波動方程式のフーリエ級数変換による解法

(1)

. .

. . .

.

波動方程式のフーリエ級数変換による解法

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学

B L12(2011-01-11 Tue)

今日の目標

.

1 積分を使って

,

初期値境界値問題が解ける

.

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L12波動方程式のフーリエ級数変換による解法現象の数学B(2010) 1 / 14

(2)

前回の復習 Quiz略解

Quiz

略解

Quiz

^略解

:

^霊感で

(

^実は

,

初期条件には固有モード

` = 1, 2

^{だけが現れて} いるので

), A ₃ = A ₄ = · · · = B ₃ = B ₄ = · · · = 0

として

,

u(x, t) =

∑ 2

`=1

C ` u ^(`) (x, t; θ ` )

= sin( ^π _L x)[A ₁ cos( ^πv _L t) + B ₁ sin( ^πv _L t)]

+ sin( ^2π _L x)[A ₂ cos( ^2πv _L t) + B ₂ sin( ^2πv _L t)]

とおいてみる

.

^{初期条件より}

,

u(x, 0) = − 2 sin( _L ^π x) = sin( ^π _L x)A ₁ + sin( ^2π _L x)A ₂

∂u

∂t (x, 0) = − 3 sin( ^2π _L x) = sin( ^π _L x)( − ^πv _L )B 1 + sin( ^2π _L x)( − ^2πv _L )B 2

(3)

波動方程式のフーリエ級数変換による解法

霊感解法卒業前夜

∫ _π

0 sin nθ sin mθ dθ =

π

2 δ _nm = ^π ₂ ×

{ 1 (n = m)

0 (n 6 = m)

(4)

.

正弦関数の積の積分

.

. . .

.

e n (x) =

√ 2 L

sin ^nπ _L x (n = 1, 2, 3, . . .)

^に対して

∫ _L

0 e n (x)e m (x) dx = δ nm = {

0 (n 6= m)

1 (n = m)

(5)

もうちょっと練習

.

θ ⁿ sin θ

^{の不定積分}

¶ ³

∫

sin θ dθ = − cos θ

∫

θ sin θ dθ = − θ cos θ + sin θ

∫

θ ² sin θ dθ =(θ ² − 2) cos θ + 2θ sin θ .. .

µ ´

これは

,

部分積分を繰り返して証明できる

.

じゃあ

∫ _L

0 x ² sin ^`π _L x dx =

?

(6)

(7)

霊感解法卒業

.

Quiz

.

. . .

.

固定境界条件の波動方程式を

,

次の初期条件のもとで解け

.

u(x, 0) = 1 − cos( ^2π _L x), ^∂u _∂t (x, 0) = 0.

固有モードの知識から

,

u(x, t) =

∑ ∞

`=1

sin( ^`π _L x)[A _` cos( ^`πv _L t) + B _` sin( ^`πv _L t)]

=A 1 sin( ^1π _L x) cos( ^1πv _L t) + A 2 sin( ^2π _L x) cos( ^2πv _L t) + · · · + [B ]

とかける

.

^まず

u(x, 0), ^∂u _∂t (x, 0)

^のを書く

.

^{境界条件から}

A _` , B _`

^を定めよ

う

.

^{霊感がないので}

,

^両辺に

∫ L 0

dx e _m (x) ×

(8)

(9)

(10)

波動方程式のフーリエ級数変換による解法 Quiz

.

三角関数の正規直交関係

.

. . .

.

e _` (x) =

√ 2

L sin ^`π _L x

に対して

∫ _L

0 e _` (x)e _m (x) dx = δ _jk = {

0 (` 6 = m) 1 (` = m)

.

フーリエ級数展開

.

. .

f (x) =

∑ ∞

`=1

c _` e _` (x),

という展開をフーリエ級数展開という

.

両辺に

∫ _L

0 dx e m (x) ×

^{することで}

, c m =

∫ _L

0 e m (x)f (x) dx

^{と求められ} る

(

^{フーリエ級数変換}

)

樋口さぶろお (数理情報学科) L12波動方程式のフーリエ級数変換による解法現象の数学B(2010) 10 / 14

(11)

どっかでみたことない

?

ベクトル

u =

( ₁

2 3

)

とする

.

正規直交基底

e ₁ = ¹ ₂ ( _√ ₁

2 1

)

, e ₂ = √ ¹ 2

( ₁

− 0 1

)

, e ₃ = ¹ ₂ ( ₁

− √ 2 1

)

をとるとき

,

c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 = u

となるように係数

c ₁ , c ₂ , c ₃

を決めよう

.

霊感解法

c 1 , c 2 , c 3

を適当にきめてあうかどうかやってみる

.

ちょっと進歩した霊感解法各成分で

, c 1 , c 2 , c 3

についての連立方程式をたててとく

(

去年の方法

)

フーリエ級数変換

c i = e i · u (

^{今年の方法}

) he ` (x)i =

D√ 2

L sin ^`π _L x E

`=1,2,3, ···

は正規直交基底

.

^{そのときの内積は}

f · g =

∫ _L

0 f(x)g(x) dx

(12)

Quiz

Quiz:

区間

[0, L]

で

,

波動方程式

∂ ² u

∂t ² (x, t) = v ² ∂ ² u

∂x ² (x, t)

を考える

(L, v > 0

^は定数

).

固定境界条件

u(0, t) = u(L, t) = 0,

初期条件

u(x, 0) = x ² − Lx, ^∂u _∂t (x, t) = 0

のもとで解を求めよう

.

^ただし

,

解は固有モードの和として書けばいい

.

しかも上で出てきた公式はぜんぶ使っちゃっていい

.

(13)

ファイナルトライアル計画

! I

外部記憶ペーパーありです

.

^別紙参照

.

おすすめの準備方法去年のファイナルトライアルの問題と略解は公開してるけど

,

それより下のリストに従って各回の

quiz

を復習しておくことをお奨めします

.

模範解答を作ろうプロジェクトもやってます

.

出題計画

2010-01-18

に情報を更新します

.

15

点

2

物体の連成振動の基準座標と固有周波数を求めよう

(

プチテスト

1

再出題

)

15

^点

3

物体の連成振動の固有周波数と固有モードを求めよう

(

^プチテスト

2

改

)

u(x, t)

^{のグラフを描こう}

etc.(L09) N

^{物体の連成振動の何か}

(

^未定

)

未定

.

決まった境界条件のもとで

,

波動方程式の固有モードを求めよう初期値問題の霊感解法

(L11)

(14)

ファイナルトライアル計画

! II

フーリエ級数変換を利用した初期値問題の解

(L12)

ダランベールの進行波解

(L13)

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題フーリエ級数変換

^¨ _§

小形

§ 4.3 ^¥ _¦ ,

自由端

^¨

§

¥

小形

p.75-78) ¦

初期値問題

^¨ _§

小形例題

4.3(p.72) ^¥ _¦

フーリエ級数展開

^¨ _§

小形第

4

章演習問題

[1](p81),[6][8](p.82) ^¥ _¦

連絡

公務欠席届の提出機会は

,

^{今日の講義前後}

,

^{来週の講義前後}

,

^{ファイナル} トライアルの講義前後

,

^{だけに限られます}

.

まだ提出していない分がある

波動方程式のフーリエ級数変換による解法

. .

. . .

.

.

B L12(2011-01-11 Tue)

.

.

,

.

http://hig3.net

Quiz

Quiz

:

(

,

` = 1, 2

), A 3 = A 4 = · · · = B 3 = B 4 = · · · = 0

,

u(x, t) =

∑ 2

`=1

C ` u (`) (x, t; θ ` )

= sin( π L x)[A 1 cos( πv L t) + B 1 sin( πv L t)]

+ sin( 2π L x)[A 2 cos( 2πv L t) + B 2 sin( 2πv L t)]

.

,

u(x, 0) = − 2 sin( L π x) = sin( π L x)A 1 + sin( 2π L x)A 2

∂u

∂t (x, 0) = − 3 sin( 2π L x) = sin( π L x)( − πv L )B 1 + sin( 2π L x)( − 2πv L )B 2

∫ π

0

sin nθ sin mθ dθ =

π

2 δ nm = π 2 ×

{ 1 (n = m)

0 (n 6 = m)

.

.

.

.

. . .

.

.

e n (x) =

√ 2 L

sin nπ L x (n = 1, 2, 3, . . .)

∫ L

0

e n (x)e m (x) dx = δ nm = {

0 (n 6= m)

1 (n = m)

.

θ n sin θ

¶ ³

∫

sin θ dθ = − cos θ

∫

θ sin θ dθ = − θ cos θ + sin θ

∫

θ 2 sin θ dθ =(θ 2 − 2) cos θ + 2θ sin θ .. .

µ ´

,

.

∫ L

0

x 2 sin `π L x dx =

?

.

Quiz

.

.

.

. . .

.

.

,

.

u(x, 0) = 1 − cos( 2π L x), ∂u ∂t (x, 0) = 0.

,

), A ₃ = A ₄ = · · · = B ₃ = B ₄ = · · · = 0

C ` u ^(`) (x, t; θ ` )

= sin( ^π _L x)[A ₁ cos( ^πv _L t) + B ₁ sin( ^πv _L t)]

+ sin( ^2π _L x)[A ₂ cos( ^2πv _L t) + B ₂ sin( ^2πv _L t)]

u(x, 0) = − 2 sin( _L ^π x) = sin( ^π _L x)A ₁ + sin( ^2π _L x)A ₂

∂t (x, 0) = − 3 sin( ^2π _L x) = sin( ^π _L x)( − ^πv _L )B 1 + sin( ^2π _L x)( − ^2πv _L )B 2

∫ _π

2 δ _nm = ^π ₂ ×

sin ^nπ _L x (n = 1, 2, 3, . . .)

∫ _L

θ ⁿ sin θ

θ ² sin θ dθ =(θ ² − 2) cos θ + 2θ sin θ .. .

∫ _L

x ² sin ^`π _L x dx =

u(x, 0) = 1 − cos( ^2π _L x), ^∂u _∂t (x, 0) = 0.

sin( ^`π _L x)[A _` cos( ^`πv _L t) + B _` sin( ^`πv _L t)]

=A 1 sin( ^1π _L x) cos( ^1πv _L t) + A 2 sin( ^2π _L x) cos( ^2πv _L t) + · · · + [B ]

u(x, 0), ^∂u _∂t (x, 0)

A _` , B _`

dx e _m (x) ×

e _` (x) =

L sin ^`π _L x

∫ _L

e _` (x)e _m (x) dx = δ _jk = {

c _` e _` (x),

∫ _L

∫ _L

( ₁

e ₁ = ¹ ₂ ( _√ ₁

, e ₂ = √ ¹ 2

( ₁

, e ₃ = ¹ ₂ ( ₁

c ₁ , c ₂ , c ₃