ねじ結合体の被締付片のばね定数について
（昭和52年10月29日 原稿受付）
工学部第二部機械工学科光永公一
田 中 博
On the stiffness factor of the clamped parts of the multi−bolted joint．
by K6ichi MITSUNAGA Hiroshi TANAKA
The stiffness of clamped parts and the pressure distributions on sealing surface in the multi−
bolted loint， as an axially sy㎜etrical three−dimensioml problem， are calculated by FEM，and are compared with the results of the single bolted joint、
The stiffness factors and the pressure distributions are not influenced by the difference of load distributions on the contact surface between the clamped part and the bolt head or nut．
、．緒言 ボルト頭およびナ・トを剛体とみなし円柱の剛体ポンチ
を有限厚さの弾性板に上下面から対称に圧入する（混合 ねじ結合体の被締付片のばね定数算出の方法として従 境界値）問題を取り上げて，実際には両者の中間状態に 来用いられてきたR6tscherの影響円すいの仮定につい あることを念頭におきながら，この解を上述の解析解と て理論的な検討を行なった1u。その結果，単一ボルトに 比較検討することにした。
よる締付けの場合の被締付片のばね定数はR6tscher1）の 混合境界値問題を解析的に解くことは，前述の応力境 簡便な方法による値は大きすぎること，また接合面の圧 界値問題を解くことに比較して難しい。そこで本研究で 力はほぼその影響円すいの底面内で生ずることがわかっ は，三次元軸対称問題の有限要素法による数値解法とし た。 て著者がすでに作っていたプログラム4）を利用して，多 一般にねじ結合体では，単一ボルトによる締結の場合 数ボルトによる締結の場合の被締付片のばね定数および
よりも幾本かのボルトで締結される場合が多い。した 接合面の圧力分布などを求めた。また，その結果を従来 がって，このような場合には隣接するボルト相互間の締 得られている解析解（応力境界値問題）などとも比較し 付けの干渉効果を生ずることが考えられる。柴原ら2）は て幾つかの知見を得た。以下詳細について述べる。
多数ボルトを一定の間隔で格子状に酉己置したときの繍 2．解析モデルおよ鮪限要素法 付片のばね定数について，三次元軸対称問題の解を用い
て検討している。しかし，この解析も著者川の単一ボル 2．1．解析モデルについて
ト締結のときと同様にボルト頭およびナットの座面の荷 一様間隔で格子状に配置された多数ボルトで有限厚さ 重が一様に分布するものと仮定して取扱っている。また の弾性板を締付けるとき，一般に千鳥形あるいは並列形 Fernlund3｝も単一ボルト締結の場合を同様に取扱ってい にボルトが配置されることが多い。かかる場合に一本の
る。実際のねじ結合体では，ボルト頭およびナットの座 ボルトが受持つ領域は，千鳥形の場合は六角形，並列形 部が有限厚さの弾性板に圧入される弾性接触状態に近い の場合は正方形の領域となる。しかし，この領域を直接
ものと考えられる。したがって，座面の荷重分布が一定 取扱うのは困難であるため，単位ボルトの領域はこれら であるという仮定には検討の余地がある。 の多角形に内接する円筒領域で近似する。なお，この方 著者は，荷重分布一定の仮定に対置される条件として， 法は柴原ら2）の解析解でも用いられている。結局，多数ボ
ルトによる締結のときの解析モデルとしては図一1に示 して）の計算により次式で表わされる一次関係が得られ すような外径20，内径2α，高さ2ぬの円筒領域を考え る5）。
た。
｛ん｝＝〔K9〕・｛δ9｝ （1）
有限要素法では，問題の対称性を考慮して，ボルト穴
の軸を含む断面の1／4部分（図一1のDEFGの領域）につい z て要素分割を行なって計算すればよい。図中GIに一様
変位σんを与え，GDおよびIFは自由表面とする。板中 央面DEは板を一体のものとして取扱うことにして板厚 z方向の変位を拘束し，円筒表面EFは隣接するボルト 領域の相互作用を考慮して半径γ方向の変位を拘束す
る。
Z
l̀ e 1 ＝
@≡@工 彫。
1
61 r−一
a
1
2
0 一一γ
図一2 三角形リング要素
ここで，〔1（g〕は（6×6）個の要素をもった正方行列で 要素剛性マトリックスと呼ばれている。
各要素について求められた式（1）をベクトル的に重ね 図一1一本のボルトの占める領域 合せて，系全体の鯨力ベクトル｛∫｝と，節蛭位ベク
2．2．有限要素法について トル1δ｝の間の一次関係を求めると次式のように表わ
解析モデルでは，被締付片の上半分の令頁域を図一2に示 される・
すような対称軸を含む切・断面の1／4の徽を有限な三 ω＝〔κ｝ ｛δ｝ （2）
角形断面の要素（三角形 元〃）に分割し，その三角形断面 ここで，〔κ〕は系全体の節点の総数をノVとすれば（2 を対称軸のまわりに回転した環状要素の集合体とする。 N×2N）個の要素をもつ正方行列となり，全体剛性マト このようにすれば，問題は三次元問題であるにもかかわ リックスと呼ばれている。
らず上述の対称軸を含む切口の平面についての二次元問 したがって，本計算ではこの連立一次方程式を解くこ 題と同等な取扱いができることになる。図一2において， とに帰着する。
蕊㌶＝㌶璽籠；il腰L＝ （一一伝1田
いても全く同様であり，各要素について6個の成分をも
っ節点変位ベクトル｛δg｝で表わされる。 トー二c＝200 各要素ごとに節点力ベクトル｛∫g｝と節点変位ベクト
ル｛δ9｝の間には線形弾性論（ここでは，軸対称問題と 図一3 要素分割の一例と境界条件
全 要 素 に つ い て 繰 返 す
START
データの読込み
各要素について要素番号および節点 ﾔ号の自動割り付と節点座標の計算
要素剛性マトリックス〔kg〕の作成
全体剛性マトリックス〔K〕への g込み
節点力，節点変位の既知成分｛∫々｝，
oδ、｝の作成
ガウスの消去法による節点変位 oδ。｝の計算
節点力｛∫｝の計算
ばね定数の計算および結果の印刷
STOP
START 3．計算結果と考察
本計算は線形弾性論に基いて弾性範囲内で論じている から，一般に自由表面の変位および圧入座面，板中央の テータの読込み 接舗の応扮布は圧入面の弓綱変位の板厚に対する割 合（σ九功）に比例する。したがって本計算では，ボルト 各要素について要素番号およひ節点 穴の径2α＝100mm・ボルト頭およびナットの座面の径 番号の自動割り付と節点座標の計算 2b＝150 mm（b／α＝1．5）は一定として，板厚2ぬおよ びボルト間隔26は変えたが，座面の強制変位はすべて （σゐ／ん）＝0．02％を与えて数値計算を行なった。（σ、／
カ）としてこのように小さい値をとったのは，剛体ポンチ を圧入するときポンチ周辺部で非常に×きい面圧を生じ 全体剛性マトリ・ソクス〔K〕への 板表面がこの近傍で降伏することになるので・この降伏 組込み 域が大きくならないように配慮したためである。
また，板材の材料定数としては，弾性定数E＝2．1×
占力節占変位の既知成分｛∫｝ 104kg／mm2およびボアソン比レ＝0．3を使用した。
b
図一4 計算の手順 2．0
有限要素法による連続体問題の解の精度を向上させる 1．o ためには，かなり要素数を増すとともに要素分割の選び
方を適当に取ることが必要である6｝。とくに，応力の不連
続が起こるような領域（座面の外周近傍）では要素の大 1．0 1．1 1．2 1．3 1．4 1．5 きさを小さくする必要がある。 γ／α
本研究で用いた要素分割の一例を図一3に示すととも
に，図．4に上述の計鯛程のフ・一チャートを示す。計 図一5圧入座面の樋分布
算はすべて九州工業大学情報工学科の御好意により同学 科設置の電子計算機FACOM 230−45 Sを使用させてい ただいた。
《）＞＞〜nw＞＞ （醐／カ＝〔π（宗2）〕／五 （4）
ここで，κ，は次式で表わされる。
研削盤仕上
． ． κc＝」ヲ（2σゐ） （5）
禄二∵：：ζ：こ：二ζ㌶：郷：ご・： 他の一つ1よ一般によく用いられているR6t・ch・・の ∀ ？・・ゲ・ ∨ ・・ 駆 ％ ㌔・ゾ 影響円すいの考え方を半頂角γ＝45°以外のときにまで （b）
拡張して，それに相当する等価円筒のばね定数として表 研削盤仕上
現する方法7）である。その表現は次式となる。
L°》シr：≡＝ 瓦＝嘉〔（2b＋か㎞γ）・一鋪 （6）
（a）ナット座部 ×10『4
8誌㍍ζ婆耀よ〕 03
−O−◇一有限要素法（c／α＝2．0）
0−．1−・一．5−・・一，10…・・ 一●トー《与一有限要素法（c／α＝5．0）
一●一一●一解析解（光永）（c／α＝。。）
図一6こ鑛灘鷲織 。2 ＿1
竃
3．1．座面の圧力分布 日 1 図一5に〃α＝2．0および4．0の場合に，拘束半往o／ ＼ミミ
・−3．・としたときに座面に生じた圧力分布の計算例を 斗 1
示す。σz／ρで表現すれば図示のように両者はほとんど （＞1 重なってしまう。
座面の周辺境界の近傍で非常に大きい弾性応力を生じ ている。したがって，実際のねじ結合の場合には，この
近傍では降伏を起こし応力は再分布することになる。ね O
じ締付試験12）で得られた図一6に示したように座金の 10 2・0 30 40 50
ナ。ト座部における塑髄形がナ。トの酬灘端から 肋
内側数mmに渉って生じていたことと対応している。 図一7 ボルト間隔を変えたときの（む、／ゐ）／ρ 3．2．被締付片のばね定数について の変化（その1）
被締付片のばね定数としては，従来得られている結果
との比較の都合から，つぎに述べる二通りの表現を利用 図一7はc／α＝2・0および5・0の場合に，板厚〃αを した。 種々変えたとき（〔％／幻／ρの計算結果を示したもので 一つは，解析解1Dで用いた表現である。すなわち，半径 ある。図中には比較のために，座面の荷重分布を一定と αなるボルト穴を有する厚さ2んの被締付片を締付力P 仮定して単一ボルト締結の場合について得られた解析 で締付けたとき，外径26なる圧入面の平均面圧ρは 解川の値も記入してある。
ヵ＝p／｛π（62＿α2）｝ ㈲ 図より板厚力が減少すればしだいに単一ボルト締結 の解析解に近づくことがわかる。このことは，一定間隔
撫そ㌶騨漂㌶‡㌫㌫籔灘櫟㌶鷲繋
式を考える・ 小さくなることを示している。すなわち，ボルト寸法お
よびボルトピッチが不変であっても，板厚が薄くなれば るとき，いずれの場合も縦軸上で直円筒のときの値とな 一本のボルトの被締付片の中央接合面への締付力の影響 るようにするためである。いずれの場合にも・ボルトの 領域（R6tscherの影響円すいに相当する領域）が減少す 間隔が増大すれば，単一ボルト締結の値にほぼ一致する るから，隣接ボルト間の締付けの干渉効果が減衰して単 ようになることがわかる。また・同一寸法のボルトで締 一ボルト締結状態に近づくのである。 付ける場合でも，締付長さすなわち板厚が増せば（〃0 また，板厚2ぬを一定のままで隣接ボルトの間隔を増 が大きいとき），ボルト間隔の板厚に対する割合（c−6）／
大しても全く同様な効果が生ずるはずであり，図中のC／ ぬがより大きい領域から締付けの干渉効果が現われは α＝2．0と5．0を比較すれば6／α＝5．0の方がより解析 じめることもわかる。
解に近くなることからこのことがわかる。 以上述べたように，有限要素法により混合境界値問題 の数値解を求めて，多数ボルト締結の場合の隣接ボルト 間の締付けの干渉効果について検討したが，干渉効果が 減衰するにしたがって一様荷重分布の仮定のもとに得ら れた単一ボルト締結のときの解析解に近づくことがわ
ミ ミ
S2
10
かった。このことは，被締付片のばね定数に着目する限 りでは，混合境界値問題を解かなくても，近似的に荷重 分布一定とした応力境界値問題の解を用いてよいことを 推測させる。本章の諸言でも述べたように現実のねじ結 Oぬ／α＝2 0 合体では，ボルト頭およびナットの変形も生じているか ロ α＝2 5 ら，上記の二つの極端な場合の中間的な状態にあるもの
△吻＝4・° と考えられる．したがって，この両麟揚合が干渉効
果の減衰により近づくことからみれば上述の推測は実際 のねじ結合体について適用しても差支えないであろう。
1 仇化＝2・0） つぎに，ばね定数κ・を用いたときの影響円すいの半
、O◇つ@ O o O 頂角γについて検討する。
口 0 （ α＝2．5） 被締付片のばね定数1（・が求められると，これに相当 ロ ロ する影響円すいの半頂角γは式（6）より
△ 一一一一一
＿＿＿＿＿＿＿@ ＿ △（〃一・・） tanγ＝旦・〔↓・・＋亙・⇒ 一一一一一一一・@ 〃 π・E （7）
△
により求められる。ただしEは板材の弾性定数である。
o 10 30
（c−b）／ん
図一8 ボルト間隔を変えたときの（u。／ん）／p
20 の変化（そのn） o 名 べ そこで，この点をさらに詳細に検討するために，〃α＝ 10 2．0，2．5および4．0の各場合についてc／んを変えたと
き，すなわち，板厚はそれぞれ一定にしたままで隣接ボ ルトの間隔を変えたときの（σ白／カ）／カの変化を求めた のが図一8である。図中には，やはり単一ボルト締結のと
＿一＿＿＿＿ @迦一≡r蛭・・
夢≡三 一≡l
b／q・1．5 0h！o：2．0 △h！o：2．5 0h／o：40
2 4 6 8 10 （c−bO／h
きの値を破線で示してある。横座標に（c−b）肋をとった 図一9 ボルト間隔を変えたときの影響円すいの のは，ボルトが接近して座部が接触する極限糖を考え 半頂角・の変化（その1）
図一9は〃α＝2・0，2・5および4・0の各場合に，ボルト つぎに実用の範囲を考えるために，たとえば，JIS B の間隔を種々変えたときの被締付片のばね定数κ、か 2200番代のフランジの表1°）を参照すれば，このときの ら式（7）により求めた影響円すいの半頂角γの変化を表 （6−b）／カの値の範囲はほぼ0．5〜1．5に相当する。図 わしたものである。横座標はやはり（c−6）／丘で表わし 一9のこの範囲に相当する部分の横座標を拡大して詳細 た。このようにすれば隣接ボルトが座面で接する極限で に示したのが図一10である。
は各場合とも直円筒となり縦軸上の点で表わされること 多数ボルトでフランジなどを締付けるときには，ボル になる。しかし，直円筒になっても隣接領域からの拘束 ト寸法，ボルトピッチおよび板厚などを考慮して，たと の影響をうけるために，自由円筒表面であるときのγ＝ えば，図一9または図一10を用いて影響円すいの半頂角γ 0となるわけではない。図中には，解析解（単一ボルト締 の値を推定して，しかるのちに式⑥により等価円筒とし 結）によるγの値もそれぞれ破線で記入してある。図よ てのばね定数κ。を算出すればよい。従来，提案されてい
り，いずれの場合にも，ボルト間隔が大きくなれば隣接 るような単一のγの値を用いるべきではないことがわか ボルト間の干渉効果が減衰して，γがそれぞれ一定値に る。しかし，図一10より，実用の範囲については，ほぼ23°
近づくことがわかる。このγの値はほぼ次のようにな 〜25°くらいの値を用いてよいものと考えられる。単一 る。ただし，（ ）内に示す値は解析解により得られた値 ボルト締結の結果とあわせ考えると，強いて単一のγの である。 値を用いようとすれば， γ…≧25°を採用しておくのがよ
力 これらの値は板厚に依存して変っているが，Osgood9） 0．3
が与えているγ＝25°〜33°とほぼ同程度の値となって ミ いる．また，γが一定値に近づくときのボルト間隔は板 習。借 厚が増すにつれて急速に増大する傾向が認められる。一 ・ 方，ボルト間隔が減少すればしだい｝・隣撚ルト間の締 怜、
○
△ 口
0 0 0
c／α
5050 80
h／q・20二1璽！凝6：〃／ 2 °・4 °のとき
付けの干渉効果が現われてきてγが減少し，ボルト間隔 ゜ 1 汽』°
が板厚程度よりも小さくなればγは急速に減少して直円 糾一 …
筒の状態に近づくことを示している・ 1C 2D 30 ムOll5 （沌 7 180 r／a
図一11被締付片の板厚中央の接合面に 生ずる締付圧力の分布
㌃＝＝＝＝：一 （ボルト間隔が相当大きいとき）
b／q・1．5
§ ii闘 3．3．被締付片の中央接合面の圧力分布および自由
ト
表面の変位
図一11は，〃α＝2．0，3．0でかつc／α＝5．0のとき，
および〃α＝4．0でo／α＝8．0のときの被締付片の板 0 σ5 1 O L5 2 0 中央の接合面における締付圧力の分布を求めたものであ （c一旬／h る。図中の実線は解析解（単一ボルト締結）を示してい る。横軸上に一点鎖線で示す位置はそれぞれの場合の半
図一1° f畷1㌫灘齢すし の 頂角γ一4㈱響円すいの底耐目当する領域を示し
ており，破線で示す位置は一本のボルトが受持つ領域の 限界を表わしている。いずれの場合もボルトの間隔はか
なり広く，接合面の圧力分布はほぼ半頂角γ＝45°の影 一11の分布）をc／α＝3．0のボルト間隔の場合に近づけ 響円すいの底面内に収まっている。このことは単一ボル て書いたものである。実線の分布は，この一点鎖線の分
ト締結の場合の解析解で得られた結果と一致する。なお， 布をこの位置で重ね合せて得られた分布であり，○印の 仔細にみれば〃α＝4．0の場合には，この影響円すいの 分布と非常によく一致することを示している。図一13は 底面より多少広がる傾向が認められる。これより外部領 〃％＝4．0の場合について同様な例を示したものであ 域では，ごくわずかではあるが引張応力を生じている。 る。この場合にも，o／α＝5．0および3．0のときの圧力 これはやはり被締付片を一体のものとして取扱ったこと 分布がボルト間隔の大きいc／α＝8．0について得られ から起った現象であって，実際のねじ結合体ではすき間 た一点鎖線の圧力分布をc／α＝5．0および3．0に相当 のできる可能性がある。 するボルト間隔に近づけて重ね合せた結果とかなりよく 〃α＝2．0および4．0のときは，単一ボルト締結の場 一致することがわかる。
合の解析解があるので，これと比較してみるとほぼ一致
する。〃α＝4・0のときはボルト穴の近傍でわずかに小 10． ルαニ4．oのとき
さくなる・ 1 ＿。／。一、．。
さ蕊鷲く擬蕊㌶輌曝1… 二騰1 せ
面全体に圧縮応力が生じ，被締付片の接合面が全体とし Oc／α＝5．o て締付けられるようになる。図一12および13の計算例が
このことを示している。 ミ 臨c」oo
l
l…
l
l…
1ミ
1・」
1
巴 一㍑のときド ・
一上の場合の重ね合せ
による解 0 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．0 7．0 8．O
O （：ご／α＝3．O
v γ／α
、 図一13 ボルト間隔を小さくしたときの接合面
、 の締付圧力分布の重ね合せ 伍／α＝4．0のとき）
〃α＝2．（1c／αニ5．0および〃α＝4．αc／α＝
¶ 8．0のときの圧力分布は図一11でみたように単一ボルト
S 繍のときの解析解と一致していたことから，多数ボル
製／ ト繍の場合の纈の締付圧嚇ま単一ボルト締結
のとき得られた圧力分布を対応するボルト間隔に近づけ ＿．＿．＿． ／ ＼ ．〜．＿．＿ て重ね合せることにより近似的に求めてよい。このこと
0 1令0 2 0 3 0 4 0 5 0 はまた，被締付片の接合面の締付圧力の分布についても，
図＿12 ボルト間隔を小さくしたときの ボルト頭およびナットの座面における荷重分布の相違に 接合面の締付圧力分布の重ね合 よる影響はほとんど存在しないものと考えてよいことを せ（々／α＝2・0のとき） 示している。
以上述べてきた接合面の締付圧力分布に関する考察よ 図一12は〃α＝2．0のときの計算例であり，図中の○ り，板の接合のみで漏れ止めを行なう必要がある場合に 印はボルト間隔をc／α＝3．0に近づけたときの有限要 は，隣接するボルト間の距離は図一14に示すようにその 素法により算出した圧力分布である。一点鎖線で示す分 接合面の締付圧力分布を考慮して少なくとも2（b＋ω 布はボルト間隔の大きいc／α＝5．0のときの分布（図 以下にとるように注意しなければいけない。
∨45°
、 ！、
ノ
@ ！ﾘ ！
撃ﾘ 、 、 、
2α
Qb
ノ
@ ，、
@ ！ 、
@！ 、 I 、
2（ぬ十b）
一〇．03
一〇．02
一〇．01
こ） 0
、
0．01
0．02
0．03
1．0
4．従来の結果との比較
これまで述べた有限要素法による計算は多数ボルト締 結に関するものである。多数ボルト締結の場合の被締付 フト 片のばね定数に関する実験結果は現在見当らない。従来 行なわれている実験は有限な外径をもった円筒状の被締 付片を単一ボルトで締付けた8）ときのものである。この 結果と比較してみるために，著者は有限な外径をもつ円
図一14板の接合のみぞ漏れ止め 靴ボルト頭およびナ・トの座面に相当する繊1こや
をするときのボルト間隔 はり一定の強制変位σ・を与えたときの混合境界値問題 を本研究に使用した有限要素法のプログラムを利用して 解き，そのばね定数を数値計算した。
c／ヵ＝2．o 丸山ら8）は，外径D。＝40，50および100 mm，ボルト 穴の径2α＝25mm，座面の径2b＝40㎜，円筒の 高さ2ん＝50mmの有限円筒の締付けのばね定数測定 助一3．。 の実験を行なっている・実験においては・ボルト頭部お よびナットの変形も含んだ結果として被締付片のばね定 c』5・°。』1。．。 数が損・1定されている・そこで実験に相当する解析モデル 0 2．0 4．0 6．0 8．0 10．0 を用いて有限要素法（弾性二体接触問題として）により γ／α ボルト頭およびナットの変形および座面に接触圧力の分 b／。−1．， 布を勅・この変形によ1）実験値を修正した＝方・こ の求まった接触圧力の分布により被締付片のばね定数を 有限要素法により求めた。このようにして得られた理論 値と修正した実験値がかなりよく一致することを報告し ている。
c仇＝1．5 著者は丸山ら8｝が用いた被締付片と同じ寸法の解析モ デルについて，前述したようなやり方で混合境界値問題 として数値解を求めて被締付片のばね定数を算出した。
そのばね定数を上記の丸山らの有限要素法により得られ
ブ た値と比較してみると・表一1に示すように非常によく一
致した。
図一15 自由表面の変位（み／α＝2．0）
表4−1 丸山らのとの比較（K。；Kg／μ励 図一15は自由表面の変位を〃α＝2．0の場合につい
て求めた計算例を示したものである。隣接ボルトの間隔 一 が板厚の2倍程度より広いときにはボルト間の自由表
面に，とくにナット座面のごく近傍で，盛上り（圧入変 位砺の数％）を生ずるが，これより間隔が狭くなると急
速に盛上りが消滅して，c／ん＝1．5のときはすでに被締 つぎに，多数ボルト締結の場合について，座面の荷重 付片は全体として縮んでいる。この領域は図一9において 分布の相異が被締付片のばね定数に及ぼす影響について 半頂角γの値が急速に減少して直円筒の状態に近づく（C 考察する。そのために，著者が座面の変位一定の条件の 一助／カ≦0．75の領域に相当する。 もとに前節までに求めた被締付片のばね定数と，柴原
円筒外径z）。（mm） 40 50 100
本計算 325 513 645 丸山ら 322 518 671
ら2）が座面の荷重分布一定の仮定によって三次元軸対称 場合にも，ボルト頭およびナットの座部の荷重分布形の、
問題の解析解で求めたばね定数との比較を行なう。柴原 相違による影響はないといってよい。また，本研究の有 らはb／α＝1．2，1．4，1．6および1．8の場合についてば 限要素法により求めたばね定数の値は信頼1生のあるもの ね定数を求めており，著者の計算に対応するb／α＝1．5 と考えられる。
の場合が求められていない。したがって・上記四つの場 5．結論 合のばね定数の値を用いて，b／α＝1．5のときの値を内
挿法により推定した。著者の有限要素法により求めた祈 多数ボルトにより締結されたねじ結合体の被締付片の 締付片のばね定数と，このようにして求めた解析解によ ばね定数を算出するのに・解析的に混合境界値問題を解 るそれを比較したのが表一2である。両者の値は非常によ くことが困難であるから，有限要素法を用いて数値解を く一致している。 求めた。その数値解により，隣接するボルト間の中心距 離および板厚の変化による締付けの干渉効果について考 表4＿2 紫原らの結果との比較（1（。／α・E） 察するとともに・座面の荷重分布一定の仮定のもとに得 られている単一ボルトならびに多数ボルト締結の場合の 解析解との比較および従来得られている結果との比較検 討を行なった。本研究においてつぎのことがわかった。
（1）被締付片のばね定数は，隣接するボルト間の中心 距離が増大すれば，締付けの干渉効果が減衰して，荷重 分布一定の仮定のもとに解かれた単一ボルトによる締結 3．0
の場合の解析解の値に近くなる。
▲一＝ （2）上記（1）のときの被締付片の中央接合面の締付圧力
の分布も解析解の分布にほぼ近いものとなり，その圧力 分布の領域はほぼ半頂角γ＝45°の影響円すいの底面に
2．0 （b／α＝1．4）
o 相当するものとなる。
唄 （3）隣接するボルト間の距離が近づくとき，被締付片
這 の中央接合面における鮒圧力分布の干渉効果は・ほぼ
上記（2）の圧力分布の重ね合せにより近似できる。した 1．0
ぬ／α＝4．0，C／ん＝1．0 ん／α＝2．0，C／ん＝2．0
本計算 1．90 2．32
紫原ら 1．92 2．39
0
△・o：有限要素法 がって，板の接合だけで漏れ止めを行なう必要がある場 （ α＝2 o） 合には，この重ね合せの結果を十分考慮して，隣接ボル ト間の中心距離を少なくとも2（6十ん）以下になるように 注意しなければいけない。
2 0 4 0 6 0 8 0 （4）多数ボルトによる締結の場合に被締付片のばね定
由 数を求めるには，ボルト寸法ボ，レト穴の径被鮒片
図一16 解析解（柴原ら）との比較 の板厚および隣接ボルト間の中心距離を考慮して，たと えば図一9，10により影響円すいの半頂角γの値を推定 一方，著者は〃αニ2．0のとき6／α＝1．4および1．6 し，この値に相当する等価円筒のばね定数として次式に の場合について，本有限要素法により二，三のc／αのと より算出すればよい。
詔耀瓢二麓㌶鷲：蕊 ぴ一嘉・三〔（2b＋海 γアー4〆〕
したのが図一16である。この場合にもよく一致すること 従来提案されているような単一のγの値を用いると非 がわかる。 常に大きい誤差を生ずることがある。
以上述べたことから，ねじ結合体のばね定数に関して ⑤ 単一ボルトおよび多数ボルトのいずれの締結の場 は，単一ボルト締結あるいは多数ボルト締結のいずれの 合にも，被締付片のばね定数および中央接合面の締付圧
力の分布に関しては，座面の荷重分布形の相違による影 響はほとんどないといえる。したがって，近似的に座面 の荷重分布一定の仮定のもとに得られた応力境界値問題 の解2）川を用いて差支えない。荷重分布の影響について 同様のことを，丸山ら8）も，単一ボルトにより有限円筒
（内外径比D。／D∠＝1．6，2．0および4．0）を締結する場 合について指摘している。
（6）本有限要素法による数値計算の結果と，座面の荷 重分布一定の仮定のもとに求められた柴原ら2）の解析解 による被締付片のばね定数は非常によく一致した。また 丸山ら8）の実験による値ともよい一致をみた。
（7）上記（4）のことがあるが，実用の範囲にかぎって，
強いて単一のγを使用するとすれば，単一ボルト締結の 場合も考慮してγ＝25°を用いておけばよいと思われ
る。
参 考 文 献
1）F．ROtscher， Dle Maschmenelemente（1927），
2）柴原正雄，尾田十八，日本機械学会論文集，37−297（昭 46） p．1033．
3）1．Fernlund， Konstruktlon，22−6（1970）．
4）有吉一一，光永公一，九州工業大学研究報告（工学）28
（日召」…日49） p，63．
5）日本鋼構造協会編，コンピュータによる構造工学講座，
仁仁B，三本木茂夫，吉村信敏，
6）同上，II−5−B，山本善之，山田善一，マトリックス構造 解析の誤差論，p．112．
7）山本晃，ねじ締結の理論と計算，（1970）養賢堂，p．60．
8）丸山一男，他2名，日本機械学会論文集，41−344（昭50）
p．1289．
g）C．C． Osgood， Fatigue Deslgn，（1970）Wiley−Inter science， P．199．
10）日本機械学会編，機械工学便覧第7編（機械の要素）
（日召35）p7−152．
11）光永公一，日本機械学会論文集，31−231（昭40）p．1750．
12）光永公一，他2名，日本機械学会論文集，36−290（昭45）
p．1735．
