波動方程式の進行波解

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波動方程式の進行波解

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学

今日の目標

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1

フーリエ級数変換を使って

初期値境界値問題 が解ける

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2

進行波解の時間発展が求められる

http://hig3.net

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前回の復習 Quiz略解

訂正

先週の例題のフーリエ級数変換の値は

Am= _π¹(1−(−1)^m)(_m² −_m+2¹ −_m¹₋₂)

が正しい値

^因子

√2

L

は余計

^でした

ご指摘くださった方ありがとうご ざいました

^{おわびして訂正します}

Quiz

^略解

∫ _L

0

x²sin^`π_Lxdx= 2L³

`<sup>3</sup>π<sup>3</sup>(1−(−1)<sup>`</sup>) +L³(−1)^`

`π Quiz

^略解

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前回の復習 続き:波動方程式のフーリエ級数変換による解法

霊感解法卒業

区間

^で

^{波動方程式}

∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t)

を考える

は定数

固定境界条件

初期条件

{

x (0≤x≤ ¹₂L)

L−x (¹₂L≤x≤L),^∂u_∂t(x,0) = 0

のもとで解を求めよう

^ただし

解は固有モードの和として書けばいい

前回の復習 続き:波動方程式のフーリエ級数変換による解法

解答例

一般解は

固有モードの線形結合として

u(x, t) =

∑∞

`=1

sin<sup>`π</sup><sub>L</sub>x[A<sub>`</sub>cos<sup>`πv</sup><sub>L</sub> t+B<sub>`</sub>sin^`πv_L t]

=

∑∞

`=1

√

2

Lsin^`π_Lx [√

L

2A<sub>`</sub>cos<sup>`πv</sup>_L t+

√

L

2B<sub>`</sub>sin<sup>`πv</sup>_L t ]

=

∑∞

`=1

e_{`</sub>(x)[a<sub>`}cos<sup>`πv</sup><sub>L</sub> t+b<sub>`</sub>sin^`πv_L t].

e_`(x) =

√2

Lsin^`π_Lx.

定数

√L

2A_{`</sub>, b<sub>`} =

√L

2B_`.

初期条件より

{ x (0≤x≤ ¹₂L) L−x (¹₂L≤x≤L)

}

=

∑∞

`=1

e_{`</sub>(x)[a<sub>`}·1 +b_`·0] (1)

∂u

∂t(x,0) =0 =

∑∞

`=1

e_{`</sub>(x)[a<sub>`}·<sup>`πv</sup><sub>L</sub> ·0 +b<sub>`</sub>·^`πv_L ·1] (2)

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前回の復習 続き:波動方程式のフーリエ級数変換による解法

(2)

の両辺に

∫ _L

0

dx e_m(x)×

^する

∫ _L

0

e_m(x)×

^右辺

=

∑∞

`=1

∫ _L

0

em(x)×e<sub>`</sub>(x) dx× <sup>`πv</sup>_L b_`

=

∑∞

`=1

δ

`πv L b<sub>`</sub>

=

mπv L

b

∫ _L

0

e_m(x)×

^左辺

つまり

前回の復習 続き:波動方程式のフーリエ級数変換による解法

(1)

の両辺に

∫ _L

0

dxe_m(x)×

^する

さっきと同様に

∫ _L

0

e_m(x)×

^右辺

a

∫ _L

0

e_m(x)×

^左辺

=

∫

e

(x) ^左辺 dx +

∫

e

(x) ^左辺 dx

=

∫ _L/2

0

√

2

Lsin^mπ_L x×xdx+

∫ _L

L/2

√

2

Lsin^mπ_L x×(L−x) dx

=· · ·= ^(2L)_π2^3/2 1

m² sin^mπ₂

m

^{が偶のとき}

^{になることに注意して}

^により

(2k+1)²(−1)^k, a_2k+2= 0

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前回の復習 続き:波動方程式のフーリエ級数変換による解法

よって

初期条件を満たす解は

u(x, t) =

∑∞ k=0

e_2k+1(x)[^(2L)_π2^3/2

1

(2k+1)²(−1)^kcos^(2k+1)πv_L t]

=

∑∞ k=0

4L π²

1

(2k+1)²(−1)^ksin^(2k+1)π_L xcos^(2k+1)πv_L t

=^4L_π2[₁¹2 sin_L^πxcos^πv_Lt−₃¹2 sin^3π_Lxcos^3πv_L t +₅¹2sin^5π_Lxcos^5πv_L t+· · ·]

アニメ参照

進行波解

進行波解

ダランベールの解

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進行波解

ダランベールの解

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.. .

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u(x, t)

^について

^次の

^つは同値

波動方程式

∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t)

の解である

適当な

変数関数

を用いて

u(x, t) =f(x+vt) +g(x−vt)

と書ける

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進行波解

‘

書けるなら解である

ことの証明

波動方程式に代入してチェック !

右辺

∂x²g(x−vt) =v²g⁰⁰(x−vt).

左辺

∂t²g(x−vt) =

合成微分

= (−v)²g⁰⁰(x−vt) f

も同様

線形なので

も解

進行波解

‘

解であるなら書ける

ことの証明

線形なので固有モードについて示せばいい .

sin(^{`π</sup><sub>L</sub>x) cos(<sup>`πvt}_L −θ`)

=

^積和公式

=¹₂[sin(^{`π</sup><sub>L</sub>x+<sup>`πvt}_L −θ_{`</sub>) + sin(<sup>`π</sup>_Lx−<sup>`πvt</sup><sub>L</sub> +θ<sub>`})]

=¹₂sin(<sup>`π</sup><sub>L</sub>(x+vt)−θ<sub>`</sub>) +¹₂sin(<sup>`π</sup><sub>L</sub>(x−vt) +θ<sub>`</sub>)

=f(x+vt) +g(x−vt)

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進行波解

f(x+vt)

の意味

波形

^を

^だけ

方向に平行移動したもの

の形を保ったまま

速さ v ^で x の負の向きに進む進行波

g(x−vt)

^は

y =g(x)

の形を保ったまま

速さ v ^で x の正の向きに進む進行波

.

進行波解

.

.

.

.

.

波動方程式の解は

正の進行波と負の進行波の重ね合わせ

波動方程式に現れる定数

^{は進行波の速さ}

話せなかったこと

固定端

自由端での波の

反射

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進行波解

Quiz

Quiz:

u(x, t) =f(x+¹₃t) +f(x−¹₃t),

ただし

{

2− |z| (|z| ≤2)

0 (

それ以外

とする

.

.

.

1 t= 6

^のとき

^{のグラフを}

^横軸

^縦軸

^で描こう

.

.

.

2 t= 0

のとき

のグラフを

横軸

縦軸

で描こう

.

.

.

3 t= 3

のとき

のグラフを

横軸

縦軸

で描こう

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進行波解

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題 フーリエ級数変換

^自由端

初期値問題

§

¥

小形 例題4.3(p.72)¦

フーリエ 級数展開

§

¥

小形 第4章演習問題[1](p81),[6][8](p.82)¦

進行波解

進行波解

§

¥

小形 第6章演習問題[1][3](p131),[8][10][11](p.132)¦

復習問題明日水曜日の昼には

ラーニングシステムで公開するのでやっ てね〜締切は月曜夜

連絡

公務欠席届の提出機会は

^{今日の講義前後}

ファイナルトライアルの前後

だけに限られます

まだ提出していない分がある人は用意しておいてね

進行波解

ファイナルトライアル計画

外部記憶ペーパーありです

^別紙参照

おすすめの準備方法 去年のファイナルトライアルの問題と略解は公開し てるけど

それより下のリストに従って各回の

を復習しておくこと をお奨めします

模範解答を作ろうプロジェクトもやってます

出題計画

15

点

物体の連成振動の基準座標と固有周波数を求めよう

プチテスト

再出題

15

^点

物体の連成振動の固有周波数と固有モードを求めよう

^プチテス ト

改

N

物体の連成振動の固有周波数と固有モードを求めよう

^物体の 場合の公式を導く過程は不要

ゼロから導出しなくてよい

^ですが

では書いてあった分散関係

は問題に載せません

おぼえるか 外部記憶ペーパーに書いておこう

u(x, t)

^{のグラフを描こう}

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進行波解

ファイナルトライアル計画

波動方程式の意味

弦の振動で

は何を表しているか

変数分離法を使って

波動方程式の解を求めよう

固定

自由境界条 件を課す部分は質問しません

初期値問題の霊感解法

初期値問題のフーリエ級数変換を利用した解

復習

の正規直交関係はおぼえるか外部記憶ペーパーに書いておこう

そ れ以外の難しそうな積分の公式は問題に載せます

進行波解を描こう