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右の図のように 1 から 5 までの数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります この 5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し カードの数字を調べてからもとに戻します 確率の事 2 次に もう一度 5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し カードの数字を調べます はじめに取り出したカー

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Academic year: 2021

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(1)

1 から 6 までの目が出る大小 2 つのさいころを同時に投げるとき、出る目の積が奇数となる確率 を求めなさい。(2006) 〈解説〉さいころを 2 回投げるので、分母は6×6=36 であり、積が奇数になるということは 2回とも奇数が出る場合であるから、1、3、5を使って数えると9通り。 よって36 x9 14 5 本のうち 2 本のあたりくじが入っているくじがあります。このくじを、A さんが先に 1 本ひき、 残った 4 本のくじから B さんが 1 本ひくとき、A さんと B さんの 2 人ともあたりくじをひく確率 を求めなさい。(2004) 〈解説〉A さんが引くときは5本、B さんが引くときは4本になるので、分母は 20 通り。 あたりは2本あるので、2人ともあたる場合の数は2通り。 よって20 x2 101 3 枚の硬貨 A , B , C を同時に投げるとき、3 枚とも表が出る確率を求めなさい。(2003) 〈解説〉3枚の硬貨を投げると分母は、2×2×2=8. 3枚とも表になるのは1通り。 よって18 5 本の新しいえんぴつすべてを、A さん、B さん、C さんの 3 人に分けることにします。分け方は 全部で何通りあるか求めなさい。ただし、えんぴつはすべて同じものとし、3 人全員が少なくと も 1 本は受け取るものとします。(2010) 〈解説〉「全員が少なくとも 1 本は受け取る」ので0本はないので、5本の分け方は、 (1 ,1 ,3) (1 ,2 ,2)が並び変わった分け方となる。 よって6通り。 1 から 6 までの目が出る大小 2 つのさいころを同時に投げるとき、出る目の差が 4 になる確率を 求めなさい。(2002) 〈解説〉分母は 36 である。「差が 4」ということはどちらが大きくても良いということで、 分子は4通り。つまり36 x4 19

(2)

確率の事 2 右の図のように、1 から 5 までの数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがあります。この 5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し、カードの数字を調べてからもとに戻します。 次に、もう一度、5 枚のカードをよくきって 1 枚取り出し、カードの数字を調べます。はじめに 取り出したカードの数字を a , 次に取り出したカードの数字を b として、 の値が整数とな る確率を求めなさい。(2015) 〈解説〉1回目も2回目もカードは5枚あるので、分母は 25。

a=1 のとき b=1, 2, 3, 4, 5、 a=2 のとき b=2, 4、a=3 のとき b=3 a=4 のとき b=4、a=5 のとき b=5 の 10 通り。したがって 1025 x25 袋の中に、赤玉が 1 個、青玉が 2 個、白玉が 3 個入っています。この袋の中から、同時に 2 個の 玉を取り出すとき、少なくとも 1 個は白玉である確率を求めなさい。ただし、袋の中は見えない ものとし、どの玉の取り出しも同様に確からしいものとします。(2016) 〈解説〉同時に2個とるときの分母は1個ずつの時の半分、つまり10通り。 「少なくとも1個は白」なので赤や青だけの時はダメなので、3通りはダメ。 したがって、107 右の図のように、A( 1 , 0 ), B( 4 , 0 )をとります。次に、1 から 6 までの目が出るさいころを 2 回投げて、1 回目に出た目の数を a、 2 回目に出た目の数を b として、( a , b )を座標とする点 P を とります。△ABP の面積が 3cm2となる確率を求めなさい。 ただし、座標軸の単位の長さを 1 cm とします。(2013) 〈解説〉分母は 36 である。AB の長さが 3 なので高さが 2 であれば よい。つまり、b が 2 であれば a は何でもよい。 したがって、36 x6 16 階段を上がるとき、1 段ずつ上るか、2 段ずつ上るか、1 段と 2 段をまぜて上るかのいずれかと します。例えば、階段が 3 段のときの上り方は、下の図のように考えると、1 段ずつ上ると「1 段+1 段+1 段」の 1 通り、1 段と 2 段をまぜて上ると「1 段+2 段」「2 段+1 段」の 2 通り、2 段ずつは上れないので、上り方は全部で 3 通りあります。階段が 5 段のときの上り方は、全部で 何通りあるか求めなさい。(2007) 「1 段+1 段+1 段」 「1 段+2 段」 「2 段+1 段」 〈解説〉2段と 2 段と 1 段の場合は 3 通り。2 段と 1 段を 3 回の場合は 4 通り。 全部 1 段ずつの場合は 1 通り。よって全部で 8 通り。 b a A B 5 5 O b y

(3)

下の段から順に 1 から 8 の番号をつけた階段があります。1 から 6 までの目が出るさいころを投 げ、奇数の目が出たときは、その目の数だけ 1 段ずつ階段を上り、偶数の目が出たたきは、その 目の数に関係なく 1 段だけ階段を下ります。ただし、8 番の段に達したときに、階段を上る数が 残っていれば、8 番の段から残っている数だけ 1 段ずつ階段を下ります。 たとえば、6 番の段にいるときに 5 の目が出た場合、2 段上ると 8 番の段に達します。階段を上 る数が 3 残るので、3 段下りて 5 番の段に着きます。 2 段上がる 3 段下りる ⇒ いま、4 番の段にいる A さんがさいころを 2 回投げて、ちょうど 8 番の段に着くさいころの目の 出方は全部で何通りあるか求めなさい。(2014) 〈解説〉奇数が出たら+その数、偶数だと-1 と考えて、2 回で +4 になればいい。1 と 3、3 と 1、偶数と 5、 ただ、最初に 5 が出ると 1 つさがって 7 の段になる ので、5 と 1。よって 6 通り。 表が白、裏が黒のメダルが 9 枚あります。この 9 枚のメダル全部を 白にして、右の図のように縦横 3 枚ずつ並べます。 また、それぞれ縦横 3 枚ずつのメダルを第 1 列から第 6 列とします。 このとき、次の操作を 2 回続けて行います。(2008) 操作 1 から 6 までの目が出るさいころを 1 回投げて、出た目と同じ数の列のメダル 3 枚をすべて裏返します。 例えば、1 回目に「1」の目が出ると第 1 列を裏返し、2 回目に「4」の目が出ると第 4 列を 裏返すので、次のようになります。 1回目 2回目 メダル全部が白の状態から、操作を 2 回続けて行うとき、結果として 9 枚のメダルの中央のメダ ルが白である確率を求めなさい。 〈解説〉真ん中のメダルを 2 回裏返すか、1 回も裏返さないかのどちらかである。 2 回裏返すのは、2 回とも 2 か 5 が出る場合で、4 通り。 1 回も裏返さないのは、2 回ともむ 1,3,4,6 の場合で 16 通り。よって2036 x59 第 6 列 第 5 列 第 4 列 第1列→ 第2列→ 第3列→

(4)

確率の事 4 袋の中に 1 , 2 , 3 , 4 , 5 の数字を書いた玉が 1 個ずつ入っています。この袋の中から球を 1 個取り出し、数字を調べてから、その玉を袋に戻します。続けて、玉を 1 個取り出し、その玉の 数字を調べます。はじめに取り出した玉の数字を十の位、次に取り出した玉の数字を一の位とし て、2 けたの整数をつくるとき、その整数が 3 の倍数になる確率を求めなさい。 ただし、袋の中は見えないものとし、どの玉が出ることも同様に確からしいものとします。 (2009) 〈解説〉取った球を戻すので、分母は 25。3 の倍数になるのは 1 と 2、1 と 5、2 と 4、3 と 3 のときで7通り。したがって257 A さんのクラスで腕相撲大会を行います。選手は、必ずほかの選手全員と 1 回ずつ対戦するもの とします。選手が 2 人のとき、行われる試合の数は 1 試合です。選手が 1 人増えて 3 人になると、 試合の数は 2 試合増えて全部で 3 試合となります。A さんは、選手の人数とそのとき行われる試 合の数を下の表にまとめることにしました。 このとき、次のア・イに答えなさい。(2008) ア 選手が 5 人のとき行われる試合の数を求めなさい。 〈解説〉「必ずほかの選手全員と 1 回ずつ対戦する」ので総当たり戦なので組み合わせ。 よって 10 試合。 イ 行われる試合の数が 55 試合のとき、選手は何人ですか。その人数を求めなさい。 〈解説〉組み合わせを C を使って考えているようだと中学生にとっては難しいかも知れない。 式b(bP1) 2 x55 bx11 , P10 よって11人。 2 色の正方形のタイル 8 枚を、右の図のようにしきつめました。 このとき、A をスタートして、隣のタイルへ移動しながら H に ゴールする方法を考えます。例えば、A→B→D→F→H のように、 2 色のタイルを交互に通って H にゴールする方法はこの例を含めて 何通りあるかを求めなさい。 ただし、同じタイルは通らないものとし、すべてのタイルを通る 必要はありません。(2011) 〈解説〉「2 色のタイルを交互に通って」とあるが、斜めに進まないと いうことである。 ABDFH、ABDCEFH、ABDCEGH、ACDFH、ACDFEGH、ACEGH、ACEFH よって7通りである。 選手の人数(人) 2 3 4 5 6 ・・・ ・・・ 行われる試合の数(試合) 1 3 ・・・ 55 ・・・

(5)

A さん、B り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた プレゼント以外のものを い。(2012) A 良い。 A 良い。だから残りの2人に注意して 樹形図を書く。 標本調査を利用して 池のあちこちで鯉を合計 たび同じようにして鯉を いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。 全体 箱の中に同じ大きさの白玉と黒玉が合わせて の黒玉の数を調べます。この箱の中から、 くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 〈解説〉これも上と同様。 全体 B さん、C さん、 り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた プレゼント以外のものを (2012) A B C D a b c d A さんが c 良い。 A さんが b 良い。だから残りの2人に注意して 樹形図を書く。 標本調査を利用して 池のあちこちで鯉を合計 たび同じようにして鯉を いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。 全体:印=40 : 8 箱の中に同じ大きさの白玉と黒玉が合わせて の黒玉の数を調べます。この箱の中から、 くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 〈解説〉これも上と同様。 全体 : 黒= さん、D さんの り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた プレゼント以外のものを 1 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ A B C D a b c d c を取ると、 b を取ると、 良い。だから残りの2人に注意して 樹形図を書く。 標本調査を利用して、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 池のあちこちで鯉を合計 50 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた たび同じようにして鯉を 40 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。 40 : 8 =x : 50 箱の中に同じ大きさの白玉と黒玉が合わせて の黒玉の数を調べます。この箱の中から、 くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 〈解説〉これも上と同様。 黒=56 : 35= さんの 4 人がそれぞれ り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ A B C D a b c d を取ると、C さんは何でも を取ると、B さんは何でも 良い。だから残りの2人に注意して 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。 x : 50 よって 箱の中に同じ大きさの白玉と黒玉が合わせて の黒玉の数を調べます。この箱の中から、 くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 =480 : x 人がそれぞれ り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 〈解説〉問題を理解したら注意して樹形図 a b c d さんは何でも さんは何でも 良い。だから残りの2人に注意して 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。 よって 250 箱の中に同じ大きさの白玉と黒玉が合わせて 480 個入っています。標本調査を の黒玉の数を調べます。この箱の中から、56 個の玉を無作為に抽出したところ、黒玉は くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 480 : x よって300個 人がそれぞれ 1 個ずつのプレゼント り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 〈解説〉問題を理解したら注意して樹形図 を書く。 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は いる鯉の総数は、およそ何匹かを推測して求めなさい。(2011 〈解説〉標本調査の問題であるが、要は比例である。なので比の式が考えやすい。 250 匹 個入っています。標本調査を 個の玉を無作為に抽出したところ、黒玉は くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 よって300個 A B b a c d A B d c c a 個ずつのプレゼント り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 〈解説〉問題を理解したら注意して樹形図 を書く。 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は (2011 後) なので比の式が考えやすい。 個入っています。標本調査を 個の玉を無作為に抽出したところ、黒玉は くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 よって300個 C D d c d a a c C D b a a b b c 個ずつのプレゼント a , b , c , d り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 〈解説〉問題を理解したら注意して樹形図 よって9通り 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹捕獲したところ、そのうち印のついた鯉は 8 匹でした。この池に なので比の式が考えやすい。 個入っています。標本調査を利用して、箱の中 個の玉を無作為に抽出したところ、黒玉は くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。 A B c d d a a , b , c , d を持ち寄 り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 〈解説〉問題を理解したら注意して樹形図 よって9通り 、ある池にいる鯉の総数を調べるために、次の実験をしました。 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹でした。この池に なので比の式が考えやすい。 利用して、箱の中 個の玉を無作為に抽出したところ、黒玉は 35 くまれていました。箱の中の黒玉の数は、およそ何個と推測されるか求めなさい。(2015) C D a b b a d b を持ち寄 り、パーティーを行いました。これらのプレゼントを互いに交換して、全員が自分の持ってきた 個ずつ受け取るとき、この受け取り方は全部で何通りあるか求めなさ 匹捕獲し、この鯉全部に印をつけて池に戻しました。この後、ふた 匹でした。この池に 利用して、箱の中 35 個ふ D b a b

(6)

確率の事 6 基本的な確率の問題では、『分母は掛け算で求まり、分子は数えて求める』ということになりま す。つまり、「分子の場合の数」の数え方が重要です。 代表的な数え方としては、「樹形図」と「表」なのですが、問題設定の特徴を捉えると数え方が 簡単になることも結構あります。 試験時間の中では、簡単な数え方に気づかないことも多いと思いますから、対策の勉強としては、 「樹形図や表での数え方」を中心として勉強し、その過程で簡単な方法に気付く考え方を勉強 する方がいいでしょう。

参照

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