有限要素法による3次 元乱流解析における壁関数の具体化
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(2) 知 数 と して扱 う固 体境 界 上節 点 の節 点 流 速 の方 向 を決 定. (8). す る方 法 と,そ れ を含 め た 上 で壁 関数 の具 体 化 過 程 を明 確 にす る こ と を 目的 とす る.本 手 法 の 有 効 性の 検討 に は, 孟 らの 実 験10)お よび 石原 らの解 析7)を 比 較 対 象 と して,. (9). 3次 元 孤 立峰 周 りの流 れ の解 析 を実 施 した.. ここ で,Uは 2.解. 平 均 流 速ベ ク トノレ,Pは. 力 ベ ク トル,ρ. 析 手法. 平 均 圧 力,fは. は空 気 密 度,μ は 粘 性係 数,vは. 粘 性 係数,μtは 渦 粘 性係 数,vtは. 外. 分子動. 渦 動 粘 性係 数 で あ る.. ま たlogarithmic formを 適 用 した こ とで,乱 流エ ネ ル ギー 本 研 究 で は,RANSの 標 準k‑εモ デ ル4)を. k,エ. うち最 も基 本的 な モ デル で あ る 用 い た.ま た,乱 流 量 を表 す 変数 で. あ る乱 流 エネ ル ギ ーkと. ネル ギー 散 逸率 εの 自然 対 数 で あ るK,Eを. 変. 数 とす る輸 送方 程 式 を解 い た.. エ ネル ギ ー 散 逸 率 ε が,数 値. 解 析領 域 Ω の 境 界 Γ は,基 本境 界 条件 を 与 え る境 界. 解 析的 な要 因 に よ り計 算 途 中で 負 の 値 とな る こ とを 防 ぐ. Γgと 自然境 界条 件 を 与 え る境 界 Γhよ り成 り,そ れ ぞれ. た め にlogarithmic form11)を 適 用 した.こ れ ま で の著 者 の. の境 界上 で以 下 の 境 界 条 件 を 与 え る.. 研 究 に よ り,logarithmic formに は流 れ が過 渡的 な段 階 や 非 定 常 解 析 に対 して計 算 安 定 性 を向 上 させ る効果 が あ る こ とが わ か って い る12). Logarithmic formを 適 用 した 標 準k‑εモ デル の基 礎 方程 式 を以 下 に記 す.. 【 運動方程式 】. (1). こ こでgu,gk,gε. は そ れ ぞれ,U,k,ε. huは 表 面 力,hk,毎. (2). 既 知 量 を示 す.nは. は それ ぞれ,K,Eの. の 既 知量 を示 し, 勾 配 に 関す る. 外 向 き単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.. 以 上 の 基 礎 方程 式(1),(5),(6),(7)に 対 し,SUPG法13)を. (3). 適 用 す る と,以 下 の重 み 付 き残 差 式 の 弱 形 式 が 得 られ る.. 【 運動方程式】. (4) 【 連続 条件 式 】 ▽ ・U=0(5). 【K方程 式(K=lnk)】. (12) (13) (6) 【 連続 条件式 】. (14). 【E方 程 式(E=lnε)】. 【K方 程 式(K=lnk)】. (7). ―98―.
(3) N(u)U,N(u)K,歯(u)EはSUPG法. に よる付 加 項 を含 む. 移 流 項 の係 数 マ トリ ックス,DU,DK,DEは 数 マ トリッ クス,D'K,D'Eは 式 の(▽K)2,(▽E)2を. それ ぞれK方. 拡 散 項 の係 程 式,E方. 程. 含 む項 の係 数 マ トリ ック ス,Gは. 勾配項の係数 マ トリックスで ある.u,p,K,Eは れ,流 速,圧 力,対 数型乱流エネル ギーK対. それ ぞ 数型散 逸. 率Eの 節点ベ ク トルであ り,fは 外力項お よび 自然 境界 条件の等価節 点力 を含 む外力ベ ク トル であ る.SK,SEは. (15). それぞれ,K方 程 式お よびE方 程 式の境 界積分項 お よび SUPG法. による付加 項 を含 む生産項お よび消散項か らな. る節点ベ ク トルで ある. 以上 の有限要素方程式 に対 しpredictor‑corrector法13). 【E方 程 式(E=lnε)】. を用 いて時間積分 を行 った.た だ し,運動方程式[式(17)] お よび連 続条件式[式(18)]の 有 限要素方程式 は,後 述 す る局所座標変換 を施 した後,時 間積分 を行 った.. 3.有. 3.1. 限要 素 解 析 に お け る壁 関 数 の 具 体 化. 2次 元有限要素解析にお ける壁関 数の具体化 手順9). まず初 めに,本 研究 で試みた3次 元有限要素解析 にお. (16). け る壁 関数 の具体化手順 を示す前 に,2次 元有限要素解 析 における壁 関数具体化 の際 の問題点 とそれ を解決す る. Wu,qは. そ れ ぞ れ 運 動 方 程 式,連 続 条件 式 の 重 み 関 数 で. あ り,wK,wEは. それ ぞれK方. 程 式,E方. 数 で あ る.τU,τK,τEはSUPG法. 手法を述べる. Mohammadiら は有限要素解析 において,以 下の1)〜. 程式の重み関. 3)の 手 頂で壁関数 を具体化 した8).. の安 定化 パ ラメ ー タ13). で あ る.. 1)図‑1に. 解 析領 域 を8節 点6面 体 要 素 に よ って 分 割 し,平 均 流 速U,logarithmic. 離れた位 置に設 置する.こ こで δwは壁 関数 のモデ ル化領域 厚 さであ り,計算 境界上の節 点が対数領域. formの 対 数 型 乱 流 エ ネ ル ギーK,対. 数 型 エネ ル ギ ー散 逸率Eに. 対 して は,tri‑linearの補 間 関. 数 を適 用 し,平 均 圧 力Pに. 対 して は要 素 内 一 定 分 布 の. 補 間 関 数 を適 用 し,渦 動 粘 性係 数vtは. 示す よ うに,計 算 境界を固体境界 か ら δw. 内に配置 され るよ う経験 的に値 が定め られ る. 2)計. 要 素 内 一 定 とす. る と,以 下 の 有 限要 素方 程 式 が導 かれ る.. 算境 界上 の各節点で,固 体境 界の接 線方 向の流 速 成分Urefを 参 照 し,対数則14)[次 式(21)]か ら壁面 せ ん断応力 τwを 求め る.. 【 運動方程 式】. (17) 【 連続 条件 式】. (18) 【K方程 式(K=lnk)】. (19) 【E方 程 式(E=lnε)】. (20) 図‑1Mohammadiら MU,MK,MEはSUPG法 程 式,K方. 程 式,E方. が具体化 した壁関数の要素. 配置 と壁 関数 に関わる変数の定義位置. に よ る付加 項 を含 む,運 動方 程 式 の 質 量 マ ト リ ッ ク ス,. ―99―.
(4) 図‑2角. 柱 の角付近 の壁 関数 に関わ る変数配置. 図‑3角. 柱の角付近の壁 関数に関わ る変数配 置. (有限要素法). 図‑42次. (有限体積法). 元有限要素解 析で壁関数 を用い る際の. 図‑52次. 固体境 界上 の節 点流速 の方 向. 元有 限要素解 析で の. 壁 面せ ん断応力 の評 価位置. Mohammadiら の具 体化手順 で は,壁 関数 の参照流速 Urefに節 点流速の固体境界接線 方向成分 を用い ているが,. (21). 円柱表面な どの よ うに曲線状 の境 界を持つ物体 では,壁 関数 の参 照流速Urefの 方 向が全体座標 系の座標 軸の方 向 と一致す るとは限 らず,さ らに,図‑2に 示す よ うに, 角柱の角(C点)で 3)壁. は壁関数の参照流速Urefの 方 向を一. 意的 に定 めることができない.一 方,有 限体積法 では,. 面 せ ん 断 応 力 τwは. 加藤15)の よ うにス タ ッガー ド格子 を用いた場合,図‑3. hU・t=τw(22). に示す よ うに,角 柱 の角(C点)に の関係 があ り,運 動方程式 の 自然境界条件 として扱. この よ うな背 景か ら,有 限要素解 析にお いて壁 関数 を. う.こ こで,tは 境 界 Γh上の接線方向の単位ベ ク トル であ る. 4)計. は流速評価点 が位置. しないた め,前 述 の問題 は生 じない. 具体化す る際,次 の点に関す る対処 が必要 になる と考 え. 算境界上節点 の固体境界 の接 線方 向流 速成分Uref. られ る.. は,式(12)右辺 の境 界積分項 によ り生 じる,壁 面せ a)任. ん断応 力 τwの 等 価節 点力 を境 界条件 とす る未知. の節点流速方向の具体的な設定方 法. 数 として扱 う. b)特 以上がMohammadiら. 意の固体境 界形状 に対応 できる,固体境 界上節点 に,壁 関数 を,流 速を規定す る基 本境界条件 とし てではな く,等価節 点力 を規定す る 自然 境界条件 と. による2次 元有限要素解析 にお け. して具体化 する場 合の,節点 自由度の座標変換 に伴. る壁 関数 の具体化 手 順であ る.. ―l00―.
(5) う要素係数 マトリックスの局所的な座 標変換 Mohammadiら の文献8)の 中では,上記の対処方法につ いて言及 され ていない.そ こで著者は これ らの点を考慮 し,以 下のよ うに2次 元有限要素解析で壁関数を具体化 した9). 壁 関数 を用 いる際 の固体境 界上の節点流速の方向 を, 図‑4に 示す よ うに,Mohammadiら. が参 照流 速Urefと し. て用 いた節点流 速の 自由度 の方 向(ξw方 向)と,そ に直交す る方 向(ηw方. 向)で 定義 した.uは. れ. 節点流. 速 の ξw方向成分,vは 節 点流 速の ηw方 向成分,θ は ξw軸のx軸 か らの傾 きで ある.そ してuを をゼ ロとして扱 った.. 未知数,v. 図‑63次. 元有 限要素解析 にお いて. 壁関数 を用い る際の有限要素の配置. 壁 面せ ん断応 力 τwは,そ の作用面 を明確 にす るた め に,節 点で評 価す るのではな く,要 素辺上 に一定分布す る量 と して取 り扱 った.具 体 的には,図‑5に. 示す よ う. に,固体 境界 を構成す る要素辺aの 壁面せ ん断応力 τw,a は,辺aの. 中点 での流速Uref,aを参照 し算 出 した.参 照. 流速Uref,aは辺aの. 両端 の節 点流速ui,ujの. 辺a方. 向成分か ら内挿 し求め る. も.軸のx軸 か らの傾 き θ,壁 面せん断応力 τwの具 体的な算出方法お よび要 素係数 マトリックスの変換 につ いての詳細は文献 のを参照 されたい. 図‑7固 3.23次. 元有限要素解析にお ける固体境界上の. 体境 界上の要素面 の法線 ベク トル と 節 点の接 平面の法線 ベク トル. 節点流速の方 向 3次 元有限要素解析において壁 関数 を具体化す るにあ た り,3.1節で述べた著者 の2次 元有 限要素解析 での壁 関 数の具体化方法 を以下の よ うに拡 張 した. 図‑6に. 示す よ うに,計 算境界 面は固体境 界か ら,計. 算境界が対数 領域 に入 る程度の距離 δwだけ離れ た位置 に設置 した. 実地形上の風況解析 を想 定 し,起 伏 のあ る地形 の よ う に,全 体座標系の座標軸 の方 向が壁 関数 の参照流 速Uref の方向 と一致 しない場合に対 し,固 体境界 上節点 の節点 流速の 自由度 を定め るために,固 体境界上の節点 ごとに 接平面 を定義す る.図‑7に 法線ベ ク トルnを,着 トルnと. 示す接 平面の向きは,そ の. 図‑8固. 体境 界上節 点の節点流 速の定義. 目す る節 点を含 む面の法線 ベク. 要素面 の面積Aを 用いて次式 によ り定め る.. (23) ここでNsrfは 着 目す る節点 を含 む 固体 境界上 の要素面. 固体境 界直交方向成分であ るwを ゼ ロとす る.接 平面 内の2自 由度u,vを 未 知数 とし,自 由度u,vに 対応 す る等 価節点力 を対数則 か ら求めて与える もの とす る. 3.3有 限要素方程式の局所座標変 換. の総数 であ る.. 3.2節で述べた よ うに,固体 境界上節点 の節点流速 の方. 固体境界 上節 点の節 点流 速の 自由度 は,図‑8に 示す よ うに,接 平面の法線方 向(ζw方 向)お よび接平面内. 向 を局所座標 系で定義す る ことか ら,固 体境 界に接す る. の直交す る2方 向(ξw方 向,ηw方向)と して定義す る.. れた運動方程式 お よび連続条件式 の有限要素方程式 を解. uを 節点流 速の ξw方向成分,vを 方向成 分,wを. 要素の要素係数 マトリックスにのみ局所座標変換 が施 さ. 節点流速 の ηw. 節点流速の ζw方向成分 とす る.流 速の. く必要があ る.な お,K,E方 換 は施 さない.. ―101―. 程式 に対 して局所座標 変.
(6) 2)Solution phase:i=1,2. 固 体 境 界 上 要 素 の 局所 座標 変換 マ トリ ック ス は以 下 の よ うに 導 か れ る.固 体 境 界 上 節 点iに のx,y,z方. お い て,節 点 流 速. 向 成 分ui,vi,wiと,ξw,ηw,ζW方. 分ui,vi,wiと. 向成. (30.a). の 関係 は次 式 で表 され る.. (30.b) (30.c). (24). (30.d) こ こでeξwi,eηwi,eζWiはζW,ηw,ζw方 向 の 単 位 ベ ク ト ル で あ る.1つ. の 要 素 の 節 点 流 速 ベ ク トル を. 3)Corrector phase:i=1,2. [ueT ueTw]Tと す る.ueは 固体 境 界上 以 外 の節 点 流 速 ベ ク トル,ue wは 固体 境 界 上 の節 点 流 速 ベ ク トル で あ る.. (31.a). 固体 境 界 上 の 流 速 ベ ク トルuewに 式(24)の. (31.b). 施 す と,次 式(25)と. 座標変換 を. な る.. (31.c) (25). 圧力増分方程式[式(30.c)]の解法 にはCG法 を用 いてい る.こ こで,式(30.c),(30.d)中のMuLは,局 を施 した質量マ トリックスMか. ここで,ueは. 節点流 速を ξw方向成分 ηw方向成分お. らではな く,全 体座標. 系 によって表 された質量マ トリックスMか. よびζw方 向成分 に局所座標変 換 した固体境 界上 の要素. 所座標変換 ら作 られ た. 集 中質量 マ トリックスであ る.. の節点流速ベ ク トル である.Ｌeは 局所座標変換マ トリ ックスで あ り,Iは 単位行列,Tは 上節 点の数 だ けT(ei)を. 要素の持 っ固体境 界. 対角項 に並べ た対角行 列 で. 3.4壁 面せん断応 力の評 価位置 2次 元有限要素解 析で壁 関数 を具体化 した際,壁 面せ. ある.同 様の局所座標 変換 を重み関数 に対 して も施す.. ん断応力 τwを 図‑5に 示す よ うに固体境 界に接す る要. 以上 によ り導かれ る,局 所座標 変換 が施 され た運 動方程. 素の辺上 に分布 す る量 として扱 い,要 素内の流 速の補間 に1次 の補 間関数 を用 いて い るた め,壁 面 せ ん断応力. 式お よび連続 条件式の有限要素方程式は,. τwを 固体境界の辺上で一定に分布 す ると仮 定 した.3次. (26) (27). 元有限要素解析において壁 関数 を具体化す る際,こ の扱 い を拡張 し,壁 面せん断応力τwは 固体境 界上の要素面 に分布す る量 と して扱 い,要 素内の流 速の補間 に1次 の 補間関数 を用い ることか ら,要 素面 上に一 定分布す る と 仮定す る. 図‑9に 示す よ うに,着 目す る面 の壁面せ ん断応力 τw. (28). を算 出す るた めの参照流速Urefは 面の中心で評価 した. 参照流速%は,着. とな る.こ こで,Mue,N(u)ue,Due,Gueは. 目す る面を構成す る4節 点の節 点流. 全体 座 標 系. で 表 わ され た 各 要 素 の 質 量,移 流,拡 散,勾 配 項 に 関す る係 数 マ トリ ック スで あ る.u,fは ζw方 向 成 分,ηw方 換 され た,流. 固 体境 界 上節 点 のみ. 向 成 分 お よびζw方. 速お よび 外 力 ベ ク トル,pは. 向成 分 に座 標 変 圧 力 の要 素ベ. ク トル で あ る. 本 研 究 で は式(26),(27)をpredictor‑corrector法13)に よ り時 間 積 分 を行 っ た.以 下 にそ の ア ル ゴ リズ ム を示 す. 1)Predictor. phase:i=0. (29.a) (29.b) (29.c). ―102―. 図‑9壁. 面せん断応力の評価位置.
(7) 速 の ξw方 向成 分uお. よび,ηw方 向 成 分vを. 合成 し. 峰 周 りの 流 れ の解 析 を行 い,孟. た上 で,合 成 した 流 速 を面 内 に投影 し,内 挿 す る こ とで. らの 実験10)お. よび 石 原. らの解 析 結 果7)と 比 較 した.. 算 出す る.. 解 析領 域 奥 行 き方 向 中心 断 面 の断 面 図 お よび 境 界条 件. 面 ご とに評 価 され る壁 面 せ ん 断応 力 τwは,地 度 の影 響 が反 映 され る よ うLaunderら4)の2層. 表面粗. を 図‑10に. 示 す.孤 立峰 の形 状 は石 原 ら と同様 に余 弦 の. 2乗 の形 状 と した.孤 立峰 高 さはH=4.0cm,解. モ デル を. 拡 張 す る形 で,次 式 に よ り評 価 した.. イ ズ は幅15H,奥. 行 き15H,高. さ10Hと. 原 らの解 析領 域 サイ ズ は幅60H,奥. (32.a). 析領 域 サ. した.な お,石. 行 き20H,高. よ り小 さい. 境 界 条 件 は,流 入 境 界で 水 平 方 向 流 速uお. (32.b). さ22.5H. で あ り,本 研 究 の解 析領 域 サ イ ズ は,石 原 らの解 析領 域. ネル ギ ーkに は 図‑10中. よび 乱流 エ. 孟 らの実 験 値 を用 い,エ ネ ル ギ ー 散 逸 率 ε に示 した式 を用 い て,乱 流 エ ネ ル ギーkお. よび 高 さzの. 関 数 で 与 え た.な お,流 入条 件 は奥 行 き方. 向 に は 一様 に 与 え た.上 方 お よ び 側方 境 界 は ス リ ップ条 件 を 与 え,流 出境 界 は トラ ク シ ョン ・フ リー と した.領 域 下面 は 地 表 面境 界 と して設 定 し,そ の 境 界 条 件 に は,3 こ こで,Z0は 粗 度 長 で あ る.z+<11.63の 判 断 してNewtonの. 場合は層流 と. 粘 性法 則 を用 い,z+≧11.63の. 章 で 記 した 手 法 に基 づ く壁 関数 を用 い た.壁 関数 でモ デ ル 化 す る領 域 の厚 さを δw=0.025Hと. 場合. して,そ れ よ り上. は乱 流 と判 断 して,地 表面 粗 度 の影 響 が考 慮 され たZ0型. 方 を メ ッシ ュ 分割 した.粗 度 長 は石 原 らの解 析 に合 わ せ. 対 数 則 を 用 い て 壁 面 せ ん 断 応 力 τwを 評 価 して い る.. て,Z0=0.0075Hと. krefは参 照 流 速Urefの. 評 価 点で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー で あ. 図‑11に. した.. 解 析 メ ッ シュ の全 体 図 を,図‑12に. り,着 目す る 面 を構 成 す る4節 点 の 乱 流 エ ネ ル ギー の 節. 向(y方. 点値 を 内挿 して求 め られ る.. シ ュ分割 数 はx,y,z方 向 の順 に16×16×16分. 運 動方 程 式 に対 して は,式(32.a)も. し くは(32b)で. 向)中. 点 数 は4913,要. 奥 行 き方. 心 断 面 の メ ッシ ュ分 割 図 を示 す.メ 素数 は4096で. 割 した.節. あ る.最 小 要 素 サ イ ズ は. 求 め られ た 壁 面 せ ん断 応 力 τwを 式(22)に示 す よ うに 自. 山 の 頂 上 に お い て,5H/16×5H/16×9H/100(x,y,z方. 然 境 界 条 件 に組 み込 み,式(12)右 辺 の 境 界 積 分 の 結 果 得. の順. られ る壁 面せ ん 断応 力 τwの 等 価節 点 力 の ξw方 向成 分. が70×34×31,節. お よび ηw方 向 成 分 を境 界 条 件 と して 用 い る.. 小 要 素 サ イ ズ は,5H/32×5H/32×H/20で. と した.な お,石 原 らの解 析 は,メ 点数79520,要. 向. ッシ ュ分 割 数. 素 数73780で. あ り,最. あ る.. ま た,石 原 らの解 析7)で 用 い られ て い る よ うに,壁 面 せ ん 断応 力 τwが 式(32.a),(32.b)に よ り評 価 で き る こ と か ら,そ の影 響 を乱 流 エ ネ ル ギーkお. よび 散 逸 率 ε に. 反 映 させ るた め,固 体 境 界上節 点 で はK方 PKお. よび 消 散 項CueK/vtを,壁. 含 む 次 式(33),(34)に. 程 式 の生 産 項. 面 せ ん 断応 力 τwを. よ り算 出 され た 値 に修 正 す る.. (33). (34) 散逸率 εの固体境 界上 節点の節点値 は,E方 程式 を解 く ことな く式(34)より直接求 める.. 4.3次. 元孤立峰の解析 図‑10解. 4.1解. 析条件. 析領 域奥行 き方向中心断面の断面図 お よび境 界条件. 3章 で示 した手順 に従 い壁 関数 を具体化 し,3次元孤立. ―103―. ッ.
(8) 図‑11解. 析 メ ツ シュ全 体 図. (a)鳥 瞰 図. (b)xz面 図‑13固 図‑12奥. 4.2固. 行 き方 向 中 心 断面 の メ ッシ ュ図. 体 境 界上節 点 に お け る接 平 面 の 法 線 ベク トル. 体境界 上節点の接平面の法 線ベク トル および. 節 点流速ベク トル の方向 32節 で述べ たよ うに,壁関数 を具体化す るにあた り固 体境 界上節点 において局所的な接平面を定義 し,節 点流 速 の 自由度成分 を接平面内 に2成 分(u,v),接 法線方 向に1成 分(w)と. 平面の. い う扱い と した.た だ し,地. 表面全体 に渡 って法線方 向成分w=0と. す る.図‑13(a),. (b)は 固体境界 上節点の接平面 の法線 ベク トルで ある. (a)は 鳥瞰図,(b)はy軸. 方向か ら見た図である.山 の尾. 根線 に沿 って法線 ベク トルの傾 きが変化 してお り,節 点 ご とに接 平面 の傾 きが変化 してい ることが確 認でき る. 図‑14(a),(b)は 固体境界 上節 点の節 点流 速の単位ベ ク トル図 である.(a)は 鳥 瞰図,(b)はy軸 方向か ら見た. (a)鳥 瞰 図. 図である.節 点流 速の接 平面法線方向(ζw方 向)成 分 wを ゼ ロ とす るこ とによ り,流速ベ ク トルは 山の形状 に 沿 う方 向を向いているこ とがわかる. 以上 の結果 か ら,3.2節で述べ た固体境界上節点の節 点 流 速の 自由度 の扱 いが達 成できてい るこ とが確認 された. 4.3解. 析結果. (b)xz面. 図‑15(a)‑(f)に定常状態 におけるy軸 方向中央 のxz面 内諸量の分布 図を示す.山 の頂上付近で流れが収束 し, その周辺 で乱流エネル ギーkお. よび散逸率 εが最 大 と. なってい る.圧 力 は山の頂上付近で負圧が最 も大 きくな ってい る.. ―104―. 図‑14固. 体境 界上節 点の節 点流速 の 単位ベ ク トル.
(9) (a)u分. 布[コ. ン タ ー 間 隔50cm/s]. (b)w分. 布[コ. ン タ ー 間 隔20cm/s]. (c)流. (d)ρ. 速 ベ ク トル. 分 布[コ. ン タ ー 間 隔10g/cm/s2]. (e)乱. 流 エ ネ ル ギ ー[コ. (f)エ. ネ ル ギ ー 散 逸 率[コ. ン タ ー 間 隔2000cm2/s2]. ン タ ー 間 隔2×105〜. 1×106:2×(05cm2/s3,1×106〜:2×106cm2/s3]. 図‑15定. 図‑16(a),(b)は び1.0の. 常状態 のy軸 方向中央のxz面 内諸 量の分布図. それ ぞ れ,無 次 元 高 さz/H=0.125お. 孟 らの実験値 お よび本研究 と同様 に標準k‑ε モデル を. よ. 用 いた石原 らの解析結果 と比較す る.図‑17(a),(b),(c). 高 さ の流 線 図 で あ る.山 の 頂 上 を越 え た流 れ は. にそれぞれの比較結果 を示す.. 剥 離 する こ とな く,山 の 斜 面 に沿 って 下 流側 へ と流 れ て い る.石 原 らの解 析 結 果 で は,山 の 頂 上 を越 え る と剥離. 流速 の水平方 向成分uは,実. 験値,解 析値 と比べ,若. 流 が 生 じ,山 の側 方 を回 り込 む 流 れ が 風 下側 斜 面 に 生 じ. 干過大 に評価 してい るものの,定 性的に一致 した分布 が. た上 昇 流 に よ っ て持 ち上 げ られ,下 流 方 向 へ 流 れ る,と. 得 られ た.定 量的 な差は石原 らの解析に比べ解析領域の. い う流 れ の構 造 に な って い る.. 高 さが低いた め と考 え られ る.. こ の解 析 結 果 の定 性的 な差 異 の 要 因 を検 討 す るた め,. 流 速の鉛 直方向成分wは,実. 験値 と比べ過小 評価 と. 山 の頂 上 を通 る鉛 直 軸 に沿 った,流 速 の 水 平成 分u,鉛. なっている.こ れ はuと 同様,解 析領 域高 さに起因す る. 直 成 分wお. と考 え られ,解 析領域の天井部が若干低い こ とか ら,全. よび 乱 流 エ ネル ギ ーkの. プ ロフ ァイ ル を,. ―105―.
(10) (a)z/H=0.125 (a)u分. 布. (b)w分. 布. (c)k分. 布. (b)z/H=1.0 図‑16孤. 立峰周辺の流線図. 体的 に鉛直方 向の流れが抑 え られたた め と思われ る. 乱流エネル ギーkは,固. 体境界近傍で実験値お よび解. 析値 と比べ3倍 程度過大 に評価 されてお り,顕 著な差が 見 られ る.バ ックステ ップ流れ の解析例 な どか らも,乱 流エネル ギーの過大評価 は逆流 域の予測精度 を低下 させ るこ とが知 られてお り17),これ が山の風下側斜面の流れ の構造の定 性的 な差 につ ながってい る と考 え られ る. 石原 らは壁関数 を用い る際,3.4節で示 した壁面せん断 応力 τwを用いてk方 程式の生産項Pkを 評価す る扱い を取 った場 合,壁面せん断応力 τw,が 大き くな る場所 で, 生産項Pkを 過 大に評 価す る傾 向があ ると述べてい る. さらに石原 らはそれ を回避す るために,∂k/∂n≧0と い う境界条件 が満 た され るまで,k方 程 式の生産項Pkの 値 を小 さく修正す るアル ゴ リズムを導入 してい る7).そ こで本研究 にお いてもこの方法 を参考 に して,K方 程式 にお いて,固 体境 界上要素の生産項Pkを,固 体境 界上 の要素内で ∂k/∂n≧0とい う条件 が満 た され るまで毎ス テ ップ半減 させ る方法 を試 みた. 図‑18に. 図‑17山. この修正方法 を用いた場 合の流 線図を示す.. 山の頂上 での流れ の剥離 と風 下側 斜面で の上昇流が見 ら れ,石 原 らの結果 に定 性的 に一致 する結果が得 られた.. ―106―. の頂 上 を通 る鉛 直 軸 に沿 った 分 布.
(11) 節 点流速の 自由度 にっいては,接 平面の法 線ベク トル は 山の形状に合 わせて傾 きが変化 した こと,節 点流 速は山 の斜 面に沿 う方向を向いた ことか ら,本 研究 で試 みた節 点流速の 自由度 の扱 いが達 成できた ことが確認 できた. 孟 らの実験値 と比較 した結果,山 の風 下側 の流 れの構 造 に違いが見 られた.山 の頂 上の固体境界近傍 で乱流エ ネル ギーが過 大に評価 され てい る.し か し,石 原 らの解 析 を参考 に して,K方. 程式の生産項Pkを 小 さく修正 し. た結果,山 の風下側 の流れの構 造が改善 され,石 原 らの 解析結果 と定性 的に一致 する結果 が得 られ た.本 研 究で は標準k‑ε モデル を用 いた ことか ら,実験値 との定量的 な差 は若干生 じてい るものの,石 原 らの標準k‑ε モデル を用いた解析 において も実験値 との差は生 じてい ること. (a)z/H=0.125. か ら,有 限要素法 による壁 関数の具体化 とい う課 題に関 しては 目的 を達成で きた もの と考 える. 石原 らがShihの 非線形k‑ε モデル18)を用いて解 析精 度 の向上 を図 ってい ることか ら 刀,乱流モデル の影響 を 検討す ることが今後の課題 と言 える. 参 考 文献 1) 石 原 孟. 山 口敦, 藤 野 陽 三:複 雑 地形 に お け る局 所 風 況 の数. 値 予 測 と 大 型 風 洞 実 験 に よ る 検 証, 土 木 学 会 論 文 集, No.731/I‑63, pp.195‑211, 2003 2). 山 口敦. 石原 孟. 藤 野 陽 三:力 学 統 計 的 局 所 化 に よ る新 しい. 風 況 予 測 手 法 の 提 案 と実 測 に よ る検 証, 土 木 学 会 論 文 集A, No.62 NO.1, pp.110‑125, 2006. (b)z/H=1.0 図‑18生. 3). 内 田孝 紀. 大 屋 裕;. 友 清 衣 利 子, 前 田潤 滋: 地 形 性 強 風 の. 数 値 予 測 と格 子 解 像 度 の 影 響, 応 用 力 学 論 文 集, VoL9,. 産項Pkを 修 正 した場 合の流線 図. pp.795‑802, 2006. 4) B.E. Launder and D.B. Spalding:The numerical computation of. 図‑17の 四角付 き一点破線は,こ の修正 方法 を用 いた場. turbulent flows, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., Vol.3,. 合の結果で ある´固体境界近傍 の乱流エネル ギーkの 過. pp.269-289, 1974. 大評価が抑 え られ,石 原 らの解 析結果 にほぼ一致 する結. 5). 果が得 られた.. 服 部 博 文, 上 野 真, 長 野 靖 尚: LRN型2方. 程式乱 流モデル に. よ る3次 元 メ ゾ ス ケー ル 複 雑 乱 流場 の予 測, 第20回 数 値 流 体 力 学 シ ンポ ジ ウム 講 演 要 旨集, p34, 2006 6). 5.結. 平 岡 久 司, 丸 山敬. 中 村 泰 人, 桂 順 治: 植 物 群 落 内 お よ び都. 市 キ ャ ノ ピー 内 の 乱 流 モ デル に 関す る研 究(そ の1)乱 流 モ. 論. デ ル の 作 成, 日本 建 築 学 会 計 画 系 論 文 報 告 集, 第406号, pp.1―9, 1989. 本研究では有限要素法に よる3次 元乱流解析において,. 7). 壁関数 を運動方程式の 自然境 界条件 と して具体化 す る方. 石原 孟. 日比 一 喜:急 峻 な 山 を越 え る乱 流 場 の 数 値 予 謝. 日. 本 風 工 学 会 誌, 第83号, pp.175‑188, 2000. 法 を示 した.こ の方法は,実 地形 の よ うな曲面状 の固体. 8) Mohammadi, B. and Pironneau, 0.: Analysis of the K-Epsilon. 境界 を有す る解析対象に対 し壁 関数を適 用す る際に,固 体境 界上節点 において節点 ごとに接 平面を定義 した上で, 節点流速 を接平面内の2成 分お よび接平面法線方向の1. Turbulence Model (Research in Applied Mathematics), John Wiley & Sons Ltd, 1994 9). 成分 として扱 うものであ る.接平面の方 向の決定方法 と, この境 界条件 を有限要素方程式に具体化 す る過程 の両方. 長 谷 部 寛, 野 村 卓 史: 有 限 要 素 解 析 に お け る物 体 の 角 へ の 壁 関 数 適 用方 法 の検 討, 応 用 力 学 論 文集, Vol.9, pp.811‑820, 2006. に,独 自の方法 を構 築 した.. 10) 孟 岩, 日比 一 喜: 急 峻 な 山 を 越 え る 乱 流 境 界 層 に 関す る実. 本手法 を,3次 元孤立峰周 りの流れの問題 に適 用 した.. 験 的 研 究, 第15回 風 工学 シ ンポ ジ ウ ム論 文 集, pp.61一66,1998. ―107―.
(12) 11). Ilinca, Solution pp.44-50,. F. and for. Pelletier, the. D.:. k-ƒÃ Model. Positivity. Preservation. of Turbulence,. AIAA. and J.,. 16) 長 谷部寛, 野村卓史: 壁関数 の参照流 速の方 向を考慮 した. Adaptive Vol36. 孤立峰周 りの流れ の有 限要 素解析, 計算工学講演 会 論文集,. (1),. Vol.l3,pp749‑752,2008. 1998. 12) 長 谷 部 寛, 野 村 卓 史: k‑ε モ デ ル に お け るLogarithmic formの. 17) 長 野 靖 尚, 森 西 洋 平. 有 効 性 の 検 討 と非 定 常 流 れ へ の 適 用, 構 造 工 学 論 文 集,. 笠 木 伸 英: バ ック ステ ップ 流 れ の数 値. 解 析 とそ の 検 証, 流 れ 解 析 プ ロ グ ラ ム 検 証 研 究 分 科 会. VoL51A, pp921‑932, 2005. (RC104). 成 果 報 告 書, 日本 機 賊学 会, pp.239‑255, 1994. 13) Brooks, A.N. and Hughes, T.J.R: Streamline upwind /. 18) Shih, T.H., Zhu, J. and Lumley, J.L.: A new Reynoldsstress. Petrov-Galerkin formulationsfor convectiondominatedflowswith. algebraicequationmodel,Comput.MethodsAppl. Mech.Engrg.,. particularemphasison the incompressible Navier-Stokesequations, Comput.MethodsAppl.Mech.Engrg.,Vo1.32,pp.199-259, 1982. Vol.125,pp.287-302, 1995. 14) 木 田重 姫 柳瀬眞一郎: 乱流 力学, 朝倉書店,1999 15) 加藤真志: 修 正2方程式乱 流モデルに よる角柱の基本空力特 性 に関す る研究, 名古屋大学学位論文,1997. •\ 108•\. (2008年4月14日. 受 付).
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