑9. 的 曲 げ モ‑メ ン トMOの はcaseIIの. ン トM0=0.3の. (5). 辺長比の影響. II:, qo=0). 図‑10. お よび11にcaseIIの. 辺 長 比 μ=0.47. び1. 43の 不 安 定 領 域 を示 す. ま た, 表‑3に の 無 次 元 固 有 振 動 数 お よび 式(8)の を示 す. μ=0. 47が. M=3の. M=1の. 座 屈 波 形 を もつ.. 定 数A11お. よ び λCr. 座 屈 波 形 を, μ=1.43が 文 献6)のP‑378のFig. 9‑20に 示 され て い る よ うに, μ=0. 47, 1.43は 同 じ座 屈 荷 重 を もつ場 合 で あ る. 図 一5, 10, 11か. ら明 らか な よ. うに不 安 定 領 域 は辺 長 比 に よっ て異 な る とい え る. い ず. 影響. 正方 形 板 に対 して 静 的 曲 げモ ー メ. 場 合 の不 安 定 領 域 を示 した もの で あ る.. 本 例 の 無 次 元 固有 振 動 数 ωsM お よび 式(8)の. 定 数A11. お よび λcrは 表 一2に 示 す とお りで あ る. 本 節 で は 静 的 曲 げ モ ー メ ン トM0の. 存 在 の影 響 を評価 す る こ と を 目. 的 と した も の で あ る. 表‑1, に. M0=0.. 2の 比 較 か ら明 らか な よ う. 3は 各 次 の 固有 振 動 数 に大 き な 影響 を及 ぼ さ. な い大 き さ で あ る.. 図‑5,. 9の 比 較 か ら 明 らか な よ う. 図‑10. 変 動 曲 げ モ‑メ ン トmtを 受 け る長 方 形 板(μ =0.47) の不 安 定領 域(caseII, M0=0.0). 図‑11. 変 動 曲 げ モー メ ン トmtを 受 け る長 方 形 板(μ =1.43)の 不 安 定 領 域(caseII, M0=0.0). に, 静 的 曲 げ モ ー メ ン ト.M0が 存 在 す る と単 純 共振 の 主 不 安 定 領 域 す な わ ち2ω11,. 図‑9. 表‑2. 2ω21, 2ω22 な どが現 わ れ て. 変 動 曲 げ モ ー メ ン トmtを 定 領 域 (caseII, M0=0.3). およ. 各辺長比. 受 け る正 方 形 板 の 不 安. 正 方 形 板 の 無 次 元 固有 振 動数 ωsmお よ び 定 数 α11お よ び λcr(case II, M0=0.3). 表‑3. 長 方 形 板 の 無 次 元 固 有 振 動 数 ωsMお 定 数 α11 お よ び λcr(caseII,. よび. M0=0.0).
(7) 面内曲げを受 ける長方形板 の動 的安定性. 185 ト)お よび 変 動 曲 げ モ ー メ ン トMt(活. 荷重 による曲げ. モ ー メ ン ト)を 計 算 し て, 無 次 元 化 した と こ ろ, M0= 0. 18〜0. 25, Mt=0.. 10〜0‑13程. 度 で あ っ た. ま た, 振. 動 数 比 の=0. 3〜5. 0程 度 で あ る. (w, Mt). の組 合 せ が. 不 安 定 領 域 内 に あれ ば, 腹 板 に は面 外 振 動 が生 ず る. 本 論 文 の 不 安 定 領 域 の計 算 結 果 に よ っ て, プ レー トガ ー ダ ー 橋 の腹 板 に面 外 振 動 が生 ず る可 能 性 が あ る こ とが理 論 的 に確 認 され た. 今 後, 実 橋 に お け る振 動 計 測 や模 型 実 図‑12. 不 安 定 領 域 に及 ぼ す減 衰 力 の影 響(case II, πo=0.0, μ=1.0, hiM=hjM=0.01). れ の 辺 長 比 の 場 合 に も固 有 振 動 数 の 比 が 接 近 した結 合 共. 験 な どに よ っ て現 象 を確 認 す る こ とが必 要 で あ る. 係 数 励 振 振 動 が面 外 変 形 発 生 の原 因 で あれ ば, 本 研 究 で示 し た安 定 領 域 に振 動 数 比 を設 定 す る こ とに よ って, 面 外 変 形 を防 ぐこ とが で き る. 面 外 不 安 定振 動 に 及 ぼ す長 方 形. 振 の 幅 が 最 も広 い とい え る.. 板 の初 期 変 形 の影 響, 幾何 学 的非 線 形 項 の 評価 な ど重 要 (6). 減衰力の影響. な問 題 が残 され て い る が, これ らに つ い て は 稿 を改 め て. 不 安 定 領 域 に 及 ぼ す 減 衰 力 の 影 響 を明 らか にす る た め に, 式(8)に. 線 形 の 減 衰 項 を加 え, 各 基 準 座 標 ご との減. 衰 定 数hiMの. 形 に 整 理 す る. 図‑12. 減 衰 定 数hiM=0.. は 非 減 衰 の場 合 と. 01の 場 合 の 不 安 定 領 域 を示 し た も の. で あ る. 減 衰 力 の 効 果 は 一 般 に幅 の 狭 い不 安 定 領 域 を安 定 領 域 に変 え る. 本 題 の 曲 げモ ー メ ン トMtを. 報 告 す る予 定 で あ る. 数 値 解 析 に あ た っ て は松 園 正 人 氏(現. ・小松 建 設 工業. (株))の 援 助 を得 た. 数 値 計 算 に は長 崎 大学 の情 報処 理 セ ンタ ー のFACOM. M‑180AD. II を使 用 した こ とを. 付 記 す る.. 受 け る構. 造 系 で は 結 合 共 振 が支 配 的 で あ る か ら, 減 衰 の 大 き さ の. Appendix. A. 組 合 せ に よ って は 不 安 定 領 域 は広 め られ る こ とが あ る4) の で 注 意 を要 す る.. 7.. ま. と. Ins=11(1-2)sin nr sinsnrdr7 IsZS2=Iai{cos(i-1)7rr-cos(i+1)ri}. あ. ads{cos(j-1)7zr-cos(j+1)7r}dr 本 研 究 は 静 的 お よび 変 動 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る荷 重 辺 が 単 純 支 持 され た 長 方 形 板 の 動 的 安 定 問 題 を解 析 し た. IMns3=Ia1[{1112/2+(i-1)2}cos(i-1)r. もの で あ る. 本 研 究 で 明 らか にな った こ と を ま と め る と. -{M2/a2+(i+1)2}cos(i+1)rr2]. 次 の とお りで あ る. (1). of{cos(j-1)cos(j+1)7rr}dr. 静 的 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る正 方 形 板 の 固 有 振. 動 数 は 荷 重 辺 と直 角 方 向 の 波 数 が1の 場 合 に静 的 曲 げモ ー メ ン トの 増 加 と と もに 減 少 す る. しか し, 一 様 圧 縮 荷. Its4=+(1-2)a1t{COS(i-1)TryJ-COS(i+1)r} ads{cos(j-1)7r-cos(j+1)rrr}di. 重 の 場 合 と異 な って 固 有 振 動 数 が 増 大 す る振 動 次 数 が あ る. (2). 7)=v/b. 曲 げ モ ー メ ン トを受 け る長 方 形 板 の 面 外 不 安 定. 領 域 は 振 動 次 数 の 和 が 奇 数 の 結 合 共 振 が 支 配 的 で あ る.. Appendix. B. この 事 実 は 単 純 共 振 の み が 存 在 す る一 様 圧 縮 荷 重 の 場 合 と根 本 的 に 異 な る. 不 安 定 領 域 の 幅 は 境 界 条 件 の 区 別 お. case I. よび 辺 長 比 に 無 関 係 に固 有 振 動 数 が接 近 してい る場 合 に. [A]=[I]. 広 く, 両 者 が 離 れ てい る場 合 には 狭い. (3). 単 位行列. [B]=diag. 静 的 曲 げ モ ー メ ン トの 影 響 は 静 的 曲 げ モー メ ン. I11. トが 作 用 しな い場 合 に 狭い 単 純 共 振 の 不 安 定 領 域 を広 め る効 果 を もつ. 特 に, 単 純 共 振 の 主 不 安 定 領 域 が現 われ て くる.. [0]=2M2λCr case. I211 I311. I121 I221 I321. II: I112 I212 I312. 鉄 道 橋 溶 接 プ レー トガ ー ダー 橋 数 例 につい て 設 計 例 か ら静 的 曲 げ モ ー メ ン トM0. {M2/u2+s2)2}. (死 荷 重 に よ る曲 げ モ ー メ ン. [A]=. I122 I222 I322. I113 I213 I313. [B]=. I123 I223 I323.
(8) 186. 高橋 ・田 川 ・池 田 ・松 川 1114 1214 1314 [C]=M2λcr. 1). 前 田 ・大 倉:. 4). 参. 5). 考. 文. 献. プ レ ー トガ ー ダ ー ウェ ブ の 初 期 たわ み と 疲. 労 亀 裂 発 生 の 相 関 に 関 す る研 究, 2). 第1部,. 1412 1422 14 32. 土 木 学 会 論 文 報 告集,. る初 期 た わ み の 影 響, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第329号, 3). 6). 第319号, pp‑1〜12, 1982. 前 田 ・大 倉: 薄 板 の面 外 変 形 に 起 因 す る 疲 労亀 裂 に 与 え pp. 1‑12, 1983. 倉西 嶋: 曲 げ に よ る プ レー トガ ー ダ ー ウェ ブ の 振 動 に つ い て の研 究, 第37回 土 木 学 会 年 次 学 術 講 演 会 概 要 集,. 7). I‑61,. PP.. 121〜122,. 1982.. Takahashi, K. Instability of Parametric Dynamic Systems with Non-uniform Damping, J. of Sound and Vibration, Vol. 85, pp. 257-262, 1982. Bolotin, V. V.: The Dynamic Stability of Elastic Systems, Holden-Day, Inc., pp. 382-V416, 1964. Timoshenko, S. P. and J. M. Gere: Theory of Elastic Stability, 2nd edition, McGRAW-HILL BOOK CO., INC., 1961. 八巻. 永 井: 周 期 的 な 圧 縮 荷 重 を 受 け る矩 形 板 の 動 的 安. 定, 東 北 大 学 高 速 力 学 研 究 所 報 告, 第36巻, pp. 147168, 1975.. 第351号,. (1983. 6. 16. 受付).
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