第 11 章 膨張する宇宙

第

11

11.1

相対性理論

Albert Einstein

1905

対性理論（

Special Theory of Relativity

[ 1 ]

Lorentz

Newton

Galilei

時間を仮定しており，時間は空間と切り離されていた．）特殊相対性理論は，

Einstein

Coulomb

Coulomb

Lorentz

する．（

Newton

特殊相対性理論の枠組に収められなかったのが重力である．しかし，重力の本性も運動と結 びついているはずである．

Einstein

Newton

1916

General Theory of Relativity

[ 2 ]

m _G

m _G g

m _a

F

a

F = m _a a

Newton

m _G g

− m _a a

Newton

245

理」の要請である．言い換えると，重力場を打ち消すような（加速度運動する，局所的な）

座標系が選べるということを意味している．第２の要請は「一般共変性の原理」である．こ れは，時間と空間が融合した４次元の時空における任意の座標変換に対して物理法則は変わ らないということである．勝手に運動している座標系は運動学的に見れば全く同等であると 考えられるが，運動学だけでなく，力学を始めとする物理的観点からもこのような座標系が 同等であると要請することは自然である．ただし，「要請」が正しい保証はない．「要請」か ら導かれる結果と，現実に観測される現象を比較することによって，その妥当性・正しさを 検証していくことになる．

一般相対性理論においては重力と時空が密接に関係している．従って，重力場が弱いとき

には

Newton

なっている．例として，太陽のまわりをまわる惑星の運動を考える．

Newton

一般相対性理論では，太陽の質量により時空が歪み，歪んでいるために惑星は直進できずに 結果として楕円軌道を描いていると考える．

両者の違いは一般相対性理論の近似の精度を高めていくと明らかになり，それが一般相 対性理論の検証になる．

光の屈曲 重力場により光の進路が曲げられる．実際，恒星の見かけの位置が，太陽の近く にあるときと離れたときで角度にして

1.7

Einstein

1919

スペクト ル線の赤方偏移 固有時間の遅れによる波長の伸びを指し，宇宙論的赤方偏移とも 呼ばれる（後述）．

水星の近日点の移動 水星は楕円軌道上を運動しているが，楕円の長軸の方向が軌道面内を 回転していくことが観測されている．

Newton

Einstein

重力波 一般相対性理論によれば，時空の歪みが波として伝搬することが予言されている．

重力波は物体の伸縮として観測されるはずであるが，その大きさが極めて小さいため，

未だに検出には成功していない．

静的宇宙モデルと動的宇宙モデル

一般相対性理論によれば，重力場と時空は切り離せないものであり，重力場により時空は

「歪む」．４次元の時空は計量テンソル

g _µν

g ₀₀ = 1, g ₁₁ = g ₂₂ = g ₃₃ = − 1

0

Einstein

原理（

cosmological principle

11.1

247

Einstein

cosmological constant

Einstein

Alexander A. Friedmann

1922

[ 3 ]

Friedmann

Einstein

Friedmann

Friedmann

Fiedmann

1924

Friedmann

Friedmann

Einstein

示した

Friedmann

Abbe G. Lemaitre

Friedmann

Einstein

観測的宇宙論

太陽系を含む多くの恒星が円盤状に分布した銀河構造をもつことは，観測により既に

18

20

19

観測的宇宙論の先駆的研究は

V.M. Slipher

Slipher

1913

Doppler

1914

からくる光のスペクトル分析から，アンドロメダ星雲と我々の銀河が類似したものであるこ とを示唆した．星雲までの距離の測定法を確立したのは

E.P. Hubble

Hubble

銀河系外に多くの星雲（銀河）が存在するならば，それらがどのように分布し，どのよう に運動しているかを測定することが次の課題になる．

Hubble

Wilson

100

Hubble

Arthur S. Eddington

Hubble

Hubble

1930

定常宇宙と火の玉宇宙

Hubble

Friedmann

訳ではなかった．事実，

1948

H. Bondi

と

T. Gold

定常であるとする．これと

Hubble

G. Gamow

Big Bang

[ 4 ]

Gamow

1964

Arno Penzias

Robert Wilson

Gamow

放射）

[ 5 ]

我々の宇宙が

Big Bang

(1) Hubble

(2)

(3)

以下では，この３つについて説明して行く．

11.2 Hubble

249

11.2 Hubble

11.2.1 Hubble

1929

Edwin Powell Hubble

v

d

[ 6 ]

11.1

v = H ₀ d (11.1)

これを

Hubble

H ₀

Hubble

Mpc

distance [Mpc]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

velocity

[ k ] m/s

-200 0 200 400 600 800 1000 1200

図

11.1: Hubble

単位である．図示したデータを再現する直線の傾きから得られる値

H ₀ ≈ 500 km s ^{− 1} Mpc ⁻¹

後の研究により（今だから言えるのであるが ），

Hubble

H II

距離の単位

宇宙における距離の単位として，下で述べる年周視差から定義される

pc

く用いられる：

1 pc = 3.26

= 3.086 × 10 ¹³ km (11.2)

1

5 × 10 ^{− 6} pc

proxima centauri

1.31 pc

Milky Way Galaxy, MWG

3 ×10 ⁴ pc

MWG

Large Magellanic Cloud, LMC

5 × 10 ⁴ pc

MWG

7 × 10 ⁵ pc

Hubble

宇宙が一様に膨張しているのであれば，ある天体（たとえば，地球）に座標原点をとると，

他の天体の遠ざかる速さとその天体までの距離は

Hubble

Hubble

天体の固有運動は近くの天体との重力相互作用の結果であり，宇宙の膨張の効果よりは るかに大きい．固有運動の例をあげると，たとえば，太陽系に２番目に近いバーナード 星

は

108 km s ^{− 1}

120 km s ^{− 1}

速度は

30 km s ^{− 1}

天体の固有の運動の速度は，大きくても

500 km s ^{− 1}

5, 000 km s ^{− 1}

Hubble

10%

以下になると考えられる．この意味で，

Hubble

Hubble

Hubble

Hubble

がある．視線方向に遠ざかる星や銀河から発せられた光は，その速度に応じた 赤方偏移を 受ける．すなわち，原子が放出・吸収する固有の波長の光がどの程度偏移を受けるかを測定 すれば，視線速度を求めることができる．

一方，遠方の天体までの距離の測定は，それほど容易ではない．上で示した，

Hubble

5, 000 km s ^{− 1}

Hubble

7 × 10 ⁷ pc = 70 Mpc

500 km s ^{− 1}

Hubble

宇宙における距離とは

太陽系に近い天体の場合は問題にならないであろうが，

Hubble

これを相対論では固有距離という．

11.2 Hubble

251

そこで，距離を，ある約束のもとに定義して用いることにする．たとえば，同じ距離で見た ら同じ明るさの２つの星

A

B

A

B

4

B

A

2

A

B

A

B

2

B

A

2

11.2.2 Hubble

Hubble

ついては以下で説明することにして，最近報告されている

Hubble

11.2

に示す

[ 7-17 ]

Hubble

50 60 70 80 90 100

Hubble constant [km/s/Mpc]

Sakai et al. (2000) Kelson et al. (2000) Ferrarese et al. (2000) Tonry et al. (2000) Blakeslee et al. (2000) Riess et al. (1995) Hamuy et al. (1996) Jha et al. (1999) Suntzeff et al. (1999) Gibson et al. (2000) Saha et al. (1999)

図

11.2: Hubble

[ 7 ] Table 20.2

る直接的な方法が提案され，異なる方法による検証を経て，確立されてきた．観測の進歩に より，その不確かさは

10%

1990

Particle Data Group

Hubble

H ₀ = ( 71 ± 7 ) × ^1.15 0.95 km s ^{− 1} Mpc ^{− 1} (11.3)

[ 7 ]

11.2

60

90

h

H ₀ = 100 h km s ^{− 1} Mpc ^{− 1} (11.4) Hubble

H ₀

0.6 < h < 0.9

Hubble

Hubble

Hubble time

t _H = 1

H ₀ = 9.78 × 10 ⁹ h ^{− 1} y = 3.09 × 10 ¹⁷ h ^{− 1} s (11.5)

Hubble distance

D _H = c

H ₀ = 3000 h ^{− 1} Mpc = 9.26 × 10 ²⁵ h ^{− 1} m (11.6)

11.3

redshift

253

11.3

redshift

11.3.1

原子，分子，イオンなどは固有の波長をもった光だけを放出する．しかし，天体からの 光の波長を測定すると，固有の波長と異なっていることがある．これを，一般的に，スペク トルの偏移という．固有の波長より長くなっているときには赤方偏移，短くなっているとき には青方偏移という．

水素原子の４つの代表的なスペクトル線（

Balmer

11.3

0

1/10

velocity = 0

656.3 nm

486.1 nm

434.0 nm 410.2 nm

velocity = 0.1c

725.5 nm

537.4 nm

479.9 nm

453.5 nm

図

11.3:

天体からくる光のスペクトル線の偏移には，

Doppler

宇宙論的赤方偏移がある．重力赤方偏移（

gravitational redshift

cosmological redshift

11.3.2 Doppler

遠方の星や銀河が遠ざかる速度は，赤方偏移を

Doppler

Balmer

11.4

λ

λ

λ λ ^’

source velocity

図

11.4: Doppler

λ = ( c + v ) T (11.7)

ここで，

c

v

T

v

T 0

T = T ₀

1 − v ² c ²

T 0 = λ

c (11.8)

である．この関係を代入して

λ = ( c + v ) T 0

1 − v ² c ²

=

( c + v ) λ c

1 − v ² c ²

=

1 + v c

λ

1 − v ² c ²

(11.9)

が得られる．ここで，

λ

11.3.3 z

固有の波長に対する波長のずれの尺度として次の量を採用すると便利である：

z = ∆λ

λ = λ − λ

λ (11.10)

11.3

redshift

255

z

z

(11.9)

z

1 + z =

1 + v c

1 − v c

(11.11)

と表せる．上の式を

v/c

z = v

c + 1 2

v c

₂ + 1

2 v

c ₃

+ 13 32

v c

₄

+ · · · (11.12)

z ≈ v

c ( v c ) (11.13)

と近似できる．なお，

(11.11)

v

v

c = (1 + z) ² − 1

(1 + z) ² + 1 (11.14)

が得られる．現在では

z = 6.56

[ 18 ]

96%

11.4

11.4.1

Hubble

現在のところ不可能である．たとえ可能であったとしても，十分な精度が得られないし，得 られた値の信頼性の問題も残る．そこで，まず，短い距離を基準として少し長い距離を測り，

次に，その距離を基準としてさらに長い距離を測る．各段階での測定の誤差は小さいので，

この手順を繰り返して行けば，遠方の天体までの距離でも比較的精度良く求められる．

スケールはずっと小さいが，例として，地球から太陽までの距離を測る２通りの方法を 考える．図

11.5

cos θ = R _E

R _S = 4.3 × 10 ^{− 5}

θ = 90 ^◦ − 0.0024 ^◦ (11.15)

90 ^◦

R E ≈ 6400 km

0.0001 ^◦

100 m

Earth R _E θ

Sun R _S

Earth R _E

θ ’

Moon R _M

Earth Moon R _M

θ ’’

Sun R _S

図

11.5:

太陽までの距離を直接測る代わりに，まず，月までの距離を測る（図

11.5

cos θ = R _E

R _M = 1.7 × 10 ⁻²

θ = 90 ^◦ − 0.95 ^◦ (11.16)

11.4

257

R _M

R _S

1/400

400

cos θ = R _M

R _S = 2.6 × 10 ^{− 3}

θ = 90 ^◦ − 0.15 ^◦ (11.17)

11.4.2

Parallax

地球（太陽系）に近い星は，地球の公転運動（太陽のまわりを１年に１周する運動）の ため，背後にある十分遠方の星に対して周期運動しているように見える．この見かけの周期 運動を年周視差といい，年周視差の大きさを用いて星までの距離を測ることができる．年周 視差を用いた距離の測定は最も正確で直接的な方法である．その原理を 図

11.6

R

d θ

Sun Earth

in July

Earth in January star

図

11.6:

準となる長さは地球の公転半径

R = 1.496 × 10 ⁸ km

d

R

θ

d = R tan θ = R

θ (11.18)

角度

θ 1

tan θ = θ

1

1 ^◦

1/3600

arcsec

θ

1 arcsec

d = 1.496 × 10 ⁸ km 1

3600 π 180

= 3.086 × 10 ¹³ km (11.19)

となる．この距離，すなわち，地球の公転半径を角度

1

1

parsec, pc

θ

d

pc

d [pc] = 1

θ [arcsec] (11.20)

太陽系に最も近い恒星の年周視差が

θ = 0.762 arcsec

d = 1.31 pc

年周視差を用いた距離の測定は

d ≈ 20 pc

θ ≥ 0.05 arcsec

20 pc

2000

1989

European Space Agency

Hipparcos

HIgh Precision PARallax COllecting Satellite

1993

120,000

0.001 arcsec

[ 19 ]

2 m

1000 pc

100 pc

間接的な方法

直接的な距離の測定は

100 pc

良く似て見える天体は，物理的にも良く似ている．

という事実である．我々が天体に関して得る情報は，ほとんどの場合，天体から届く光に よってである．たとえば，恒星が放射する光を分光してスペクトルを求めることができる．

そのとき，その恒星のスペクトルが太陽が放射するスペクトルと同じであったならば，その 恒星はスペクトルだけでなく，質量も，絶対的な明るさも，進化の段階も太陽とほとんど同 じであると考えて良いであろう．

もう一つ重要な点は，距離の測定に用いる天体は明るくなければならないということで ある．天体の見かけの明るさは距離の２乗に反比例している．従って，たとえ特徴的な性質 をもつ天体であっても，地球から見たときに明るさが十分でないならば，距離の測定には利 用できない．

以下に距離の間接的な距離の測定方法を示す．

11.4.3

Cepheid Variables

遠方の銀河にある恒星を観測して距離を求めるには，その星が観測できるほど十分明る くなければならない．そこで，特徴的な性質を示す明るい変光星が距離の測定に用いられる

11.4

259

恒星の中には，明るさが変化するものがある．その中で，セファイド 型と呼ばれる変光 星は周期的に明るさを変える脈動変光星で，変光周期と絶対等級とのあいだに簡単な関係式 が成り立つので，距離測定の基準として使われる．この方法は，およそ

25 Mpc

補足１ 等級（

magnitude

N

等級の明るさは

(N + 1)

100 ^2/5

100

等級には絶対等級，見かけの等級，実視等級がある．見かけの等級（

apparent mag- nitude

absolute magnitude

は天体を

10 pc

とである．従って，天体の見かけの等級を

m

M

d pc

m − M = 5 log ₁₀ d

10 pc

(11.21)

m = − 26.81

d = 4.848 × 10 ^{− 6} pc

M = 4.76

青い光（波長の短い光）の方が赤い光（波長の長い光）より星間物質に吸収されやす い．実視等級は，肉眼，あるいは，フィルタと検出器の組み合わせて肉眼に近い波長 感度分布を持たせた装置で測定した見かけの等級である．

補足２ セファイド 型変光星の代表が

δ-Cephei

δ-

Cephei

代からの変遷があり，現行の星座は

1928

88

日本名が「ケフェウス座」の学名は

Cepheus

Cephei

セファイド 型変光星は次の特徴をもつ：

1.

I

10 ³ -10 ⁵

6000- 8000 K

2.

period

1

135

3.

0.1

2

代表的なセファイド 型変光星である

δ-Cephei

11.7

[ 20 ]

5.366

3.48

4.37

距離の測定に重要な特徴は，変光の周期と絶対等級のあいだに簡単な関係が確立してい ることである．図

11.7

[ 21 ]

Feast

Walker

[ 22 ]

M = − 2.78 log ₁₀ P − 1.35 (11.22)

M

P

day

変光周期を測定すると，上に示した関係式から絶対等級が求まる．その星から地球に至 るまでに光の吸収がないならば，光の強さは伝播距離の２乗に反比例するので，絶対等級と 実視等級の比から，その星までの距離がわかる．光の吸収がある場合は，その影響を補正す る必要がある．

δ Cephei

0 2 4 6 8 10 12

time [days]

apparent magnitude

4.6 4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2

period

Cepheids

period [days]

1 2 3 5 10 20 30

absolute magnitude

-6

-5

-4

-3

-2

-1

図

11.7:

変光周期と絶対等級との関係は，周期的変光が次のように起こるからである．星の中心 部で起こる核融合反応によって発生したエネルギーは光によって星の表面へと運ばれる．ケ フェウス型変光星では，流れ出る光によって，星の表面の大気中の１価のヘリウムイオン

He ⁺

He ⁺⁺

He ⁺ −→ He ⁺⁺ + e ⁻ (11.23)

星の内部から出てくる光は自由になった電子と散乱するため，大気は光を通しにくくなる．

透明性が減少した大気はエネルギーの流失を抑制し，そのため，星の内部の密度・圧力が上

11.4

261

He ⁺⁺

H ⁺

星は収縮する．

この脈動的変光の機構は，我々の銀河の中でも，また，遠方の銀河においても，同じで あると考えるのが合理的である．従って，年周視差を測定できない遠方にある銀河であって も，セファイド 型変光星によって距離を求めることができる．セファイド 型変光星は明るい 星であるので，遠方の銀河にあっても観測可能である．

太陽系に近いセファイド 型変光星に対しては，年周視差の方法によっても距離を測定す ることが可能である．特に，

Hipparcos

一方，セファイド型変光星を用いた距離の測定は，遠方の星を精度良く観測できる

Hubble

Hubble Space Telescope, HST

25 Mpc

[ 23 ]

Hipparcos

100 pc

250, 000

10%

なお，上に説明したセファイド 型変光星（

δ Cep

おとめ座（学名：

Virgo

Virginis

W

W Vir

II

0.8-35

0.3-1.2

1.5-2.0

δ Cep

W Vir

I

II

11.4.4

球状星団（

globular cluster

我々の銀河は円盤状に多くの星が集中しているが，円盤を含む球の内部に球状星団が多数分 布している．球状星団は，数十万の恒星が球状に集まり，中心ほど恒星は密である．多くの 銀河が同様に周囲に球状星団をもっている．距離測定の対象は数十万の恒星からなる球状 星団で，絶対等級はだいたい

− 10

似たような球状星団は似たような分布や明るさを持つので距離測定に用いることができる．

この測定方法は，我々の銀河の球状星団が基準になっており，距離が測定できる範囲は，お よそ，

1 Mpc

100 Mpc

H II

星間空間で電離ガス（水素ガス）が発光すると，星間物質の密度の高い領域は星雲として見 える．その１種が散光星雲（

Emission Nebula

H II

− 12

る．

H II

15, 000-30, 000 K

656 nm

H _α

H II

20 pc

Tully-Fisher

渦巻き銀河を距離測定の対象とする方法に

Tully-Fisher

なお，楕円銀河についても，渦巻き銀河と同様な相関を用いた方法がある．

11.4.5 Ia

Type Ia Supernova

個々の恒星で最も明るいのは超新星である．中でも，

Ia

M = − 19.3 Ia

(11.24)

である．この明るさは，セファイド 型変光星より

15

10 ⁶

1000

Ia

Hubble

2 Gpc = 2000 Mpc

Ia

その後，次第に暗くなっていく．最も明るいときの等級だけでなく，明るさの変化やスペク トルから，

Ia

10%

図

11.8

Ia

[ 24 ]

Hubble

[ 6 ]

200

まで広がり，それ以上に，比例関係が良く成り立つことが示されている．

太陽質量の

10

II

Ia

11.4

263

distance [Mpc]

20 30 50 100 200 300 500

velocity

[ k ] m/s

1000 2000 3000 5000 10000 20000 30000

図

11.8: Ia

距離測定の最後に，大マゼラン星雲が果たしている役割を強調しておきたい．

われわれの銀河系の外の天体の距離を測る様々な方法の基準となっているのがセファイ ド 型変光星による方法である．大マゼラン星雲は多くのセファイド 型変光星をもつ小さな銀 河で

4.9 × 10 ⁴ pc

10%

の誤差があるならば，遠方にある天体までの距離に，少なくとも同じ割合の誤差が含まれる ことになる．現在得られている

Hubble

11.5

11.5.1

Hubble

Doppler

よるものと考えて，天体が遠ざかる速度を求め，一方で，その天体までの距離を測定した．

ここでいう天体までの距離が，通常の意味での距離とは異なるものであることは「宇宙にお ける距離」として前に述べた．すなわち，距離とは本来，同時刻における２点のあいだの長 さであるが，ここでは，過去において光を放射したときの天体の位置と，その光を観測する 現在の観測者の位置を問題にしている．赤方偏移に関しては，正確に言うと，

Doppler

11.9

Doppler

time expansion

図

11.9:

宇宙の膨張を表現するために，スケール因子を導入して，赤方偏移，銀河の後退速度，

Hubble

刻

t ₀

d ₀

t

d(t)

11.5

265

a(t)

d(t)

d ₀ = a(t)

a ₀ a ₀ = a(t ₀ ) (11.25)

宇宙の膨張により，天体から放射された光の波長も伸びていく．遠方の銀河から時刻

t

λ

t ₀

λ ₀

意：

Doppler

t

t ₀

スケール因子を用いて上の式で表されるのであるから，これらの波長に対しても同じ関係式 が成り立つ：

λ

λ ₀ = d(t)

d ₀ = a(t)

a ₀ (11.26)

赤方偏移

z

1 + z = d ₀

d(t) = a ₀

a(t) (11.27)

と表される．すなわち，

1 + z

z

その光は，宇宙の大きさが現在の

a(t)/a ₀ = 1/(1 + z)

宇宙の膨張による遠方の銀河の後退速度

v(t)

t

d(t)

v(t) = d

dt d(t) (11.28)

距離とスケール因子の関係式

(11.25)

t

v(t) = d ₀

a ₀ d

dt a(t)

= d(t) a(t)

d dt a(t)

= a(t) ˙

a(t) d(t) (11.29)

(11.25)

記号の上にド ットを付けて表す．

ここで，

H(t)

H(t) = a(t) ˙

a(t) (11.30)

この

H(t)

(11.29)

v(t) = H(t) d(t) (11.31)

すなわち，銀河の後退速度

v(t)

d(t)

Hubble

H

t ₀

H(t ₀ )

H ₀

H ₀ = a(t) ˙ a(t)

t

(11.32)

0